2021年上海市松江区高考数学二模卷 详解版

松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2021．4

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～

12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合A{xx11}，B{1,2,3}，则AB ．

2．若复数z满足z(1i)2（i为虚数单位），则z ． 3．已知向量a(4,2)，b(k,2)，若ab，则实数k= ． 4．在(x2)6的二项展开式中，x3项的系数为 ．（结果用数值表示） 5．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

D1 A1 F B1 D A B C C1

AC11B1D1F，若AFxAByADzAA1 ，

xa的反函数的图像经过点(2,1)，

则xyz= ． 6．若函数f(x)则a= ．

7．已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 ．

8．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 ． 9．已知函数ytan(x且1，则实数的值为 ． )的图像关于点(,0)对称，

6310．如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，

点P在正六边形内（含边界），则APBP的取值范围是 ． 11．已知曲线C：xy2(1x2)，若对于曲线C上的任意一点

P(x,y)，都有(xyc1)(xyc2)0，则c1c2的最小值

为 ．

12．在数列{an}中，a13，an11a1a2a3an，记Tn为数列{1}的前n项和，则anlimTn= ．

n二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，

否则一律得零分．

13．经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是（ ）

A． 2xy10 B． 2xy30 C． x2y10 D． x2y30 14．设，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则l//是//的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．已知实数a、b满足(a2)(b1)8，有结论： ① 当a0,b0时，ab存在最大值；

② 当a0,b0时，ab存在最小值． 正确的判断是（ ） A． ①成立，②成立 B． ①不成立，②不成立 C． ①成立，②不成立 D． ①不成立，②成立 16．已知函数f(x)12xa．若存在相异的实数x1,x2(,0)，使得f(x1)f(x2)成x立，则实数a的取值范围为（ ） A． (,22) B．,) D． (,2) C． ( (2,) 22三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

如图，且ABCD，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，CD是底面圆的两条直径，AB、

SO4,OB2，P为SB的中点．

（1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点S到平面PCD的距离．

S P C A O D B

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知函数f(x)2a2（a为常数，aR）． （1）讨论函数f(x)的奇偶性；

（2）当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)kf(x)3在x[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA． （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米．要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．（精确到元）

Q B 菊花区

xx23P

郁金香区

玫瑰花区

O A

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分

已知抛物线y24x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点． （1）若直线l的方程为yx1，求线段AB的长；

（2）若直线l经过点P(1,0)，点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线； （3）若直线l经过点M(8,4)，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分

对于至少有四项的实数列an，若对任意的n(nN,n3)，都存在s、t(其中

*st,s,tN*,sn,tn)，使得anasat成立，则称数列an具有性质P．

（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2是否具有性质P，请说明理由；

（2）已知数列{an}是公差为d(d0)的等差数列，若bnsinan，且数列{an}和{bn}都具有性质P，求公差d的最小值；

（3）已知数列cn|na|b（其中ab，a,bN），试探求数列{cn}具有性质P的充要条件．



松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2021.4

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

‖x∣11},1. 已知集合A{xB{1,2,3}, 则AB ．

B{1}.

∣1}0,2,B{1,2,3}，所以A【解析】A{xx12. 若复数z满足z(1i)2（i为虚数单位), 则z ．

21i. 1i3. 已知向量a(4,2),b(k,2)，若ab，则实数k ．

【解析】因为z(1i)2，所以z【解析】因为ab，所以ab4k40，所以k1.

4. 在(x2)的二项展开式中， x项的系数为 ．（结果用数值表示）

333【解析】x的系数为C62160.

63

5. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

D1 A1 AC11B1D1F，若AFxAByADzAA1，

F B1 C1

则xyz ． 【解析】

A D B C AFAA1A1FAA1 所以xy11A1C1AA1(ABAD)， 221,z1，所以xyz2. 26. 若函数f(x)xa的反函数的图像经过点(2,1)，则a ．

【解析】由题意得f(x)xa的图像经过点(1,2)，所以21a，所以a3.

7. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 ．

【解析】由题意，设正方体的棱长和圆柱的母线均为a，圆柱的底面半径为r，

2 因为正方体的和圆柱的侧面积相等，所以4a2ra，所以r2a，

则正方体和圆柱的体积之比为a:raa:3224a24.

8. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前 往 隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 ．

12213C4C5C4C5C47437【解析】直接法：所求概率为P； 3C984423C51037 间接法：所求概率为P131.

C984429. 已知函数ytanx ．

6的图像关于点,0对称，且||1, 则实数的值为 3

【解析】因为ytanx的对称中心为k,0,kZ，又ytanx的图像关于点

62k31,0对称，所以，所以k,kZ， 336222因为||1，所以,1.

10. 如图，已知AB是边长为 1 的正六边形的一条边，点P在正六边形内 (含边界), 则 APBP的取值范围是 ．

【解析】取AB中点C，由极化恒等式得APBPPC21211AB2PC2， 4413 因为点P在正六边形内（含边界），易得PC0,，

2 所以APBP的取值范围是,3.

4

11. 已知曲线C: xy21(1x2), 若对于曲线C上的任意一点P(x,y), 都有

xyc1xyc20, 则

c1c2的最小值为 ．

【解析】曲线C:xy2(1x2)是第一象限的双曲线的一部分，

因为对于曲线C上的任意一点P(x,y)，都有xyc1xyc20， 所以曲线C在两条直线xyc10和xyc20之间，

数形结合，当直线xyc10和xyc20一条经过点(1,2),(2,1)，另一条与

双曲线相切时，c1c2最小，

不妨设直线xyc10经过点(1,2),(2,1)，此时c13， 设直线xyc20与双曲线相切，此时c222，

故c1c2的最小值为322. 12. 在数列an中，a13,an11a1a2a3和，则limTn ．

n1an, 记Tn为数列的前n项

an【解析】因为an11a1a2a3 所以

an，所以an21a1a2an11an11an1，

1an21111，

a1aa1an1n1n1n1 所以

111， an1an11an21111a1a2a31 an11 an1an11 所以Tn 111113a21a31a31a41 

212，又an1，所以limTn.

n3an113二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 经过点1,1，且方向向量为1,2的直线方程是（ ）

A. 2xy10 B. 2xy30 C. x2y10 D. x2y30 【解析】方向向量为(1,2)，则法向量为(2,1)，又经过点(1,1)， 故所求直线方程为2xy10，选A.

14. 设,表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l, 则l//是//的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【解析】l//不一定能推出//，要两条相交直线都和平行， 反之，//一定能推出l//，故为必要非充分条件，选B.

15. 已知实数a、b满足(a2)(b1)8,有结论: ①存在a0,b0，使得ab取到最大值；

②存在a0,b0，使得ab取到最小值. 正确的判断是（ A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②不成立 C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②成立

【解析】因为(a2)(b1)8，所以aba2b6，所以a2b6ab22ab， 即

)

ab2ab320，所以ab2，当且仅当a2,b1时取等号，

 故①正确；

因为(a2)(b1)8，所以a82， b1882b13，又a0,b0， 所以abbb1b1显然ab无最小值，有最大值，故②错误； 故选C.

16.已知函数f(x)1|2xa|.若存在相异的实数x1,x2(,0), 使得fx1fx2 x )

成立，则实数a的取值范围为（ A. ,2 B. (,2) C. 22(2,) ,2 D.

12xa单调递减，不合题意，所以a0， x【解析】若a0，当x(,0)时，f(x)

12xa,xx 所以f(x)12xa,xxaa2， a2 当x,时，f(x)2xa单调递减，f(x)min；

2xa 当x,0时，若 f(x)f()12a21a2，由对勾函数的单调性得f(x)2xa单调递减， 22xa22，不合题意； a 若

1a2，由基本不等式得f(x)2xa22a， 22x22a2，即a22，恒成立，故，

22aa 由题意得22a即a(,2)，故选B.

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图,S是圆雉的顶点, O是底面圆的圆心,AB,CD是底面圆的两条直径, 且ABCD,

SO4,OB2,P为SB的中点.

（1）求异面直线SA与PD所成角的大小 (结果用反三角函数值表示); （2）求点S到平面PCD的距离.

C 【答案】（1）arcsinS P 24525 （或arctan）（2）355A O D B

【解析】解：（1）连接OP，∵ P为SB的中点，∴OP为ABS的中位线，∴SA//OP

∴OPD即为异面直线SA与PD所成角．……2分

∵ABCD，SOCD∴CD平面SOB，而OP在平面SOB内，∴CDOP． …………4分 在

直

角

三

角

形

OPD中，OD2，

OP1112SASB2425，…………5分 222∴tanOPD25OD225，OPDarctan，

5OP5525． …………7分 5异面直线SA与PD所成的角为arctan（2）以O为坐标原点，OD、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则S(0,0,4),P(0,1,2),D(2,0,0)， …………9分

设平面PCD的一个法向量为n(u,v,w) 由nOP0v2w0u0，得2u0，所以v2w， …………12分

nOD0不妨取n(0,2,1)

则点S到平面PCD的距离d

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数f(x)2a2xxnOSn44555…………14分

(a为常数，aR).

（1）讨论函数f(x)的奇偶性;

（2）当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)kf(x)3在x[0,1]上有实根，求实数k的取 值范围。

【答案】（1）a1时，f(x)为偶函数；a1时，f(x)为奇函数；a1时，f(x)为非奇非偶函数； （2）k[,]

xx【解析】解：（1）f(x)2a2 …………1分

1122当f(x)为偶函数时，由f(x)f(x) 得 2xa2x2xa2x ………………2分

∵ 对任意的x， (1a)2x(a1)2x 恒成立，∴ 1a0,a1 ………………4分 当f(x)为奇函数时，由f(x)f(x) 得 2xa2x2xa2x………………5分 ∵ 对任意的x， (1a)(2x2x)0 恒成立，∴ 1a0,a1 ………………6分 ∴a1时，f(x)为偶函数；a1时，f(x)为奇函数；

a1时，f(x)为非奇非偶函数； ………………7分

xx（2）由已知，f(x)22，令t2x2x，则由x[0,1] 知t[2,]……8分 2x2xt22 则f(2x)222方程f(2x)kf(x)3化为(t2)kt3，所以kt525 …………10分 t由于yx5在(0,)上递增 …………11分 x51t2时，kmin2， …………12分

22551t时，kmin2 …………13分

22211k[,]时，方程f(2x)kf(x)3有解 …………14分

22

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花. 已知扇形的半径为100米，圆心角为, 点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA. （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长; (精确到米)

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方 米. 要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本. (精确到元)

【答案】（1）115米（2）Smax25003，总成本391703元 【解析】解：（1）因为扇形的半径为100M，Q是OB中点，所以OQ50， …………1分 因为PQOA，AOB，

2323

所以OQP， …………2分 3222在OPQ中，由余弦定理，得：OPOQPQ2OQPQcosOQP…………4分 即：PQ50PQ75000，所以PQ252513115（米） ………………6分 （2）法一：设OQx,PQy，

在OPQ中，由余弦定理，得：OPOQPQ2OQPQcosOQP

2222即：xyxy10000 …………8分

22由基本不等式得：xyxyxy，所以xy10000

22而SOPQ13OQPQsinOQPxy25003 24当且仅当xy100时，OPQ的面积的最大值为25003， ……………………10分 此时OPQ为正三角形，QOP，则AOP． ……………………11分 33所以S扇AOPAOPOA1225000，SOPQ25003， 3SBPQS扇AOBS扇AOPSOPQ500025003……………………12分 3

250000750003391703（元） 3种植花卉总投入为：S扇AOP30SOPQ50SBPQ20所以，郁金香的种植区OPQ的面积最大值为25003平方米，扇形区域AOB的种植花卉的总投入为391703（元） ……………………14分

20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分．

已知抛物线y4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A,B两点. （1）若直线l的方程为yx1，求线段AB的长；

（2）经过点P(1,0)，点A关于x轴的对称点为A，求证:A,F,B三点共线;

（3）若直线l经过点M(8,4)，拋物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N?若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y24x（1）联立得：x26x10． ……………………2分

yx12由韦达定理：x1x26．

易知直线l经过抛物线的焦点F(1,0)，由准线x1得：

|AB||OA||OB|(x11)(x21)x1x228． ……………………4分

（2）证明：设直线l的方程为yk(x1)， ……………………5分 yk(x1)联立方程组2，消去y可得：k2x2(2k24)xk20，……………………6分

y4x设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S(x1，y1)，

42k2x1x2，x1x21， ……………………7分

k2yy1， kFQ2，kFSx21x11yyk(x21)(x11)k(x11)(x21)2k(x1x21)kFQkFS210，……9分

x21x11(x11)(x21)(x11)(x21)kFQkFS，即S，F，Q三点共线． ……………………10分

yyy02（3）【法一】假设存在定点N，设N(，y0)， A(1,y1),B(2,y2)，………11分

444设直线l的方程为：xm(y4)8

22y24x2联立，整理得y4my16m320，△0，

xm(y4)8y1y24m,y1y216m32， ……………………13分

由以弦AB为直径的圆恒过点N，知NANB0

222y0y12y0y2(y0y1)(y0y2)0得：……………………14分 44

整理得：y0y0(y1y2)y1y2160

所以，y0y04m16m160 即：(4y016)my0160对mR恒成立。 所以，4y0160，即：y04

所以存在定点N(4,4)，使以弦AB为直径的圆恒过点N。 ……………………16分

222y02【法二】假设存在点N,y0 使以弦AB为直径的圆恒过点N，设过点M(8,4)直线

4的直线l的方程为xm(y4)8, 联立方程xm(y4)8得2y4xy24my16m320，

2y12y2,y1,B,y2, 则y1y24m,y1y216m32； 设A44因为点N总是在以弦AB为直径的圆上； 所以ANB90, 所以NANB0；

222y12y0y2y0,y1y0,NB,y2y0 由NA4444

222y12y0y2y0所以y1y0y2y00

4444y1y0y2y0即y1y0y2y010

16当y1y0或y2y0，等式显然成立

当y1y0或y2y0时，则有y1y0y2y016

22即y1y2y0y1y2y0160, 则y04my016m160,

即4my04y04y040 所以当y04时, 无论m取何值等式都成立，

2将y04代入y4x得x04，

所以存在点N(4,4)使以弦AB为直径的圆但过点N.

21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于至少有三项的实数列an，若对任意的nnN,n3，都存在s,t（其中

*st,s,tN*,sn,tn，使得anasat成立，则称数列an具有性质P.

（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2是否具有性质P，请说明理由； （2）已知数列an是公差为d(d0)的等差数列，若bnsinan, 且数列an和

bn都具有性质P，求公差d的最小值；

（3）已知数列cn|na|b（其中ab,a,bN*，试探求数列cn具有性质

P的充要条件.

【答案】（1）不具有，具有；（2）dmin3；（3）ab2,a4,aN



【解析】（1）对于数列1,2,3,4，∵312,321，∴不具有性质P ………2分 对于数列1,0,1,2，∵101,21(1) ，∴具有性质P ……………4分 （2）∵数列{an}具有性质P，∴aaa ，a1d或a13d .

321当a1d时， an(n2)d，anan1an2，{an}具有性质P 当a13d时，a13d,a22d,a3d,a40，{an}不具有性质P

∴an(n2)d ……………6分 此时b1sind,b20,b3sind,b4sin2d,由于{bn}也具有性质P

∴b4b2b1或b4b3b1或b4b3b2 即sin2dsind 或sin2d2sind

有b3b2b1

1sind0,或cosd1或cosd

2∴dk(kZ)或dk当d3,kZ， ……………8分

3时，bnsinansin(n2)n2sin()，此时bn6bn， 333∴数列{bn}的6项为：3333,0,,,0,， 2222由于b3b6b2b1,b4b5b3b2,b7b8b6b5 且bn6bn，n9时，bn也具有性质P，符合题意.

d的最小值为d3

……………10分

（3）an|na|b（其中ab,a,bN） 数列{an}具有性质P，则a3a2a1或a3a1a2

……………11分

a1|a1|b,a2|a2|b,a3|a3|b

|a3|b|a2||a1|，或|a3|b|a1||a2|

即|a3||a2||a1|b，或|a3||a1||a2|b……………12分 ①若a1，则b1或b3，由于ab，b3

a1,b3时，此时ann4，

前四项为3,2,1,0，第四项0不是前三项中某两项之差，舍去….....................13分 ②a2，则b2，由于ab，舍去

③a3，则b1，此时an|n3|1.前四项为1,01,0，

第四项0不是前三项中某两项之差，舍去 ………………………14分 ④若a4，ba2或a4

2n,na，前四项为1,0,1,2. ba2时，an|na|a2,即ann2a2,naan1a1,3na由于an，数列{an}具有性质P………………………16分

an1a3,na4n,na，前四项为3,2,1,0.第四项0不ba4时，an|na|a4，即ann2a4,na是前三项中某两项之差，舍去 ………………………17分

数列{an}具有性质P的充要条件是ab2且a4. ……………18分