高等数学下册试题及参

高等数学下册试题库 一、选择题〔每题 4分，共20分〕

A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：〔A〕 A〕 5 B 〕 3 C 〕6 D 〕9 解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||=.

2. 设a={1,-1,3},

A〕{-1,1,5}.

b={2,-1,2} ，求c=3a-2 B 〕 {-1,-1,5}.

b是：B〕 〔C〕 {1,-1,5}.

D

〕

{-1,-1,6}.

解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 设a={1,-1,3},b={2,1,-2}，求用标准基i,j,k表示向量c=a-b; A〕

A〕-i-2j+5k

解

B〕-i-j+3k

i

C〕-i-j+5k

c

={-1,-2,5}=- -2

jk

D〕-2i-j+5k

4. 求两平面和的夹角是：〔C〕 A〕

2

+5.

B 〕

C

4

〕

D

〕

3

5. 解 由公式〔6-21〕有

，

所以，所求夹角．

求平行于轴，且过点和的平面方程．是：〔D〕

A〕2x+3y=5=0 B 〕x-y+1=0 C〕x+y+1=0 D 〕．

解 因为平面平行于轴，所以可设这平面的方程为

因为平面过、两点，所以有

解得，以此代入所设方程并约去，便获得所求的平面方程

6．微分方程xyy

A．3

xy

3

y4y

0的阶数是(D)。

B．4

2C ．5

x5D ．2

的通解中应含的常数的个数为(A)。 D ．2

。

7．微分方程y

A．3

xy

1

B．5 C ．4

8．以下函数中，哪个是微分方程 dy 2xdx 0的解(B)

1 / 20

1

高等数学下册试题及参照答案

A．y

2xB．yx2

2

C．y

2xD．y

x

9．微分方程y3y3的一个特解是(B)。

A．y

x3 1B．yx23 C．yxC2 D．yC1x3

．函数ycosx是以下哪个微分方程的解(C)。

A．y 11．y

y Cex

1

0 C ex

2

B．y2y 0 C．yn 是方程y y

y

0D．

yycosx

0的(A)，此中C ，C 为随意常数。

1

2

A．通解B．特解C．是方程全部的解 12．y

A．yex

13．微分方程y

A．y* C．y*

D．上述都不对

y知足y|x0 2的特解是(B)。

x

1B．y2ex C．y2e2

D．y3ex

y

sinx的一个特解拥有形式(C) 。

asinx

B

bcosx

．y*

D

．y*

3y2

a cosx

acosx

xasinx bsinx

14．以下微分方程中，(A) 是二阶常系数齐次线性微分方程。

A．y2y0 C．5y4x0 15．微分方程y

A．ex B．ex

B ．yxy

0

D．y2y10

y

0知足初始条件y0 1C．ex

1的特解为(A)。

1D．2 ex y

y

16．在以下函数中，能够是微分方程

A．y

1

0的解的函数是(C)。

B．y x C．ysinx D．y

ex

17．过点1,3 且切线斜率为2x

A．y

2x B．y

的曲线方程y yx 应知足的关系是(C)。

2x，y1

3 D．y2x，y13

2xC．y

18．以下微分方程中，可分离变量的是(B)。

A．dy

dx

y e x

B

．dy kx

dx

a b

y (k,a,b是常数)

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2

高等数学下册试题及参照答案

C．

dy

siny

x

D

．y

xy

y2 ex

dx

19．方程y

A．y

sinx

2y 0的通解是(C)。

B．y

4

e2xC．y

C

e2x D．y

。

ex

20．微分方程

dx

y dy x

0知足y|x

3

4的特解是(A)

A．x 2

y 2

2

2

25．

2

．x

y

CD．x

y 2

C

C

21．微分方程

dy

B

3x4y

1 y 0 的通解是y(B)

。

dx

x

A．

C

B．Cx

C．

1

C D．xC

x

x

22．微分方程y

y

0 的解为(B)。

A．ex

B．ex C．ex ex D．ex

23．以下函数中，为微分方程 xdx

ydy0的通解是(B) 。

A．xyC

B ．x2

y2

C

C．Cxy0

D．Cx2

y0

24．微分方程 2ydy

dx

0 的通解为(A) 。

A．y2

xC

B．yxC C．yxCD．y

xC

25．微分方程cosydy sinxdx的通解是(D)

。

A．sinx

cosy C

B

．cosy sinx C

C．cosx siny

C

D

．cosx siny C

26．y

ex的通解为y(C)

。

A．ex

B．ex

C．ex

C1xC2

D．ex

C1xC2

27．依据微分方程通解定义， y

sinx的通解是(A)

。

A．sinx C1x C2

B

．sinx

C1 C2

C．sinx

C1x C2

D

．sinx

C1 C2

一、单项选择题

3 / 203

7

高等数学下册试题及参照答案

2．设函数fx,y在点x0,y0 〔D)

(A) (C)

处连续是函数在该点可偏导的

充足而不用要条件; 必需并且充足条件; (B) (D) 必需而不充足条件;

既不用要也不充足条件.

3．函数fx,y在点x0,y0 (B).

(A) (C)

处偏导数存在是函数在该点可微分的

充足而不用要条件; 必需并且充足条件; (B) (D) 必需而不充足条件;

既不用要也不充足条件.

C

yy

4．对于二元函数z

A.假定lim f(x,y)

xx0

f(x,y),以下结论正确的选项是(). A,

那么必有

lim f(x,y)

yy0

xx 0

A且有lim f(x,y)A;

0

B.假定在(x0,y0)处

z和x

z都存在,

y

那么在点(x0,y0)处z

f(x,y)可微;

y

C.假定在(x0,y0)处 D.假定

2z

和

z

存在且连续,那么在点(x0,y0)处zf(x,y)可微;

z

和

2z

都存在, 那么.

2

z

2

z.

x2 r

y2

r

x2 y2

6.向量a

(A) 3 (C) 3, 1, 2,b

(B)

2

r

1,2, 1 ，那么agb

r

〔A

3

〕

(D)2

5．三点M〔1，2，1〕，A〔2，1，1〕，B〔2，1，2〕，那么MA?AB=

； (A) -1 ； (B) 1

； (C) 0 ； (D) 2

〔C

〕

6．三点 M〔0，1，1〕，A〔2，2，1〕，B〔2，1，3〕，那么|MA AB|=

〔B 〕

(A) (C)

2;

2;

(B)

(D)-2;

y2

2ax(a0),化积分

D

22;

7．设D为园域x2

F(x,y)d为二次积分的正确

4 / 20

4

高等数学下册试题及参照答案

方法

A.

B.

2a

0

2

是_________.

2a 0

D

dx

a a

f(x,y)dy

2

dx

2ax

C.

a 0

d

2acos

a

f(

cos,

sin)

d

0

f(x,y)dy

D.

2d

2acos

2

0

f(cos

,

sin ) d

8．设I

3 1 ln3

dx

lnx 0 e

yf(x,y)dy,

那

改变积分序次, 么I

3

______.

B

ln3

0 3

A. C.

0 ln3 0

dy dy

0 3 0

f(x,y)dx f(x,y)dx

cos 0

2

B.

D.

dy

e lnx 0

y

f(x,y)dx f(x,y)dx

dy

1

9．二次积分

1 0

20

d

f( cos , sin )d

1

能够写成___________.D

1 y

2

A.

dy

y y

0

1 0

f(x,y)dx

B.

dy

1

f(x,y)dx f(x,y)dy

0

0

xx

2

C.

1 0

dx f(x,y)dy

D.

dx

0 0

10．设

下将三重积分

I

是由曲面x2

y2

2z及z

2所围成的空间地区，在柱面坐标系

f(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I

________.

C

A

．

2

0

d

1 0

2

d

2

0

2

f(

cos , sin

,z)dz

2

B.

2 0

d

2 0

d

2

0

2

0

f(cos,

sin ,z) dz

C．

d

d

2 0

2

2

0

2

f(

cos , sin ,z)

dz

D．

2 0

d d

2 0

f(

cos , sin ,z)

dz

11．设L为 x0y面内直线段，其方程为L:x 那么

a, c

yd，

Px,ydx

L

〔 C 〕

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5

高等数学下册试题及参照答案

〔A〕a

〔C〕0

〔B〕 c 〔D〕 d

L:ya,cxd，那么Px,ydy

L

12．设L为x0y面内直线段，其方程为

〔C

〕

〔A〕a 〔C〕0

13 ．设有级数

un,那么

n1

〔B〕c 〔D〕d limun

n

0是级数

收敛的

〔D

〕 (A) (C)

充足条件； (B) 既不充足也不用要条件；

nxn

n1

(D)

充足必需条件； 必需条件;

14．幂级数

的收径半径R=

〔D

〕

(A)3 (C)2 15．幂

(B)0

(D) 1

级

数

n1

1xn n

的

收

敛

半

径R

〔A

〕

(A)1

(C)2

16．假定幂级数

(B)0

(D)3

anxn的收敛半径为R，那么

n0

n0

anxn2的收敛半径为

〔A

〕 (A)

(C)

R

R

(B) (D)

R2

没法求得

17.假定limun

n

0,那么级数un()D

1

收敛且和为B.收敛但和不必定为 C.发散D.可能收敛也可能发散

假18. 定

n1

un为正项级数,

那么(

)

A.

假定limun

n

0,那么

n1

un

收敛B.

假定

n1

un收敛,

那么

n1

un2收敛

6 / 20

6

高等数学下册试题及参照答案

B

C.假定

,那u 2 么

n

u也收敛D.

n

假定

u 发散, 那么limun0

n

n

n1

n1

n1

19.设幂级数

Cnxn在点x

3处收敛,

那么该级数在点x

n1

A

A.绝对收敛 B.

条件收敛C.

发散 D.敛散性不定

那么该级

20.级数

sinnx , 数(

)

B

n1

n!(x 0)

A. 是发散级数

B.

是绝对收敛级数

二、填空题〔每题

C. 是条件收敛级数4

分，共D. 20可能收敛也可能发散

分〕

1. a ? b 〔公式〕

答案∣

=

a∣?∣b∣cos() 2.答案a=(aax，+aay，az)，b=(bx，by，zbz)那么a·b= 〔计算〕

xbxyby+azbz

3.ab.

i

j k

答案ax

ay az bx

by bz

[abc]

a答案x cbaxy abzy

bz平面的点法式方程是答案x cy cz

6.设z

arcsinx2 y2 ，其定义域为

(

x,yx2 y2

1,y

x

y x

sin x 2y

xy0

7.设fx,y

xy

，那么fx0,1

(

fx0,1

1 )

0

xy 0

7 / 207

1处()

0)

高等数学下册试题及参照答案

8. f x,y在点 处连续是fx,

x,y处可微分是f y在该点可微分的

在点x,y的偏导数

x,y 在该点连续的

的条件.(

的条件，f x,y在点x,y

充足，必需)

9. z

fx,y

z及 x

z

y

存在是f

x,y在该点可微分的

条件.(必

要)

在横线上填上方程的名称

①y 3 lnxdx xdy 0方程的名称是

答案

可分离变量微分方程；

②xy2

xdx

y x2ydy

0方程的名称是

答案 可分离变量微分方程；

③xdy y方程的名称是

yln

dx x

答案 齐次方程；

④xy

y

x2sinx方程的名称是

答案

一阶线性微分方程；

y

⑤ y

2y

0方程的名称是

答案

二阶常系数齐次线性微分方程

.

c)对于

11.在空间直角坐标系

(1) 坐标平面；(2)

{O;i,j,k}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,

坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.

[解]：M(a, b,c)对于xOy平面的对称点坐标为(a,

平面的对称点坐标为 (－, ( , , )对于

b, －c)，

,

)，

M a b c yOz

M(a, b, c)对于xOz平面的对称点坐标为 M(a, b, c)对于x轴平面的对称点坐标为 M(a, b, c)对于y轴的对称点的坐标为 M(a, b, c)对于z轴的对称点的坐标为

b c a

(a,－b,c)，

(a,－b,－c)， (－a,b,－c)， (－a,－b,

c).

近似考虑P(2, －3，－1)即可.

12.要使以下各式建立，矢量 〔1〕ab 〔3〕ab 〔5〕a

a,b应知足什么条件？

〔2〕ab 〔4〕abab;

a b; a

b

a

b; b.

ab;

[解]：〔 1〕a,b所在的直线垂直时有

〔 2〕a,b同向时有ab

a bab； a

b;

8 / 20

8

高等数学下册试题及参照答案

〔3〕a b,且a,b反向时有a

ba b时有

b b; ab

a

b;

〔4〕a,b反向时有a 〔5〕a,b同向，且a

a b.

以下情况中的矢量终点各组成什么图形？

1〕把空间中全部单位矢量归纳到共同的始点；

2〕把平行于某一平面的全部单位矢量归纳到共同的始点； 3〕把平行于某向来线的全部矢量归纳到共同的始点；

〔4〕把平行于某向来线的全部单位矢量归纳到共同的始点 . [解]：〔1〕单位球面； 〔2〕单位圆 〔3〕直线； 〔4〕相距为 2的两点

二、填空题

1．设 f (x,y) 2．设 f x,y

sinx cosx

(y 1)ln(x2 y 1lnx2

y2)，那么fx(0,1)___1___. y2，那么

fx'(0,1)=____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 fx,ydxdy f cos, sin dd

D

D

．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 fx,y,zdxdydz f cos, sin ,z d d dz

5．柱面坐标下的体积元素

6．设积分地区D:x2

dv

2

d ddz

y

a2,

且 dxdy

D

9 , 那么a

3

。

7．设D由曲线

asin ,

2

那

a所围成, 么

2

dxdy 3a2

D

4

8．设积分地区D为

1 x

y

4,

D

2dxdy 6

1 0

9．设f

x,y

1

在[0，1] 上连续，假如

1

f xdx

3，

那么

dx

0

0

f xf

ydy=_____9________.

10．设L为连结(1,0)

与(0,1)

两点的直线段，那

么

xyds

L

2.

9 / 20

9

高等数学下册试题及参照答案

11．设L为连结(1,0) 与(0,1) 两点的直线段， 那么xyds___________.0

L

12．等比级数

n1

aqn(a

0)当

q 1时，等比级数

n1

aqn收敛.

13．当__

1 __时，p

级数n1

np

1 是收敛的.

14．当_________时,级数

n

1

1

n1

1 np

是绝对收敛的.

1

_________.

1, 2

15．假定f(x,y)

xy

x, 那么fx(2,1)

y (x

16．假定f(x,y) xy

3

1)arccosy2,那么fy(1,y)_________.

3y2

2x

zxyylnxdx xlnzdy

那么

17．设u

zxy,

du

_________.

xydz z

18．设z

ylnx,

2 0

那么

2z

__________.

x2

2

y

2

lny(lny 1)ylnx

x2

19.积分

dx

e dy的值等于_________.

x

1 2

(1 e

4

),

20.设D为园域x2

y2

a2,假定

D

x2 y2 dxdy8

那么

, a

_______.2

那么I_______.

21.设I2dxdydz,

此中

:x2 y2 z2 a2,

z 0,

a3

三、是非题

2.lim

x

〔每题4分，共20分〕

初等函数的定义域是其自然定义域的真子集.(ⅹ)

sinx

x

1.(ⅹ)

10 / 20

10

高等数学下册试题及参照答案

3.x

2

2

lim

x 3

3 ⅹ)

.(

x

4. 对于随意实数

x, 恒有sinxx建立.( ⅹ)

5. y0x

是指数函数.(

ⅹ)

6. 函数y loga x0 a 1 的定义域是 0,

.(ⅹ

)

7. log23log32 1.(√)

8. 假如对于随意实数

x R, 恒有fx 0, 那么y

存在既为等差数列,又为等比数列的数列.(√) 指数函数是根本初等函数.(√)

11. lim

x

0.(√)

x0

x

12. 函数y x3 3x2

4为根本初等函数.(√) 13.

xadx

1 xa1

C.(ⅹ)

a

1

14.

arcsin x

是根本初等函数.(ⅹ)

sinx与x是等价无量小量.(ⅹ)

16. ex

1与x为等价无量小量.(ⅹ)

17. 假定函数fx在区间a,b上单一递加,

那么对于随意x

( 存在既为奇函数又为偶函数的函数ⅹ)

.(ⅹ) 当奇函数fx在原点处有定义时,必定建立f00.(√)

20. 假定偶函数

y f x x 1,1 连续, 那么函数 y f x (√)

21. 假定奇函数

y

f

x

x

1,1 连续, 那么函数 y

f

x

22. (√)

偶函数与奇函数的乘积为奇函数.(√) 奇函数与奇函数的乘积为偶函数.(√)

11 / 20

11

fx为常函数.(√)

a,b,恒有fx0.

x 1,1 为奇函数x

1,1 为偶函数..

高等数学下册试题及参照答案

f

24. 假定函数fx为奇函数,那么必定建立

0 0

0.( √) 0.(

ⅹ)

f

假定函数fx为偶函数,那么必定建立

26. sin x 27. 28. 29.

cosx

.( ⅹ) ⅹ)

sinxcosx ax sinx x

ax.(

sin2x.(

ⅹ)

sinx.(

ⅹ)

单一函数必定存在最大值与最小值.(ⅹ) 单一函数必定存在反函数.(√)

32. 互为反函数的两个函数的图像对于直线 假定定义域33. 为

y x对称.(

那么f

√)

0,1的函数fx 存在反函数, x在区间 0,1上单一.(√)

34. lim

n22

n

2n

x 1

1

2

.(√

)

35. 对于随意的

a,bR, 恒有a b 2ab.(√)

函数的三因素为:定义域,对应法那么与值域.(√)

假定函数fx在其定义域内到处有切线,那么该函数在其定义域内到处可导.(ⅹ)

空集是随意初等函数的定义域的真子集.(ⅹ)

39.

i0

sinix为初等函数.(ⅹ)

40. 对于随意的x

R,恒有x12x.(ⅹ)

左右导数到处存在的函数,必定到处可导.(ⅹ)

以下题〔1．×；2．×；3．√；4．×；5．√〕 1．随意微分方程都有通解。 ( ×)

2．微分方程的通解中包括了它全部的解。 (×)

3．函数y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。( 2y

√)

4．函数y

x2 ex是微分方程y

y 0的解。(×)

12 / 20

12

高等数学下册试题及参照答案

5．微分方程xy

lnx0的通解是y

1 2

lnx2

C(C为随意常数)。(√)

以下是非题〔1．×；2．√；3．√；4．×；5．×〕

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。 2．假定y1x，y2 x 都是y

( )

Pxy Qx的特解，且y1x与y2x线性没关， 那么通解可表为yx

y1 xCy1 xy2

x 。(

)

3．函数ye1x

e2x是微分方程y

1

2y

12y0的解。()

4．曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，那么曲线所知足的微

分方程是yx2

C(C 是随意常数)。()

5．微分方程y

e2x y，知足初始条件y|x0

0的特解为e

y

1

e2x

是非题〔

2

1．只需给出1．×；n阶线性微分方程的2．√；〕

n个特解，就能写出其通解。

2．二阶线性齐次方程

y

Px

yQxy0的一个非零解y，即可

四、计算证明题〔每题 10分，共40分〕

1、判断积数收敛性

(1)n

2n2

n1

n!

2n2

解：

lim

un 2

2n 1

n

lim

n!

2

lim

1

un

1

n

2

(n1)

n

n

(n 1)!

由比值法，级数

(

1)n2n2 发散

n

1

n!

2．ydxxdy

x2ydy

解：两边同除以 x2，得：

ydx xdy 2

ydy

d

y

x

1y2

c

x

2

即

y

1y2

c

x 2

13 / 20

13

。()

1

高等数学下册试题及参照答案

dy

y

dx x

xy

3． 解：两边同除以

x，得

y dy

x

dx

1 y

x

令

y

u

x

那么dy

u

xdu

dx

dx

即dy u

xdu

u

dx

获得1

dx c

11 u

lny ，

2

u

2

2

即x

yc

1

lny

2

此外y

0 也是方程的解。

4．xy1ydx

xdy

0

解：ydx

xdy xydx

0

ydx

xdy

xdx

y

2

获得d

x 1x2 c

y

2

即x

1x2

c

y 2

此外y

0也是方程的解。

5．求方程y 2y 5y 0的通解.

解:

所给方程的特点方程为r2

2r 5 0

r1 1 2i,r2

2i

14

1 14 / 20

高等数学下册试题及参照答案

所求通解为

y

ex(C1cos2x

C2sin2x).

求.

解

7．求方程y

2y

3y 0的通解.

r2 2r

r1

3,r2

解所给方程的特点方程为

其根为

3 1

0

所以原方程的通解为 8.证明

y C1e3x C2ex

lim

x,y

0,0

x 2y2

极限不存在

xy

x y

22xy2

22

2

28)因为

lim

x 0 xy

2

2

2

1, lim

x0 y2x

x

2

y2

2

0所以极限不存在

x y

xy

x y

xy

9.证明lim

x,y

xy2

极限不存在

0,0x

2

y 4

x 2

9)设y2=kx，lim

xy2

y 0 2 x ky

y4

k

2

k

1

不等于定值，极限不存在

10.计

此中D是由直线y 1、x 2及y x所围成的闭地区

算

xyd

D

解画出地区D 可把D当作是X

2x

型地区 1

2x2 1

2

2 1

y

3

x 于是 1x4

[

xyd

D 1 [ 1 xydy]dx

1 2 y x

1

]dx 2 [x 2 1 1

2 1

(x

x

x)dx 24

x2 29 2 ]1 8

x

注

积分还能够写成

xyd

D

dx xydy

1

xdx ydy

1

11．

dy

=2xy,并知足初始条件：x=0,y=1的特解。

两边积分有：ln|y|=x

dy

解：=2xdx

dx

2+c

y

2

y=ex

+ec=cex2 此外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

15 / 20

15

高等数学下册试题及参照答案

原方程的通解为

特解为y=ex2.

y=cex2,x=0y=1时c=1

12.y2dx+(x+1)dy=0 并求知足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydx=-(x+1)dy

2dyy2

dy=-

1 dx x 1

两边积分:-

1

=-ln|x+1|+ln|c|

y=

y

1

ln|c(x

1)|

此外y=0,x=-1也是原方程的解 特解：y=

x=0,y=1

时c=e

1

ln|c(x y)dx

M y

(x

1)| 2y)dy0

13.(x2

解：

N1，=1.

x

那么M

y

N x

所以此方程是适合方程。

凑微分，x2dx 2ydy

13

得：x xy y2 C

(ydxxdy)0

3

14．(y

解：

3x2)dx

M

y

(4yx)dy 1，

0 1.

N

x

那么M

N

.

y

x

所以此方程为适合方程。

凑微分，ydx

xdy 3x2dx 4ydy

0

16 / 20

16

高等数学下册试题及参照答案

得 x3 xy 2y2

C

15. 求

lim

(x,y)(0,0)

xy 1 1 xy

解 lim

(x,y) (0,0)

xy 1 1 xy

lim

(x,y)

( xy 1 1)( xy1 1)

xy( xy 1 1) (0,0)

lim

(x,y)(0,0)

1 xy

1

11 2

求z

x2

xy y2在点

处的偏导数 16.

3

(1

2)

解

z

z

x 2 y

z

2

x 3

y

3

x

x

y

x y

z

x22

1

31

7

yy

2

32

17.设zxy

xy2

求z、3z、

2

z和

2z

3xy 3

1

x2

x

3

yx

x y

z

2 2

3

z

3

2

解

3xy

x

3y y

y 2xy

9xy

x

2z

6xy2

3z

6y2

x2

x3

2z

6x2y9y21

2z

6x2y9y21

x y

yx

18. 考证函数z ln x2

y2知足方程

2z

2z

0

x2

y2

证因为z

ln x2

y21

ln(x2 y2)

所以

2

z

x

z y

x

x2 y2

y

x2 y2

2z

(x2y2

)x2x

y2x2

x2

(x2 y2)2

(x2y2)2

2z

(x2

y2)y2y

x2y2

y2

(x2 y2)2

(x2 y2)2

所以2z

x2 y2

y2x2

2z

2

(x2y2)2

y

2

(x2y2)2

0

x

17 / 20

17

1

21

2

32 8

高等数学下册试题及参照答案

19.

计算函数zx2yy2的全微分

解因为

z

2xy

所以dz 20.

当(x

0是函数的极小值

x

2xydx

3 y)(0

z y

x2 2y

(x2

2y)dy

函数 zx2

y2 在点 4 (0

0)时

处有极小值 0)

z 0而当(x 0)处有极大值

y)(00)时z0 所以

21.函数z

x2 y2在点(0

当(x y)(00)时 z0而当(x y)(00)时z0 0是函数的极大值

3)、B(34 三角形 ABC的极点分别是 A(1 22. 2

求三角形ABC的面积 (2 4 7)

可知三角形ABC的面积 解 依据向量积的定义

所以 5)、C

S

ABC

1|AB||AC|sin

A

1

2

|ABAC|

2

因为AB

(2

2

2)

AC

(1

i j k

222 1 2 4

2 4i 6j

4)

2k

所以

ABAC

于是

SABC|4i6j

2

设有点

A

1

2k| 1

2

42 ( 6)2 22

14

和B

求线段AB的垂直均分面的方程

23.

(1 2 3) (2 1 4)

Mx

(

所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹 解 由题意知道

y z 那么

)为所求平面上的任一点 有

AM BM | | | |

设

即

(x1)2(y2)2 (z3)2 (x 2)2(y 1)2 (z 4)2

等式两边平方

而后化简得

2

x

6

y

z

2

7 0

这就是所求平面上的点的坐标所知足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不

知足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 24. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程

解依据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 ( x 2) 2(y 3) 3z0

即x2y3z80

25.求经过x轴和点(4 3 1)的平面的方程

解平面经过x轴 一方面说明它的法线向量垂直于 x轴

即 A 0

另一方面说明 它必经过原点 即D 0 所以可设这平面的方程为

By Cz 0

1) 所以有 3 又因为这平面经过点 (4

18 / 20

18

高等数学下册试题及参照答案

C B 或 3

将其代入所设方程并除以 B(B

y 3z 0

3B C 0

0) 便得所求的平面方程为

26.求直线L1:

x

1 y z

1 4 1

3

和L2:

x

y2

2

z

的夹角

2 1

解两直线的方向向量分别为 s1

设两直线的夹角为 那么 1)

(1

4

1)和s2

(22

|12(4)(2)1(1)| 1

2

cos

12

(4)21

2

22(2)2

(1)

2

2

2

所以

4

例1求幂级数

n

(1)n1x

x x2

x3 (1)n1x

n

n1

n

2

3

n

的收敛半径与收敛域

an

1

解

因为

lim| 1| lim n 1 1

n an n

1

n 所以收敛半径为 R 1 1

当x

1时

幂级数成为

(1)n11

是收敛的

n1

n

当x

1时

幂级数成为

( 1)

是发散的

所以

收敛域为(

n1

n

例2

求幂级数

1xn

n

0n!

1x1x

21

x3

1xn 2!

3!

n!

的收敛域

解因为n1

lim|

a|

lim

(n

1

n ann

11)! lim

n (nn! 0 1)!

n!

所以收敛半径为 R

进而收敛域为(

, )

例3 求幂级数

n!xn的收敛半径

n0

19 / 20

19

1,1]

高等数学下册试题及参照答案

解因为

lim|an1| limn

(n

1)! n!

n

an

所以收敛半径为 例5

R0 即级数仅在x 0处收敛

计算

L

2

2xydx xdy

此中L为抛物线y

x2上从O(0

0) 到B(1

1)的一段弧

解

因为

P y

Q

2 x在整个xOy面内都建立 x

积分 L OA

所以在整个xOy面内

2x2xydx dy与路径没关

2xydxx2dy

L 1 2

2

2xydx xdy

22xydx xdy

AB

1 dy1

0

议论 向

提示

设L为一条无要点、分段圆滑且不经过原点的连续闭曲线 问 xdy ydx 0能否必定建立？

L

L的方向为逆时针方

x

2

y2

这里P

y x

2

和Q

x 在点(0 y

0) 不连续

2

2

y

2

xQ

2

2

2

因为当x

y0时

y 2 x

P y

x

(x

2

y)

22

所以假如(0

0) 不在L所围成的地区内

那么结论建立 例6 考证 数

而当(0

0) 在L所围成的地区内时

结论未必建立

在整个xOy面内

xy2dx x2ydy是某个函数的全微分

并求出一个这样的函

解 这里P

xy2 Q x2y

因为P、Q在整个xOy面内拥有一阶连续偏导数

且有

Q

2xy

P

x y

所以在整个xOy面内

取积分路线为从

xy2dx x2ydy是某个函数的全微分

0)到(

xydx

(0

O

(x,y)

Ax

0) 再到 ( Bx

y 2

x

y

)的折线

那么所求函数为

u(x,y)

2

2

x

ydy 0

ydy x 2

y

ydy

x2y2 2

(0,0) 0 0

20 / 20

20