２０１８年１０月
第３４卷第５期
COLLEGEMATHEMATICS
大 学 数 学
Vol．３４,№．５
Oct．２０１８
几类迭代数列的收敛性
()华中科技大学数学与统计学院,武汉４３００７４
摘 要]从一个简单的线性迭代数列出发,引出倒数迭代数列和分式迭代数列的极限结论．这三类迭 [
代数列是常见的,得到的结论有较强的实用性．
[关键词]迭代数列;收敛性;极限;变换
黄永忠, 吴 洁, 胡 勇
[()中图分类号]O文献标识码]C [文章编号]１１７７．２ [６７２Ｇ１４５４２０１８０５Ｇ００５４Ｇ０５
１ 引 言
函数．迭代数列是微积分或数学分析学习中的常见数列,在各种相关考试中它也是常见题型．比如２０１８
xx()的严格单调性和单调有界定理得到证明{x并求极限limxex≥０－e＋１n}收敛,n．利用函数xn→∞
(若数列{由式子a给出,则称它为迭代数列,其中ℕ是正整数集,aan∈ℕ)n}n１＝f(n)f为某＋
xxn１＋年研究生入学考试的数学一至三均有同一题:设数列{xxxen∈ℕ),＝en－１(n}满足:１＞０,n常的方法是利用单调有界定理或压缩数列的收敛性;或者先记{x从a＝f(a)中解出an}的极限为a,的值,再利用极限定义通过对|这些方法往往是有效的,但有xa|适当放大验证a是{xn－n}的极限．一个共同的步骤:估算{x上、下)界,且一题一估,这通常是不容易的．n}的(
]]在文[中,可见到很多迭代数列,介绍了一些处理这类数列的方法．通{ximx１－[３n}收敛且ln＝０．
n→∞
α:然后利用它得到倒数迭代数列{aa＋n}n１＝＋β的两个极限结果,这是通过一个巧妙的倒代换将它化an)为线性迭代数列来实现的(见命题２．最后通过线性变换acxn＋d,将倒数迭代数列的结果应用到n＝]]这些结果很有实用性．迭代数列的其他结果可见文[４－[５．
]:,本文首先按照文[例２．见命题１)１１．２５详尽给出线性迭代数列{aaan}n１＝An＋B的收敛性(＋
axn＋b,得到两个极限结果(:分式迭代数列{见命题３)中的对应题来看,xx．从文[１]－[３]n}n１＝＋
cxn＋d２ 主要结果
命题１ 设数列{定义为aaan∈ℕ,其中A,B为常数．n}n１＝An＋B,＋
n１－
()当B＝０时,若A＝１,则{)为常数列;若A＝－１,则aiaan∈ℕ)．－１n}n＝(１(
B时{}为常数()当B≠０时,若A＝１,则{发散到无穷大;iia 若A＝－１,则当aan}１＝n２
收稿日期]２修改日期] [０１８Ｇ０１Ｇ９; [２０１８Ｇ０３Ｇ２９
)基金项目]高等学校大学数学教学研究与发展中心２ [０１６年项目(CMC２０１６０４０１
,:作者简介]黄永忠(男,博士,副教授,从事数学分析课程教学研究． [１９６５－)Emailhuanz＠hust．edu．cngy,:w通讯作者]吴洁(女,硕士,教授,从事大学数学课程教学研究． [１９６２－)Emailuie６２７４１５＠hust．edu．cnj
第５期 黄永忠,等:几类迭代数列的收敛性５５
B时{}发散列,当aa．１≠n２
此外,无论B是否为零,都有:当|A|＜１时{收敛到an}证 若B＝０,则aan１＝An．于是＋
B,当
|A|＞１时发散到无穷大．
１－A２n１－
aaan＝An１＝Aan２＝＝A１．－－
nl－
不妨设a否则若a考虑a收敛到零,当A＝１时 因此,当|A|＜１时{a１≠０,l≠０,n＝Aal．n}{是常数列;当|A|＞１时{发散到无穷大,当A＝－１时{发散．aaan}n}n}
下面设B≠０,分两种情况．
){若A＝１,则a发散．n－１B,an＝an１＋B＝＝a１＋(n}－
/若A＝－１,则a即a收an∈ℕ．于是当a２时{a２n１－a２n１＝０＝a２n－２n２,２＝a１,１＝Bn}＋－－
敛;当a发散(此时,奇、偶子列都为常数列,但不等)a．２≠a１时{n}
()设|A|≠１．由题设知b
n１－
(,aan１－an＝A２－a１)＋
n()设|A|＝１．a
从而有
an１＋
这表明当|A|＜１时{收敛到an}
１－A＋aaa＝∑(＋ak１－ak)１＝(２－a１)１．＋
１－Ak＝１
n１＋
αan∈ℕ),＋β (n１＝＋
an２
其中α,α≥０．下列结论成立:β为常数,满足α≠０且β＋４
２
α＋＋４ββ(),{}若则收敛到ia．nβ＞０２a１,３,n＋３({例１ 设a收敛到B＝１．n∈ℕ),则A＝B＝an１＝n}＋
４４４１－A命题２ 设数列{定义为an}
B,当发散到无穷大．a|A|＞１时{n}
１－A２
α－β＋４β()若β＜０,则{}收敛到iia．n２
α证 重写原式为a．n＝an１－＋β２
α(αλ－＋＋４２ββ(),,则λ≠０满足λ若令见注)iλ＝λ＝－β．设＋λ－α＝０,β＞０β２λbn＝
１,则１a－λ,且n＝
aλbn＋nbn＝
于是得到
１
＝
aλn＋
aa１n１－n１－＋＋ββ＝１－(β＋λ)b＝＝(n１．＋
αλaα－λλaλ)λλn１＋n１＋＋＋β＋λan１－＋βλ１
bb．n１＝－n＋＋
β＋λβ＋λ()１
()２
注意到－λ＜１,由命题１得到数列{bn}收敛到
β＋λ１
１β＋λ＝１＝．２λ２λ＋β４αβ＋１＋
β＋λ５６
１因此,由a收敛到a－λ知,数列{n＝n}
bn大 学 数 学 第３４卷
α()若β＜０,令yiin∈ℕ),则an∈ℕ)变为＋β(n＝－an(n１＝＋
ann１＝y＋
２
４αβ＋β２＋４α－＋＋ββα－．＝β＋４２２２
αn∈ℕ)．－β (
yn２２
α,从而{}α－β＋β＋４－β＋４β)于是由结论(得到{y收敛到收敛到}ia．nn２２
注 倒代换bn＝
１的巧妙在于的选取,)这依赖于两个因素:式(中等式λ１
aλn＋
２β＝λ,此表明λ须满足λ)要求须成立α－λ式(右边bλα＝０;２．＋n的系数须满足其绝对值小于１β－λ２
α此外,),当β＜０时,也可按照结论()这两个因素就使得我们选取λ＝－β＋β＋４对结论(的．iii
２２
α证明过程证明它,此时取λ＝－β－β＋４．
２aan１－n１－＋＋ββ＝(λaα－λλ)n１＋n１＋＋＋βλax５＋１n１＋
例２ 著名的斐波那契数列满足x证明lxim．＝１＝x２＝１,n２＝xn１＋xn,＋＋
n→∞x２nxxx１,n１n－xn１n１＋－－
,证 令u则u此时α＝１,由命题２,得＝１＋＝１＋n＝n＝β＝１,xxxunnnn１－
lim
]２
,例３[ 设xxxxn∈ℕ．证明数列{x０＞０,n１n－２n＝３n}收敛,且其极限为３．＋
x５＋１n１＋
imu．＝ln＝
n→∞xn→∞２n３,证 易得x此时α＝３,由命题２,得{xn１＝２＋n}收敛到３．＋β＝２,xn[]b１
(,)．则由命题２,例４ 对n∈ℕ设aab＞０α＝b,a－１n１＝１＜０n}＋β＝－１．于是数列{anb收敛到－１－１＋４．
２axn＋b,其中常数,,,满足(２
命题３ 对n∈ℕ设xabcda－d)bc≥０,且c≠０．下＋４n１＝＋
cxn＋d２(a－d)bc＋４．
２c列结论成立
a－d＋()若a＋d＞０,则数列{xin}收敛到a－d－()若a＋d＜０,则数列{xiin}收敛到axn＋b为证 对n∈ℕ,重写xxn＋１n１＝＋
cxn＋dadb－ac,即＝＋ccxn＋d２
(a－d)bc＋４．２c于是由命题２,α＝bc－ad,β＝a＋d,得到
bcadcxn＋１＋d＝a＋d＋－．
cxn＋d()当a＋d＞０时,数列{icxn＋d}收敛到
第５期 黄永忠,等:几类迭代数列的收敛性５７
a＋d＋
a－d＋因此,数列{xn}收敛到
２
((a＋d)bc－ad)a＋d＋＋４
＝
２
２
(a－d)bc＋４．２c２
(a－d)bc＋４．２
()当a＋d＜０时,数列{iicxn＋d}收敛到
a＋d－
a－d－因此,数列{xn}收敛到
２
((a＋d)bc－ad)a＋d－＋４
＝
２
２
(a－d)bc＋４．２c２
(a－d)bc＋４．２
[]３
例５ 设L＞０,xx１＞０,n１＝＋
L,它是方程２－１＋１＋４),得到数列{x足命题３结论(ix＋x＝L的正根．n}收敛于
２L(
n∈ℕ)．则对应于命题３,a＝０,b＝L,c＝d＝１,满
１＋xn)因此由命题３的结论(知,a＝－２,b＝c＝d＝１,从而a＋d＝－１＜０,cx１＋d＝xii１＋１＜０．３－３－９＋４－３－１数列{x．＝n}收敛于
２２
](](,由本文的命题３立即得到结果．对于文[例２与例４,文[例１４xa情形)５a≥０情形)１＜２
３x１－２xnn[]１
(,则x(,于是对应于命题３,例６ 设x１,x１－n∈ℕ)n∈ℕ)１＜－n＋１＝n＋１＝
１＋x１＋xnn命题３的实用性．它们是(仅给出迭代式子)
]),从而很容易得到相应极限,表明注 文[第４３０页罗列５个考研试题,它们均满足命题３的(i
２()c－cc＋４＝c．
２
(c１＋xc－c＋n)()(),数列{xixc＞０n１＝n}收敛于＋
c＋xna＋x１－１＋n()(),数列{xiixa＞１n１＝n}收敛于＋
１＋xn２＋xn(),由上题知数列{xiiixn１＝n}收敛于２．＋
１＋xn２
()１－１a＋４
＝a．
２
a(()),{xivxa＞１n１＝n}收敛于＋
a＋xn３＋２xn(),数列{xvxn１＝n}收敛于＋
３＋xn２－３＋
２２
０－a＋aaa＋４－a＋a＋４．＝
２２２
()２－３２３＋１－１＋１．＝２２
[参 考 文 献]
[][第一册)１ 周民强．数学分析习题演练(M]．２版．北京:高等教育出版社,２０１０．
[]哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,２ 朱尧辰．数学分析例选:通过范例学技巧[M]．２０１３．
[]研究生入学考试数学分析真题集解(上册)西南交通大学出版社,３ 梁志清,黄军华,钟镇权．．成都:２０１６．
１６２－１６４．
[]]:４ 喻德生,梁学礼,陈佳英．迭代数列收敛性与特征函数符号之间的关系及应用[J．大学数学,２０１０,２６(４)[]]():５ 张勤,丛籥苏．用特征值刻画分式线性迭代数列的渐近性态[J．大学数学,２０１６,３２３１１４－１１６．
５８大 学 数 学 第３４卷
ConverenceofSeveralTesofIterativeSeuencegypq
(,H,W)SchoolofMathematicsandStatisticsuazhonniversitfScienceandTechnolouhan４３００７４,ChinagUyogy:,AbstractFromasimlelineariterativeseuencethelimitconclusionsofrecirocaliterativeseuenceandfractionalpqpq
HUANGYonＧzhon WUJie, HUYongg,g,iterativeseuencearederived．Thesethreekindsofiterativeseuencearecommonandtheobtainedresultshavestronqqgracticabilit．py
:;;;Keordsiterativeseuenceconverencelimittransformationqgyw
