华东师大版八年级下册数学第17章 函数及其图象第1节《变量与函数(2)》参考教案

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的； 2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值. 过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识； 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法. 教学过程 一、创设情境 问题1

(1)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

(2)如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.

解 如图能发现涂黑的格子成一条直线. 函数关系式：y＝10－x.

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式. 解 y与x的函数关系式：y＝180－2x.

问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm与MA长度x cm之间的函数关系式.

2

解 y与x的函数关系式：y二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有吗？如果有，写出它的取值范围. (2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°. 问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm.

解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9； 问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90； 问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4. 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s＝60t， S＝πR.

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义.例如，函数解析式S＝πR中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0.

对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是 y＝5× (30－5)＝5×25＝125. 125叫做这个函数当x＝5时的函数值. 三、实践应用

例1 求下列函数中自变量x的取值范围： (1) y＝3x－1； (2) y＝2x＋7； (3)y2

2

2

12x. 21； (4)yx2. x2分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，

x取任意实数，3x－1与2x＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，

2

1没有意义；在(4)中，x＜2时，x2x2没有意义.

解 (1)x取值范围是任意实数； (2)x取值范围是任意实数； (3)x的取值范围是x≠－2； (4)x的取值范围是x≥2.

归纳 四个小题代表三类题型.(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.

例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；

(2)已知等腰三角形的面积为20cm，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；

(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm)，求S关于r的函数关系式.

解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数； (2)y2

2

40，x可取任意正数； x2

(3)S＝100π－πr，r的取值范围是0＜r＜10.

例3 在上面的问题(3)中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少?

解 设重叠部分面积为y cm，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为

2

y12x 21211 2212

cm. 2当x＝1时，y所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是例4 求下列函数当x = 2时的函数值：

(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x ； (3)y2

2； (4)y2x. x1分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值. 解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×2 =－12； (3)当x = 2时，y =

2

2= 2； 21(4)当x = 2时，y =22= 0. 四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义.

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0. (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值. 五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm.求y和x间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积.

2.求下列函数中自变量x的取值范围： (1)y＝－2x－5x； (3) y＝x(x＋3)； (3)y2

2

6x； (4)y2x1. x32

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出：s＝10t＋2t.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x－3x＋2； (3)y

2

x2. x1