电磁学计算方法的比较

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摘 要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有 代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、 有限兀法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法

1引言

18年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第 定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论, 并用数学模型揭示了自然界一切 宏观电磁现象所遵循的普遍规律， 这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwel l方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这 种方法可以得到问 题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有 规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较 高的数学 技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着 电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得 到广泛地应用，相对于经典电磁理论 而言，数值方法受边界形状的 约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法 都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常 需要将多种方法结合起来，互 相取长补短，因此混和方法日益受到人 们的重视。

本 文 综 述 了 国 内 外 计 算 电 磁 学 的 发 展 状 况 ，对 常 用 的 电 磁 计 算 方 法做了分类。

2 电磁场数值 方法的分类

电 磁 学 问 题 的 数 值 求 解 方 法 可 分 为 时 域 和 频 域 2 大 类 。频 域 技 术 主要有矩量法、有 限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成 熟。时 域法 主要 有时 域 差分 技 术。时 域法 的引 入是 基于 计算 效率 的 考 虑 ，某 些 问 题 在 时 域 中 讨 论 起 来 计 算 量 要 小 。例 如 求 解 目 标 对 冲 激 脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次 采 样计算， 然后做傅里叶反变换才能求得解答，计 算精度受到采样 点的影响 。若 有非线性部分随时间变化，采 用时域法更加直接。另外还有一些高频 方法，如GTD, UTD和射线理论。

从求解方程的形式看，可以分为积分方程法(IE )和微分方程法 (DE)0 IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法 少一维，误差限于求解 区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域 问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶 数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、 非线性和时变媒质问题，DE法可直接用于这类问题〔1〕

3 几种典 型方法的 介绍

有限元方法是在 20世纪 40 年代被提出，在 50 年代用于飞机设 计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。 目前，作 为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法 ，有限元法已 非常著名。 有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。其定解问题为：

应用变分原理，把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，

利用对区域D的剖分、插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值 问 题 ，进 而 得 到 一 组 多 元 的 代 数 方 程 组 ，求 解 代 数 方 程 组 就 可 以 得 到 所求边值问 题的 数值解。

(1)时域有限差分方法

时域有限差分(FDTD)是电磁场的一种时域计算方法。传统上电 磁场的计算主要是在频域上进行的，这些年以来，时域计算方法也越 来越受到重视。 他已在很多 方面显示出独特的优越性， 尤其是在解 决有关非均匀介质、任意形状和复杂结构的散射体以及辐射系统的电 磁问题中更加突出。FDTD法直接求解依赖时间变量的麦克斯韦旋度 方程，利用二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转 换为差分形式，这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的 数据取 样压 缩。电场 和磁场分 量 在空 间被 交叉 放置 ，这 样保 证在 介 质边界 处切 向场 分量 的 连续 条件 自然 得到 满足 。在笛 卡儿 坐标 系 电场 和磁场分量在网格单元中的位置是每一磁 场分量由 4 个电场分量包 围着，反之亦然。

这 种电 磁场 的空 间 放置 方法 符合 法拉 第定 律和 安培 定律 的自然

几何结构。因此FDTD算法是计算机在数据存储空间中对连续的实际 电磁波 的传 播过 程在 时 间进程上 进行 数字 模拟 。 而 在每 一个 网格 点 上各场分量的新值均仅依赖于该点在同一时间步的值及在该点周围 邻近点其他场前半个时间步的值。 这正是电磁场的感应原理。 这 些 关系构成FDTD法的基本算式，通过逐个时间步对模拟区域各网格点 的计算， 在执行到适当的时间步数后， 即可获得所需要的结果。

在上述算法中，时间增量△ t和空间增量△ x , △y和△z不是 相互的， 他们的取值必须满足一定的关系， 以避免数值不稳定。 这种不稳定表现为在解显式 差分方程时随着时间步的继续计算结果 也将无的 67 增加。为了保证数值稳定性必须满足数值稳定条件：

用差分方法对麦克斯韦方程的数值计算还会在网格中引起所模 拟波模的色散，即在FDTD网格中数字波模的传播速度将随波长、在 网格中 的传播方向以及离散化的 情况而改变。 这种色散将导致非物

理原因引起的脉冲波形的畸变、为的各向异性及虚拟的 绕射等，因 此 必须考 虑数 值色 散问 题 。如 果在 模拟 空间 中采 用大 小不 同的 网格 或 包含不同的介质区域，这 时网格尺寸与波长之比将是位 置的函数 ，在 不同网 格或 介质 的交 界 面处 将出 现非 物理 的绕 射和 反射 现象 ，对 此也 应该进行定量的研究，以保证正确估计FDTD算法的精度。在开放问 题中电磁场将占据无限大空间，而由于计算机内存总是有限的，只能 模拟有限空间， 因此差分网格在某处必将截 断， 这就要求在网格截 断处不引起波的明显反射，使对外传播的波就像在无限大空间中传播 一样。这就是在截断处设置吸收边界条件，使传播到截断处的波被边 界吸 收而不 产生反射 ， 当然不 可 能达 到完 全没 有反 射， 目前 已创 立 的一些吸收边界条件可达到精度上的要求，如Mur所导出的吸收边界 条件。

(2 )复射线方法

复射线是用于求解波场传播和散射问题的一种高频近似方法。他 根据几何光学理论和几何绕射理论的分析方法和计算公式，在解析延 拓的复空间中求解复射线轨迹和 场的振幅和相位， 从而直接得出局 部不均匀波( 凋落波)的传播和散射规律。复射线方法是包括复射线 追踪、复射线近轴近似、复射线展开以及复绕射线等处 理技术在内 的一系列处理方法的统称。其共同特点在于：通过将射线参考点坐标 延拓到复空间而建立了一个简单而统一的实空间中波束/射线束(B undle ofrays )分析模型；通过费马原理及其延拓，由基于复射线追 踪或复射线近轴近似的处理技术，构造了射线光学架构下有效的鞍点 场描述 方法 等。 例如 ， 复射 线 追 踪法 将射 线光 学中 使用 的射 线追 踪 方法和 场强 计算 公式 直 接地 解析 延拓 到复 空间 ，利用 延拓 后的 复 费马 原理进 行复 射线 搜索 ， 从而 求出 复射 线轨 迹和 复射 线场 。 这 一方 法 的特点 在于 可以 基于 射 线光 学方 法有 效地 描述 空间 中波 束的 传播，因 此 ，提 供 了 一 类 分 析 波 束 传 播 的 简 便 方 法 。其 不 足 之 处 是 对 每 一 个 给 定的观察点必须进 行一次 二维或四维的复射线轨迹搜索，这是一个 十分花费时间的计算机迭代过程。

4 几种方法的 比较和进展

将有限元法移植到电磁工程领域还是二十世纪六七十年代的事 情 ，他 比 较 新 颖 。有 限 元 法 的 优 点 是 适 用 于 具 有 复 杂 边 界 形 状 或 边 界 条件、 含有 复杂 媒质 的 定解 问题 。 这 种方 法的 各个 环节 可以 实现 标 准 化 ，得 到 通 用 的 计 算 程 序 ，而 且 有 较 高 的 计 算 精 度 。但 是 这 种 方 法 的计算 程序 复杂 冗长 ， 由于 他是 区域 性解 法， 分割 的元 素数 和节 点 数较多，导 致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很 大，这 使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。对 电磁学 中的 许多 问题 ， 有 限元 产 生的 是带 状（ 如果 适当 地给 节点 编 号的话 ）、 稀疏 阵（ 许多 矩 阵元素是 0）。但是 单独 采用 有限 元 法只 能解决 开域 问题 。用 有 限元 法进 行数 值分 析的 第一 步是 对目 标的 离 散 ，多 年 来 人 们 一 直 在 研 究 这 个 问 题 ，试 图 找 到 一 种 有 效 、方 便 的 离 散方法，但 由于电磁场领域的特殊性，这个问题一直没有得到很好的 解决。问题的关 键在于一 方面对复杂的结构，一般的剖分方法难于 适 用 ；另 一 方 面 ，由 于 剖 分 的 疏 密 与 最 终 所 形 成 的 系 数 矩 阵 的 存 贮 量 密切相 关 ，因而 人们 采用 了许 多方 法来 减少 存 储 量，如 多 重网 格法 ， 但这些方法的实现较为困难〔6〕。

网 格 剖 分 与 加 密 是 有 限 元 方 法 发 展 的 瓶 颈 之 一 ，采 用 自 适 应 网 格 剖分和 加密 技术 相对 来 说可 以较 好地 解决 这一 问题 。自适 应网 格 剖分 根据对 场量 分布 求解 后 的结 果对 网格 进行 增加 剖分 密度 的调 整， 在 网格密集区采用高阶插值函数，以 进一步提高精度，在场域分布变化 剧烈区域，进行多次加密。

这 些年 有限 元方 法 的发 展日 益加 快，与 其他 理论 相结 合方 面 也有 了新的进展，并 取得了相当应用范围的成果，如自适应网格剖分、三 维场建 模求 解、 耦合 问 题、 开域 问题 、高 磁性 材料 及具 有磁 滞饱 和 非线性特性介质的处理等，还 包括一些尚处于

探索阶段 的工作，如 拟 问题、 人工 智能 和专 家 系统 在电 磁装 置优 化设 计中 的应 用、 边 基 有 限元法等，这些都使得有限元方法的发展有了质的飞跃。

矩量法将连续方程离散化为代数方程组，既适用于求解微分方 程 ，又 适 用 于 求 解 积 分 方 程 。他 的 求 解 过 程 简 单 ，求 解 步 骤 统 一 ，应 用起来比较方便。然而 77 他需要一定的数学技巧，如离散化的程度、 基函数与权函数的选取，矩阵求解过程等。另外必须指出的是，矩 量 法可以 达到 所需 要的 精 确度 ，解 析部 分简 单， 可 计 算量 很大 ，即 使 用高速大容量计算机，计 算任务也很繁重。矩量法在天线分析和电磁 场散射问题中有比较广泛地应用，已成功用于天线和天线阵的辐射、 散射问 题、 微带和有 耗结构分 析 、非 均匀 地球 上的 传播 及人 体中 电 磁吸收等。

FDTD用有限差分式替代时域麦克斯韦旋度方程中的微分式，得 到关于场分量的有限差分式，针对不同的研究对象，可在不同的坐标 系中建模， 因而具有这几个优 点， 容易对复杂媒体建模， 通过一次 时域分析计算， 借助傅里叶变换可以得到整个同带范围内的频率响 应；能够实时在现场的空间分布， 精确模拟各种辐射体和散射 体的 辐射特性和散射特性；计算时间短。但是FDTD分析方法由于受到计 算机存储容量的，其网格空间不能无的增加，造成FDTD方 法不能适用 于较大尺寸，也不能适用于细薄结构的媒质。因为这种细 薄结构的最小尺寸比FDTD网格尺寸小很多，若用网格拟和这类细薄 结构只能减小 网格尺寸， 而这必然导致计算机存储容量的加大。 因 此需要将FDTD与其他技术相结合，目前这种技术正蓬勃发展，如时 域积分方程/ FDTD方法，FDTD/ MOM等。FDTD的应用范围也很广阔， 诸如手持机辐射、天线、不同建筑物结构室内的电磁干扰特性研究、 微带线等〔7〕。

复射线技术具有物理模型简单、数学处理方便、计算效率高等特 点，在复杂目 标散射特

性分析等应用领域中有重要的研究价值。典型 的处理方式是首先将入射平面波 离散化为一组波束指向平行的复源 点场，通过特定目 标情形下的射线追踪、场强计算和叠加各射线场的 贡献， 可以 得到 特定 观 察位 置处 散射 场的 高频 渐进 解。 目前 已 运 用 复射线分析方法对飞行器天线和天线罩（雷达舱）、（加吸波涂层） 翼身结合部和 进气道以及涂层的金属平板、角形反射器等典型目标散 射特性 进行 了成 功的 分 析。尽 管 复射 线技 术的 计算 误差 可以 通过 参 数调整得到控制，但 其本身是一种高频近似计算方法，由于入射波场 的离散 和只 引入 鞍点 贡 献， 带来 了不 可避 免的 计算 误 差 。总 的来 说 复射线 方法 在目 标电 磁 散射 领域 还是 具有 独特 的优 势，尤 其是 对 复杂 目标的处理。

5 结语

电 磁学的数值计算方法远远不止以上所举，还有边界元素法 、格 林函数法等，在 具体问题中，应 该采用不同的方法，而不应拘泥于这 些方法，还可以把这些方法加以综合应用，以达到最佳效果。

电 磁学的 数值计算是一门计算的艺术，他 横跨 了多个学 科，是数 学理论、电 磁理论和计算机的有机结合。原则上讲，从直流到光的宽 频带范 围都 属于 他的 研 究范 围。 为了 跟上 世界 科技 发展 的需 要， 应 大力进行电磁场的并行计算方法的研究，不断 拓广他的 应用领域 ，如 生物电 磁学 、复 杂媒 质 中的 电磁 正问 题和 逆问 题、 医学 应用 、 微 波 遥感应用、非线性电磁学中 的混沌与分叉、微 电子学和 纳米电子学等。