高等代数试题 附答案

姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌

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一、填空题（每小题5分，共25分）

1、在PX中，向量1xx2关于基1,x1,x23x2的坐标为 。 2、向量组11,2,1,22,4,2,33,0,3,41,1,2,55,3,8的秩 为 ，一个最大无关组为 .。

3、（维数公式）如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 。

3204、假设A131的特征根是 ，特征向量分别为 。

5715、实二次型fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3 的秩为

二、是非题（每小题2分，共20分）

1、如果a1,a2,,ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）

2、在P[x]中，定义变换Af(x)f(x0),其中x0P，是一固定的数，那么变换A是线性变换。（ ）

3、设W1,W2是向量空间V的两个子空间，那么它们的并W1W2也是V的一个子空间。（ ）

4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）

5、令(x1,x2,x3,x4)是R4的任意向量，那么是R4到自身的线性变换。其中

222()(x12,x2,x3,x4)。（ ）

6、矩阵A的特征向量的线性组合仍是A的特征向量。（ ） 7、若矩阵A与B相似，那么A与B等价。（ ） 8、n阶实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。（ ）

9、在M2(R)中，若W由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W是M2(R)的

子空间。（ ）

10、齐次线性方程组(EA)X0的非零解向量是A的属于的特征向量。（ ）

三、明证题（每小题××分，共31分）

1、设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明：A可逆当且仅当A1,A2,,An线性无关。（10）

2、设是n维欧氏空间V的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，2=l是单位变幻，那么是正交变换。（11）

3、设V是一个n维欧氏空间，证明：如果W1,W2都是V得子空间，那么（10） W1W2W1W2。

四、计算题（每小题8分，共24分）

1331、求矩阵A353的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P使得P1AP为对

6角形矩阵。

032'2、求一个正交矩阵U，使得UAU使对角形式，其中A242。

0253、化二次型 fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3为平方和，并求所用的满秩线性变换。

科目名称：《高等代数》

姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌

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一、填空题（每小题5分，共25分）

1、（3,4,1）

2、秩为2，一个最大无关组为1,3

3、维（V1）+维（V2）=维（V1V2）+维（V1V2） 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为11,1,1,22,1,1, 5、秩为 3

二、是非题（每小题2分，共20分）

1、（是 ） 2、（是 ） 3、（是 ） 4、（否 ）

5、（否 ） 6、（否 ） 7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）

三、明证题（每小题××分，共31分）

1、证明 设A可逆，则A1存在，且A1也是V的线性变换，（1） 若A1,A2,,An线性相关，则A1(A1),A1(A2),,A1(An)，(2)

即1,2,,n也线性相关，这与假设1,2,,n是基矛盾，故A1,A2,,An线性无关。(5)反之，若A1,A2,,An线性无关，因V是n维线性空间，故它也是V的一组基，(7) 故对V中任意向量1有1A(k11k22knn)，即存在

(k11k22knn)，使A()1，故A为V到V上的变换。(8) 若

又

有

l11l22lnn，使

A()1，即

因为A1,A2,,AnAl1A1l2A2lnAn(k1A1k2A2knAn)，

liki,(i1,2,,n)，是基，即，从而A又是一一的变换，故A为可逆变换。（10）

2、证：2,,2,,,(4)

=,2,2, ,(8)

=2,2,2, (10) =0 ,（11）

3、证：（1）W1W2W1W2W1W2W1W2,(5)

同理W1W2W1W2， (8)

则W1W2W1W2。 （10）

四、计算题（每小题8分，共24分）

1、解：EA=(2)2(4)，则A的特征根为1,22，34, (3)

111i(i1,2,3)，它们对应的特征向量分别为10,21,31， (6)

102111200易知1,2,3线性无关，取P011，那么就得P1AP020。(8)

1020042、解：EA(1)(4)(7)，则特征根为11,24,37， (3)

221对应它们的线性无关的特征向量分别为12,21,32，

122(6)

他们单位化后分别为

22123332122313,23,33，取正交矩阵U312213333231323， (7) 231323100'则,UAU040。 (8)

007110 3、解 x2y1y2 ，C1110 ，得 (2)

001x3y3x1y1y222224(y11整理得f4y124y1y34y22y3)4y2y3 (4)

z1y112y3在令z2y2z3y31012，C2010， (6)

001111222f4z124z2z3，CC1C21112, (8)

001