圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题

要点提示

一.圆周运动中的临界问题的分析方法

首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．

二.竖直平面内作圆周运动的临界问题

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。　　vvv绳·a图6-11-1

b

（注意：绳对小球只能产生拉力）

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

v2mg =m  v临界=

RRgRg（2）小球能过最高点条件：v ≥（当v >Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）（3）不能过最高点条件：v 杆a图6-11-2

b（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）（2）当0< v F > 0（F为支持力）

1

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（3）当v =Rg时，F=0

（4）当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）

注意：管壁支撑情况与杆一样。杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论．

（3）拱桥模型

如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当

物体速度达v=rg时，FN=0，物体将飞离最高点做平抛运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s= 2R。

【典型题目】

竖直平面内作圆周运动的临界问题

mALO（1）绳模型

1、如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （

A．是拉力 C．等于零

）B．是推力

D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

2、如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2,求：

(1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？

(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?

（2）杆模型

1、长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（　　）

A.6.0N的拉力

B.6.0N的压力

C.24N的拉力

2

D.24N的压力

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2、如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正

确的有：

A．小球通过最高点的最小速度为B．小球通过最高点的最小速度为零

C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力

r)m3、在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为

r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( A．

Mmg mrB．

MmMgMmg D．g C．

mrmrmr（3）拱桥模型

1、如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是(　　)A．L1＝L2 C．L1L2

D．前三种情况均有可能

2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。今给小物体一个水平初

Rg，则小物体将（ ）

A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3

3、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的4。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为

A、15 m／s

（　　　）

C、25 m／s

D、30m／s

B、20 m／s

三.水平面内作圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

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【典型题目】

1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( 

)

A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损

　　　B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损　　　C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损　　　D.以上三种说法都是错误的

2、如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大？

OAB

3、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （

）

A、vkRg B、vkRg C、v2kRg

D、vRgk4、如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是(　　)A．物块处于平衡状态B．物块受三个力作用

C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘

5、在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（ ）

A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C．当转台转速增加时，C最先发生滑动D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

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6、如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA=0.2m，rB=0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g取10 m/s2，

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；

（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。

BA7、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：μg

⑴当转盘角速度ω1＝2r时，细绳的拉力T1。

3μg

⑵当转盘角速度ω2＝2r时，细绳的拉力T2。

ωro8、一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。甲、乙物体质量分别是M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为L(LR)的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（

）

ωMm(Mm)gA.

(Mm)g

B.

mLML(Mm)gC.

(Mm)g

D.

MLmL9、用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于

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h，使小球在桌面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最大值是(　　)

1A．2gh

B．

gh

1C．2gl

2

D．

lg10、 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

11、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

【强化训练】

1、如图一个质量为M的小球与一根质量为m的弹簧相连，且以角速度ω、绕轴00’在光滑水平而上转动，此时，小球到转轴的距离为L。某时刻，在A处剪断弹簧，则下列关于这一瞬间小球加速度的判断正确的是( )

2、如图所示，木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从

aAB水平位置a到最低点b的过程中（　　　　） A．B对A的支持力越来越大

B．B对A的支持力越来越小C．B对A的摩擦力越来越大D．B对A的摩擦力越来越小

3、如右图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，

b质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是(　　)

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A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5 mgB．当v＝5gR时，小球b在轨道最高点对轨道无压力

C．速度v至少为5gR，才能使两球在管内做圆周运动

D．只要v≥5gR，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力都大6 mg

4、如图所示，一个小球在竖直环内至少能做（n1）次完整的圆周运动，当它第

（n1）次经过环的最低点时的速度大小为7m/s，第n次经过环的最低点时速度大小为5m/s，则小球第（n1）次经过环的最低点时的速度v的大小一定满足（ ）A．等于3m/s C．等于1m/s

时绳子所受拉力大小之差为______.答案：6mg

6、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，

B．小于1m/sD．大于1m/s5、质量为m的小球用绳子系住在竖直平面内作圆周运动，则小球运动到最低点和最高点v另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离Soc=L，则小球通过最高点A时的速度表达式vA＝ ；小球通过最低点B时，细线对小球拉力表达式TB= ；若小球运动到A点或B点时剪断细线，小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，则l和L应满足的关系式是 ．

答案： vA=glsin ；TB=6mgsin；L1.5l．

7、如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm，A、B与盘面间最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：

(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0. (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω.

(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？(g取10 m/s2)

8、现有A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′ 以角速度ω绕OO′ 做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2，求：

上，如图所示。当m1与m2均

（1）此时弹簧伸长量；（2）绳子张力；

（3）将线突然烧断瞬间A球的加速度大小。

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m2(l1l2)2m2(l1l2)22Key: ，m2l2(m1m2)l1，

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