指数与指数函数
一、学习目标：
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确 进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2．掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3．通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思 想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质； 5．掌握指数函数的概念，了解对底数的条件的合理性，明确指数函数的定义域； 6．掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性 质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
7．学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
8．通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的 思想方法；
9．通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
重点
1．分数指数幂的概念及其运算性质； 2．指数函数的图象和性质.
难点
1．根式的概念和分数指数幂的概念；2．底数的变化对指数函数图象的影响.
二、知识要点梳理
1．整数指数幂的概念及运算性质
(1)整数指数幂的概念
1
(2)运算法则 ① ②
； ；
③ ④
.
；
2．根式的概念和运算法则
(1)n次方根的定义：
若x=y(n∈N，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为零的奇次方根为零，记为
；
；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为
.
；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为
；
n
*
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为
(2)根式的意义与运算法则
3．分数指数幂的概念和运算法则
*
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
4．有理数指数幂的运算性质
(1)
2
(2) (3)
p
当a>0，p为无理数时，a是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 注意：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
；
.
(3)幂指数不能随便约分.如
5．指数函数
(1)定义： 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
(2)图象及性质： y=a 01时图象 xx图象 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a=a，即x=1时，y等于底数a 性质 ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0时，a>1 x>0时，0xxx0 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，00时，a>1 xx三、规律方法指导1．指数幂的一般运算步骤：
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性
22222332
质．在化简运算中，也要注意公式：a－b＝（a－b）（a＋b），（a±b）＝a±2ab＋b，（a±b）＝a±3ab2333223322
＋3ab±b，a－b＝（a－b）（a＋ab＋b），a＋b＝（a＋b）（a－ab＋b）的运用，能够简化运算.
3
2．指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若
；
；
；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
经典例题透析
类型一、指数运算、化简、求值
1．计算：
(1)；
(2)
(3)
；
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)； (2).
4
【变式2】计算下列各式：
；
2．化简下列各式.
(1) ； (2)； (3).
举一反三：
【变式1】化简：
.
【变式2】化简下列式子：
(1) (2) (3)
【变式3】找出下面化简过程中的错误，并给出正确解法. 化简.
错解：原式
.
5
3．已知，求的值.
举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x【变式2】求值：(1)已知，求的值；
(2)已知a>0， b>0， 且ab=ba， b=9a，求a的值.
类型二、函数的定义域、值域
4．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)
(2)
(3)
(4)
6
类型三、指数函数的单调性及其应用
5．(利用指数函数的单调性比较大小)判断下列各数的大小关系：
(1)1.7a与1.7a+1； (2)0.8-0.1与0.8-0.2
；
(3)
(4)22.5，(2.5)0
，
(5)1.080.3
与0.983.1
(6)
举一反三：
【变式1】比较大小：
(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1
(4)0.90.3与0.70.4
(5).
【变式2】比较1.5-0.2
， 1.30.7
，
的大小.
6．求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.
举一反三： 【变式1】求函数的值域及单调区间.
【变式2】(复合函数的单调性)求函数的单调区间.
7
7. (分类讨论指数函数的单调性)化简：
8. 已知，其中a>0，且a≠1，当x满足什么条件时，y19．证明函数在定义域上为增函数.类型四、判断函数的奇偶性
10．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：
.
类型五、指数函数的图象问题
11．为了得到函数的图象，可以把函数A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
的图象( )
12．已知函数f(x)=a+b的图象过点(1，3)，且将其图象关于直线y=x翻折后图象过点(2，0)，求函数f(x)的解析式．
8
x
举一反三：
【变式1】（2011 四川文4）函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ）
学习成果测评
一、选择题：
1.化简，结果是（ ）
A.
B. C. D.
2.等于（ ）
A.
B.
C.
D. 3.若，且
，则
的值等于（ ）
A. B.
C.
D.2
4.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
5.下列函数式中，满足的是( )
A. B. C.
D.
6.（2011 湖北理6）已知定义在上的奇函数和偶函数
满足
，若
，则
（ ）
9
A.2 B. C. D.
7.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；
(5)中恒成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
9.函数的值域是（ ）
A. B.
C.
D.
10.已知
，则函数
的图像必定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.是偶函数，且不恒等于零，则( )
A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数
12.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值
为（ ） A. B.
C.
D.
二、填空题：
13.（2011 广东广州）设函数若，则的取值范围是_________.
14.函数的值域是_______________.
15.函数
的单调递减区间是_______________.
10
16.若，则_______________.
三、解答题： 17.设，解关于的不等式.
18.已知，求的最小值与最大值.
19.设，，试确定的值，使为奇函数.
20.已知函数，求其单调区间及值域.
21.若函数的值域为，试确定的取值范围.
22.已知函数
，
(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明是
上的增函数.
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能力提升
1.某甲以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，该年银行月利率是复利，试问某甲在买股票与存入银行之间何者获利较大？
2.某种产品的成本原来是万元，近几年来，由于搞技术创新，降低了能耗，使得该产品的成本每年平均比上一年降低了半以下．
．试画出成本随时间变化的函数图象，并从图中求出多少年后该产品成本降为原来的一
，按月计
综合探究
某工厂今年月，月，月生产某产品分别为万件，
万件，
万件．为了估测以后每个月的产量，以
这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系．模拟函数可以选二次函数或函数
（其中，，为常数）．已知月份该产品的产量为
万件，请问，用以上哪个函数
作为模拟函数较好？并说明理由．
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