【最新】北京市东城区中考数学模拟试卷(含答案解析)

（含答案）

（时间120分钟 满分：100分）

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1． （2分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（ ）

A． B．

C． D．

2．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．三棱柱

B．三棱锥

C．圆柱 D．圆锥

3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a＞﹣1

B．a•b＞0

C．﹣b＜0＜﹣a D．|a|＞|b|

4．（2分）计算=（ ）

A． B． C． D．

5．（2分）关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是（ ） A．﹣1

B．1 C．0 D．±1

6．（2分）已知正六边形ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

7．（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）

A．与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长 B．2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低

C．2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7% D．2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多 8．（2分）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A，B两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒），其中0≤t≤180，到A边距离为y（米），图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系．下面有四个推断：

①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次； 其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）若分式

有意义，则实数x的取值范围是 ．

10．（2分）如图是一个正五边形，则∠1的度数是 ．

11．（2分）如果a2﹣a﹣1=0，那么代数式（a﹣是 ．

）的值

12．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，若AD=1，BD=3，则

的值为 ．

13．（2分）2017年延庆区农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米，其中居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米．设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方程组为 ．

14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC=42°，那么∠CDB的度数为 ．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ．

16．（2分）某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：

某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有 千克种子能发芽．

三、解答题（本题共68分，第17题-22题，每小题5分；第23-26

题，每小题6分；

第27题，第28题每小题各7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．计算：3tan3013(2)0()1．

13AEBD5x23(x2)，18．解不等式组：x5 并写出它的所有整数解．

3x.2C19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，

过点D 作DE∥AB交AC于点E． 求证：AE=DE．

OCAB

20．已知：∠AOB及边OB上一点C．

求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB． 要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；

（说明：作出一个即可） ．．

2．请你写出作图的依据．

21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F 分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC． （1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若AD=3， DF=1，求四边形DBEC面积.

-3-2-1O-1-2-3CDAFBEy65432112345x22．在平面直角坐标系xOy中，直ykxb(k0) 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函 数ym(m0)的图象在第一象限交于点 xFP（1，3），连接OP．

m（1）求反比例函数y(m0)的表达式；

xEACD（2）若△AOB的面积是△POB的面积的2倍，

求直线ykxb的表达式．

OB23．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AD的

中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE 并延长交BF于点C． （1）求证：ABBC；

（2）如果AB=5，tanFAC1，求FC的长．

2

24．从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其

周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过

程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测． 过程如下，请补充完整. 收集数据:

从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染

指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数

如下：

千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45

永宁 镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60

整理、描述数据：

按如下表整理、描述这两镇空气污染指数的数据：

空气质量 空气质量为优 空气质量为良 4 6 空气质量为轻微污染 2 镇 次数 千家店镇 永宁 镇 （说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气

质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．） 分析数据：

两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示； 城镇 千家店 永 宁 平均数 80 81.3 中位数 87.5

众数 50

请将以上两个表格补充完整； 得出结论：可以推断出______镇这一年中环境状况比较好，理由为

（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

25．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=6cm，设弦AP的长为xcm，△APO的面积为ycm2，（当点P与点A或 点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随 自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；

_____________.

AOB（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm 0.5 1 2 3 3.5 4 5 5.5 5.8 y/cm2 2.3 0.8 1.5 2.8 3.9 4.2 m 4.2 3.3 那么m= ；（保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出

以表中各组对应值为坐标的点， 画出该函数图象．

（3）结合函数图象说明，当△APO的面积是4时，则AP的值约为 ．

（保留一位小数）

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0) 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标； （2）点C（t，3）是抛物线yax2y654321-3-2-1O-1-2-3123454ax3a(a0) 上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C 作x轴的垂线，垂足为点D．

①当CDAD时，求此时抛物线的表达式； ②当CDAD时，求t的取值范围．

x27．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，

过点B作BF⊥DE

于点F，连接FC．

（1）求证：∠FBC=∠CDF．

（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证

明．

ADFADF

图1

BCEBCE备用图

y2)，28．平面直角坐标系xOy中，点A(x1，如果满足x1x20，y1)与B(x2，

y1y20，其中x1x2，则称点

A与点B互为反等点．

y654321-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6123456已知：点C(3，4)

（1）下列各点中， 与点C互为

反等点；

D(3，4)，E（3，4），F

（3，4）

（2）已知点G（5，4），连接线

x段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xp的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点

互为反等点， 求r的取值范围．

参

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1． （2分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D， 故选：B．

2．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．三棱柱

B．三棱锥

C．圆柱 D．圆锥

【解答】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱． 故选：A．

3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a＞﹣1

B．a•b＞0

C．﹣b＜0＜﹣a D．|a|＞|b|

【解答】解：由a，b在数轴上的位置可得： A、a＜﹣1，故此选项错误； B、ab＜0，故此选项错误； C、﹣b＜0＜﹣a，正确； D、|a|＜|b|，故此选项错误； 故选：C． 4．（2分）计算

=（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：故选：C．

=，

5．（2分）关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是（ ） A．﹣1

B．1 C．0 D．±1

【解答】解：∵mx2﹣（m+1）x+1=0，即（mx﹣1）（x﹣1）=0， 解得：x1=，x2=1．

x+1=0有两个不等的整数根， ∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）∴m≠0，为整数，且≠1． 又∵m为整数， ∴m=﹣1．

故选：A．

6．（2分）已知正六边形ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，符合题意； 故选：D．

7．（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）

A．与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长 B．2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低

C．2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7% D．2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多 【解答】解：A、∵6.9%＞0，

2017年我国国内生产总值有所增长，∴与2016年相比，结论A正确； B、∵7.8%＞7.3%＞6.9%＞6.7%，

∴2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，结论B正确； C、∵

=7.12%，

∴2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%，结论C错误；

D、∵2016年的国内生产总值比2014年的国内生产总值多，且2016﹣2017年和2014﹣2015年我国国内生产总值的增长率相同， ∴2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多，结论D正确． 故选：C．

8．（2分）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A，B两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒），其中0≤t≤180，到A边距离为y（米），图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系．下面有四个推断：

①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次； 其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

【解答】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度；

②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③错误，小明游75米时小林游了50米； ④正确．小明与小林共相遇5次； 故选：D．

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分） 9．（2分）若分式【解答】解：∵分式∴x﹣3≠0，

则实数x的取值范围是：x≠3． 故答案为：x≠3．

有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ． 有意义，

10．（2分）如图是一个正五边形，则∠1的度数是 72° ．

【解答】解：∠1的度数是360°÷5=72°． 故答案为：72°．

11．（2分）如果a2﹣a﹣1=0，那么代数式（a﹣【解答】解：∵a2﹣a﹣1=0，即a2﹣a=1， ∴原式=故答案为：1

12．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，若AD=1，BD=3，则

的值为

．

•

=

•

=a（a﹣1）=a2﹣a=1，

）

的值是 1 ．

【解答】解：∵DE∥BC， ∴

故答案为：

13．（2分）2017年延庆区农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米，其中居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米．设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方

，

程组为 ．

【解答】解：设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方程组为：

．

故答案为：

14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC=42°，那么∠CDB的度数为 21° ．

．

【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C， ∴=， ∵∠AOC=42°， ∴的度数是42°， ∴的度数是42°， ∴∠CDB=故答案为：21°．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： 平移，轴对称 ．

，

【解答】解：△ABC向上平移5个单位，再沿y轴对折，得出△DEF， 故答案为：平移，轴对称．

16．（2分）某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：

某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有 8.8 千克种子能发芽．

【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右， ∴10kg种子中能发芽的种子的质量是： 10×0.88 =8.8（kg） 故答案为：8.8． 三、解答题

17．原式=33+3-1+1-3 ……4分 3 =23-3 ……5分

18．解：由①得，x<4． ……1分 由②得，x≥1 ． ……3分

∴ 原不等式组的解集为1≤x<4． ……4分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分

19．证明：∵AD平分∠BAC

∴∠BAD =∠DAE， ∵DE∥AB

∴∠BAD =∠ADE ……3分 ∴∠DAE =∠ADE ……4分 ∴AE=DE ……5分

20． （1）作图（略） ……2分 （2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分 21．（1）在Rt△ABC中，∵CE//DC，BE//DC

∴四边形DBEC是平行四边形

∵D是AC的中点，∠ABC=90°

∴BD=DC ……1分 ∴四边形DBEC是菱形 …2分

（2）∵F是AB的中点

∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°

在Rt△AFD中,

……3分

∴

……4分

……5分 22．（1）y3 ……1分

x （2） 如图22（1）：∵

∴OA=2PE=2

∴A（2,0） ……2分 将A（2,0），P（1,3）代入y=kx+b 可得 ∴

……3分 图22（1）

∴直线AB的表达式为：y=-3x+6

同理：如图22（2）直线AB的表达式为：y=x+2 ……4分 综上：直线AB的表达式为y=-3x+6或y=x+2 ……5分

图22（2）

23．证明：（1）连接BE．

∵AB是直径， ∴∠AEB=90°．

∴∠CBE+∠ECB=90°∠EBA+∠EAB=90°． EFCD∵点E是AD的中点， ∴∠CBE =∠EBA．

∴∠ECB =∠EAB． ……1分 ∴AB=BC． ……2分（2）∵FA作⊙O的切线， ∴FA⊥AB． ∴∠FAC+∠EAB=90°． ∵∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠FAC=∠EBA． ∵tanFAC12 AB=5，

∴AE5 BE25．

……4分

过C点作CH⊥AF于点H， ∵AB=BC ∠AEB=90°， ∴AC=2AE=25． ∵tanFAC12，

∴CH=2． ……5分 ∵CH∥AB AB=BC=5， ∴2FC5FC5． ∴FC=

103．…6分

24．（1）1，9，2． ……1分 （2） 82.5，90． ……3分 （3）千家店镇 ……4分

AOBFHCEDAOB 理由：千家店镇污染指数平均数为80，永宁镇污染指数平均数为81.3，所以千家店镇污染指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是4天，永宁镇空气质量为优的天数是1天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6分 25．(1)m= 约4.3 ； ……1分 (2)

（画此函数图象时要体现出x约为4.2时，y有最大值，为4.5） ……4分 (3) 3.1或是5.1 ……6分

26．（1）对称轴：x=2 ……1分 A（1，0）或B（3，0） ……1分 （2）

①如图1，∵AD=CD ∴AD=3

∴C点坐标为（4，3） ……3分 将C（4，3）代入yax24ax3a

∴316a16a3a

54321-1O-1123456xy ∴a=1

∴抛物线的表达式为：yx24x3 ……4分 ②3t4 ……6分 过程略

27.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB =90°． ∴∠CDF+∠E =90°． ∵BF⊥DE， ∴∠FBC+∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分

（2）①

E ……3分

②猜想：数量关系为：BF=DF+CG． 证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．

∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC．

∵∠FBC =∠CDF，BM=DF， ∴△BMC≌△DFC． ∴CM=CF，∠1=∠2． ∴△MCF是等腰直角三角形．

∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C与点G关于直线DE对称， ∴CF=GF，∠5=∠6．

AOBDHBADF图1

CEFC28．分

分

∵BF⊥DE，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG=∠MCF， ∴CM∥GF． ∵CM=CF，CF=GF， ∴CM=GF，

∴四边形CGFM是平行四边形，∴CG=MF．

∴BF=DF+CG． (1)F (2) -3≤xp≤3 且xp≠0 (3)4 < r≤5

……7分 ……1

……4分 ……7