2019届北京市高考压轴卷数学(理)Word版含解析

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1已知全集U=R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|log3x≥1}，则A∩B=（ ） A．{3} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}

2. 已知数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）展开式中x项的系数等于数列{an}的第三项，则m的值为（ ） A．6

B．8

C．9

D．10

，则与夹角的余弦值为（ ）

m

2

3已知单位向量，，满足A．

B．

C．

D．

124.设xR，则“x>2”是“2xx10”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．4

6. 已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂

直，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（ ） A．

8. 已知函数A．[3﹣2ln2，2）

，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（ ）

B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2]

D．[e﹣1，2）

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）

9. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 ．

10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 ．

11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 ． 12. 直线斜率为 ．

13. 已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为 ．

2

（t为参数）与圆C：（x+6）+y=25交于A，B两点，且

22

，则直线l的

14. 若函数,,则不等式的解集是______.

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15.（本小题满分13分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

16. （本小题满分13分）

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；

（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

17.（本小题满分13分）

如图，四棱锥中PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，DAB60,ABAD2CD,侧面

，PAD底面ABCD且PAD为等腰直角三角形，APD90.

（Ⅰ）求证：ADPB;

（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

18.（本小题满分13分）

已知函数fx=x-3x3e的定义域为-2，t，设f-2=m，ftn.

2x（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数fx在-2，t上为单调函数； （Ⅱ）求证：mn； （Ⅲ）若不等式

fx7x2kxlnx1k为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明xelnx14.（解答过程可参考使用以下数据ln71.95，ln82.08） 919.(本题满分14分) 已知椭圆E：

（1）求椭圆E的方程；

（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知的面积的最小值和最大值．

与

共线，

与

共线，且

=0，求四边形PMQN

的离心率为

，其右焦点为F（1，0）．

20.（本小题满分 14 分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N）． （1）求{an}的通项公式； （2）设立； （3）设最小值．

，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N均有Rn＜λ恒成立，求λ的

*

*

，b1=8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成

2019届北京市高考压轴卷数学（理）答案

1A

【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．

【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}， 则A∩B={3}， 故选：A 2D

【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）展开式中x项的系数等于数列{an}的第三项，可得

=45，即可求出m．

m

2

【解答】解：数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45， ∵（1﹣x）展开式中x项的系数等于数列{an}的第三项， ∴

=45，∴m=10，

m

2

故选D． 3D

【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据【解答】解：设单位向量，的夹角为θ， ∵

∴•（+2）=

2

，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．

， +2

=0，

即1+2×1×1×cosθ=0， 解得cosθ=﹣，

∴与夹角的余弦值为﹣． 故选：D． 4.A 5B

【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD． 连接BD．

其体积V=VB﹣PAD+VB﹣PCD ==． 故选：B．

6D

【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.

,因为

曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，所以

有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2

时，函数取得极小值，所以a>

7A

【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2， 那么：sinC=cosC==由

，

，解得b=2． ，可得sinB=

=，

那么△ABC的面积故选A

8A

【解答】解：作出函数f（x）的图象如图： 若m＜n，且f（m）=f（n），

则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1， 则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，

则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2， 则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），

设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1 则h′（n）=1﹣

=

=

，

当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1， 当h′（x）＜0得0＜n＜1，

即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2， 当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，

当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2， 则3﹣2ln2≤h（n）＜2，

即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2）， 故选：A

9. 【Ks5u答案】（﹣4，2）

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=kx+2y得y=﹣x+，

要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值， 则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，

∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率 即﹣1＜﹣＜2， 解得﹣4＜k＜2，

即实数k的取值范围为（﹣4，2），

故答案为：（﹣4，2）．

10.6

【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得 A=1，S=1

满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3， 满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7， 满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15， 满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31， 满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，

由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5； 所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次． 故答案为：6． 11.10

【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．

【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21． 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7． 再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z， 故做问卷B的人数为10， 故答案为：10．

12.±

（t为参数）与圆C：（x+6）+y=25联立，可得t+12tcosα+11=0，|AB|=|t1

2

2

2

【分析】直线﹣t2|=

⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．

（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．

【解答】解：直线

t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11． ∴|AB|=|t1﹣t2|=∴直线AB的斜率为±故答案为±

．

⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±

．

，

13.或

【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率． 【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′， 过B作AE的垂线BC，

在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值， 设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n， 根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n， ∴|AC|=2n，

在直角三角形ABC中，tan∠BAC=∴kAB=kAF=

．

．

，满足题意．

=

，

∴直线l的倾斜角为

根据对称性，直线l的倾斜角为故答案为

14. 【Ks5u答案】(1,2)

或

．

15. 【Ks5u答案】(1)由c＝3asin C－ccos A及正弦定理，得

3sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0，

π1

由于sin C≠0，所以sinA－＝，

62

ππ5ππ

又066631

(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.

2而a＝b＋c－2bccos A，故b＋c＝8，解得b＝c＝2.

2

2

2

2

2

π1

由于sin C≠0，所以sinA－＝，

62

ππ5ππ

又066631

(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.

2而a＝b＋c－2bccos A，故b＋c＝8，解得b＝c＝2.

16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为

．

2

2

2

2

2

所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）． （2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．

由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

，

，

，

．

所以随机变量ξ的分布列为： ξ P 0 1 ．

2 3

17. 解：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD． PAPD，

PGAD……………………………2分 ABAD，且DAB60， ABD是正三角形，BGAD, 又PGBGG,

AD平面PGB．

ADPB． ……………………………5分 （Ⅱ） ∵侧面PAD底面ABCD，

又PGAD，PG底面ABCD． PGBG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，

故以G为原点,直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立

如图所示的空间直角坐标系Gxyz．

设PGa，则可求得P(0,0,a),A(a,0,0),B(0,3a,0)，D(a,0,0)，

33C(a,a,0)．…………………………………………………7分

2233BC(a,a,0)．PB(0,3a,a)

22设n(x0,y0,z0)是平面PBC的法向量，则nBC0且nPB0．

333y0,ay00,x0ax02  32z3y.3ayaz0.0000取y03，得n(1,3,3)． …………………………………………9分 又

平面PAD的法向量n1GB(0,3a,0)，

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为, 则cosnn1nn13a39, 131393a39．……………………13分 13xx所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为

2x18. 解：（Ⅰ）因为f(x)(x3x3)e(2x3)ex(x1)e ………………1分 令f(x)0，得：x1或x0；令f(x)0，得：0x1

所以f(x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减………………………………3分

要使f(x)在[2,t]为单调函数，则2t0

所以t的取值范围为(2,0] …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为f(x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减， 所以f(x)在x1处取得极小值e

又f(2)13e，所以f(x)在[2,)的最小值为f(2)………………………6分 2e从而当t2时，f(2)f(t)，即mn ………………………………………8分

f(x)7x2k(xlnx1)等价于x24x1k(xlnx1) xek1即x4klnx0………………………………………9分

xk1记g(x)x4klnx，

xk1k(x1)(xk1)则g(x)12，

xxx2（Ⅲ）

由g(x)0，得xk1，

所以g(x)在(0,k1)上单调递减，在(k1,)上单调递增， 所以g(x)g(k1)k6ln(k1)

g(x)0对任意正实数x恒成立，

等价于k6ln(k1)0，即16ln(k1)0………………………………11分 k6ln(k1)， k61则h(x)20，

xx1记h(k)1所以h(x)在(0,)上单调递减，

又h(6)2ln70，h(7)13ln80， 7所以k的最大值为6………………………………………12分 当k6时，由x4x16(xlnx1)

2令x3，则ln3

14………………………………………13分 919解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==b2=a2﹣c2=1， 故椭圆方程为

；…（4分）

，由c=1，则a=，

（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0）， 且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），

则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），

则，整理得：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，

2222

x1+x1=，x1x2=，

则丨PQ丨=•，于是，…（7分）

同理：．

则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k+

2

，T≥2，

S=丨PQ丨丨MN丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=．

，且S是以t为自变量的增函数，

当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值

当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2． 综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为

和2．

20.解：（1）由Sn=2an﹣2，得Sn+1=2an+1﹣2两式相减，得an+1=2an+1﹣2an ∴an+1=2an

数列{an}为等比数列，公比q=2 又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴

（2）

，

方法一当n≤5时，

因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…

≥0

∴对任意n∈N*均有T4=T5≥Tn，故k=4或5． 方法二（

两式相减，得

=（6﹣n）•2n+1﹣12，

，

当1≤n＜4，Tn+1＞Tn，当n=4，T4=T5，当n＞4时，Tn+1＜Tn， 综上，当且仅当k=4或5时，均有Tk≥Tn （3）∵

，

∴

∵对任意n∈N均有∴

，

*

=

成立，

所以λ的最小值为．