1. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发•设慢车行驶的时间为班/1), 两车之间的距离为y(fcm),图中的折线表示y与x之间的函数关系式.根据题中所给信息解答以 下问题： ⑴甲、乙两地之间的距离为 ______ km；图中点C的实际意义为： _____ ；慢车的速度为 _____ , 快车的速度为 ______ ;
(2) 求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
(3) 若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，请
2. 如图，在菱形ABCD中，ABAD = 60°, M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM, E为 CM上一点，且满足= 连接BE,交CD于点F. (1) 若Z.AMB = 30°,且DM = 3,求 BE 的长； (2) 证明：AM = CF + DM.
3. 如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/与x轴交于点A,与y轴交于点B, 04 < 0B, 且OA, OB的长分别是一元二次方程妒一 7x + 12 = 0的两个根. (1) 求点A和点B的坐标；
(2) 点C从点A出发，在线段上运动，运动的速度为每秒2个单位长度，设A0BC的面积为 S,点C的运动时间为求S与/之间的函数关系式(直接写出自变量/的取值范围)； (3) 在(2)的条件下，当BC = ^AB时，求此时C点的坐标.
4. 已知SB//GD, AB = CD, zX = z£>.
(1) 如图1,求证：四边形ABCD为矩形.
(2) 如图2, E是AB边的中点，F为AD边上的一点，厶DFC = 2厶BCE,求证：AF+BC = CF. (3) 如图3,若CE = 4, CF = 5,求AF的长.
5. 如图，在等腰直角hABC中，^ACB = 90°, AC = BC,点、D, F为BC边上的两点，CF = DB, 连接AD,过点C作GE丄AD于点G,交AB于点E,连接EF. (1) 若厶D4B = 15°, AD = 6,求线段GD的长度； (2) 求证：厶EFB = MDA；
(3) 若厶FEB = 75°,试找出AG, CE, EF之间的数量关系，直接写出结论.
6. 在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上， 直线y = mx +2与OC, BC两边分别相交于点D, G,以DG为边作菱形DEFG,顶点E在OA 边上. (1) 如图1,当菱形DEFG的一顶点F在AB边上. ① 若CG = 0D时，求直线DG的函数表达式； ② 求证：bOED/BGF.
(2) 如图2,当菱形DEFG的一顶点F在边右侧，连接BF,设CG = a, △ FBG面积为S.求S 与a的函数关系式；并判断S的值能否等于1?请说明理由；
(3) 如图3,连接GE,当GD平分MGE时，加的值为 ________ .(直接写出答案).
7.
材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
① 建立平面直角坐标系，将已知锐角\"的顶点与原点0重合，角的一边与x轴正方向 重合； ② 在平面直角坐标系里，绘制函数y = #的图象，图象与已知角的另一边0A交于点P； ③ 以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y = £的图象于点R； ④ 分别过点P和R作*轴和y轴的平行线，两线相交于点M； ⑤ 连接0M,得至iJzMOB,这时,MOB = 根据以上材料解答下列问题
(1) 设点P的坐标为(a,》，点R的坐标为(b,》,则点M的坐标为 _______ .
(2) 分别过点P和7?作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.求证：点Q在直线OM上； (3) 求证：= jzXOB；
(4) 应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角(用文字简要说明).
1
8. 如图(1),在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OB在x轴上，直线y = 2x-2经 过等腰直角三角形的直角顶点A,交y轴于点C.
(1) 点C坐标是( ___ , ______ )； 点A坐标是( _____ , _____ ).
(2) 若D是坐标平面内任意一点，使点A、C、O、D刚好能构成平行四边形，请直接写出符合 条件的点D的坐标.
(3) 若点P是x轴上一动点•点0的坐标是(。,扌)，△ P4Q是以点A为直角顶点的等腰三角形.求 出a的值并写出点Q的坐标.
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第 四象限，点B在x轴的正半轴上.^OAB = 90°且0A = AB, OB = 6, OC = 5.点P是线段OB 上的一个动点(点P不与点O, B重合)，过点P的直线/与y轴平行，直线/交边OA或边AB于 点、Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为线段QR的长度为m.已知t = 4时，直线/ 恰好过点C. (1) 求点A和点B的坐标；
(2) 当0 C重合，D与G重合.若长方形的长BC为8,宽AB为4,求: (1) CF的长； (2) £F的长； (3) 求阴影部分三角形GED的面积. 11. 已知AABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三 角 形，另一个为直角三角形，则称这条直线为AABG的关于点B的二分割线.例如：如图1, RtAABC^^A = 90°, ZC = 20°,若过顶点 B 的一条直线 显然直线BD是△ ABC的关于点B的二分割线. 交 AC 于点 D,若,DBG = 20。, 图3 ⑴在图2的'ABC中，ZC = 20°, ^ABC = 110°,请在图2中画出△ ABC关于点B的二分割线, 且ZJDB C角度是 _____________ . (2) 已知ZC = 20°,在图3中画出不同于图1,图2的△4BC,所画4 ABC同时满足： ① ,G为最小角； ② 存在关于点B的二分割线，厶BAC的度数是 ____. (3) 已知ZC = a, A ABC同时满足： ① ,G为最小角； ② 存在关于点B的二分割线，请求出的度数(用a表示). 12. 如图,71(0,1), M(4,3), N(5,5)动点P从点A出发,沿y轴以每 秒1个单位长的速度向上移动，且过点 P的直线K其解析式为 y = -x + b,且直线与x轴所夹的锐角为45。)也随之移动，设移 动时间为f秒. (1) 当t = 4时，求/的解析式； (2) 若点M, N位于/的异侧，确定/的取值范围： _______ . (3) 求出r为何值时，点M关于/的对称点落在坐标轴上. 13. 直角三角形ABC中MB AE =AD,连接 CE, DE. (1) 求证：厶B = AACE； (2) 点A关于直线CE的对称点为M,连接CM, EM. ① 补全图形并证明厶EMC = ,BAD； 如图1,在等腰 = 90°,点D在BC边上，连接丄4D, ② 利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D, E, M三点恰好共线时点D的位置•请直接 写出此时ABAD的度数，并画出相应的图形. 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB//OC, 4(0,3), B(a,b), C(c, 0),且a, c满足 c = + + 14.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点Q 从点O同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达点C时，点P随之停止 运动.设运动时间为t (秒). (1) B, C两点的坐标为：B ________ , C _______ ； (2) 当/为何值时，四边形PQCB是平行四边形？ (3) D为线段AB的中点，求当/为何值时，AADQ是等腰三角形? 15. 如图，在AMBG中，AB = AC,点P是AB边上的动点(不与点A、B重合)，把“ABC沿过点P 的直线/ 折叠，点B的对应点是点D,折痕为PQ. ⑴若点D恰好在AC边上. ① 如图1,当PQ//AC时，连接A0,求证：4Q丄BC. ② 如图2,当DP丄MB,且BP = 3, CD = 2,求△ 4BG与△ GDQ的周长差. (2)如图3,点P在AB边上运动时，若直线/始终垂直于AC, AACD的面积是否变化？请说明 理由. 16. 小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额 为 50000元,今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%. (1) 今年A款手机每部售价多少元？ (2) 该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数 量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？ A, B两款手机的进货和销售价格如表： A款手机 1100 今年的销售价格 B款手机 1400 2000 进货价格(元) 销售价格(元) 17. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇 异 三角形” • (1) 根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一 定是奇异三角形” 是 _____ 命题.(填写“真命题、假命题”) (2) 在RtAABC中，A.ACB = 90°, AB = c, AC = b, BC = a,且 b > a,若Rt △ ABC是 “奇异三角形”，则a： b： c= ________ . (3) 如图，在四边形ACBD中，厶ACB =厶ADB = 90°, AD = BD, 若在四边形ACBD内存在点E使得4E =AD, CB = CE. ① 求证：AME是“奇异三角形”； ② 当NACE是直角三角形时，且AC = 43,求线段AB的长. 18. 问题：如图①，在Rt A ABC中，AB = AC, D为BC边上一点(不与点C重合)，将线段AD 绕点A逆时 针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BC, DC, EC之间满足的等量关系式为 ____________________ ； 探索：女口图②，在与RtAADE中，AB =AC, AD =AE,将\"DE绕点A旋转，使点 D落在BC边上，试探索线段AD, BD, CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形 ABCD 中，^.ABC = ^ACB = /.ADC = 45°,若BD = 10, CD = 5,求 AD的长. 图② 图③ 19. 如图，以等边4 0AB的边0B所在直线为x轴，点0为坐标原点，使点A在第一象限建立平面 直角 坐标系，其中边长为6个单位，点P从0点出发沿折线向B点以3单位/秒的 速度向B点运动.点!2从0点出发以2单位/秒的速度沿折线0B4向A点运动，两点同时出发.运 (1) 点A坐标为 ____ ； (2) 当t = 2时,SLOPQ = __________ ； 当t = 3时,SAOPQ = ____________ ； (3) 当t = 2时，试求在y轴上能否找一点M,使得以M、P、0为顶点的三角形是等腰三角形, 若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由. (4) 设AOPQ的面积为S,直接写出S关于/的函数关系式. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = |x + 3分别交x轴，y轴于A、B两点，点A关于原 点 O的对称点为点D,点C在第一象限，且四边形ABCD为平行四边形. ⑴在图①中，画出平行四边形ABCD,并直接写出C、D两点的坐标； (2) 动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，动点Q从点A 出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P运动的时间为/秒. ① 若4P0Q的面积为3,求f的值； ② 点0关于B点的对称点为M,点C关于x轴的对称点为N,过点P作PH丄x轴，问 MP+PH + NH是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由. -------- 答案与解析 ---------- 1. 答案：960当慢车行驶6力时，快车到达乙地80km/h 160km/h 解析：解：(1)由图象可知，甲、乙两地间的距离是960km； 图中点C的实际意义是：当慢车行驶6/2时，快车到达乙地； 慢车速度是：960 - 12 = 80km/h, 快车速度是：960 6 = 160fcm/h； 故答案为：960；当慢车行驶6方时，快车到达乙地；80km/h； 160fcm/h； (2)根据题意，两车行驶960血相遇，所用时间孟± = 4/i, loU+oU 所以，B点的坐标为(4,0), 2小时两车相距2 x (160 + 80) = 480km, 所以，点C的坐标为(6,480), 设线段BC的解析式为y 十+ b,则§80' 所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y = 240x - 960,自变量x的取值范围是4 < x < 6； (3)设第二列快车出发a小时两车相距200km, 分两种情况，①若是第二列快车还没追上慢车，相遇前，贝Ij4 x 80 +80a-160a = 200, 解得a = 1.5, ②若是第二列快车追上慢车以后再超过慢车，则160a - (4 x 80 + 80a) = 200, 解得a — 6.5, •••快车到达甲地仅需要6小时， ••- a = 6.5不符合题意，舍去， 综上所述，第二列快车出发1.5/1,与慢车相距200肋1. (1) % = 0时两车之间的距离即为两地间的距离，根据横坐标和两车之间的距离增加变慢解答，分别 利用速度=路程*时间列式计算即可得解； (2) 求出相遇的时间得到点B的坐标，再求出两车间的距离，得到点C的坐标，然后设线段BC的解 析式为y = kx + b,利用待定系数法求一次函数解析式解答； (3) 设第二列快车出发a小时两车相距200如！，然后分相遇前与相遇后相距200加两种情况列出方程 求解即可. 本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，追击问题，综合性较强，(3)要 注意分情况讨论并考虑快车到达甲地的时间是6/2,这也是本题容易出错的地方. 2. 答案：(1)解：如图1中， •・•四边形ABCD是菱形，乙BAD = 60°, •••△ABD, A BCD的是等边三角形， ・•・乙ABD =厶CBD = Z.ADB =乙B4D = 60°, BA = BC, •・• Z.AMB = 30°,乙ADB =乙AMB + 乙DAM, ・•• ^DAM = Z-DMA = 30°, ・•• /-BAM = 90°, DA = DM = AB = BC = CE = 3, 在\"册和△ BMC中， BM = BM ^MBA =乙 MBC, BA = BC •••△ BMA=L BMC, ・•・ Z-BCM = Z-BAM = 90°, 在肮△ BCE中，BE = VBC2 + CE2 = 3A/2. (2)如图2中，在BD上取一点G,使得BG = DF,连接CG交BE于O. •・• BG = DF,乙CBG = /BDF, BD = BC, GBC三卜 FDB9 ・•・ Z-BGC = Z-BFD, Z-DBF = zJBCG, ・•・ Z.MGC =厶BFC, •・•厶 COF = Z.CBO + 厶 OCB =厶 CBO + 乙 DBF = 60° 在\\COE 中，乙ECO + 乙EOC + 乙CEO = 180。， 在厶 BCF 中，乙BFC + 乙CBF + 乙BCF = 180。, •・• CB = CE, ・•・乙CBE =厶CEO, •・•厶BCF =厶COE = 60°, ・•・厶ECO =乙BFC =乙MGC, ・•・ MC = MG, 由（1）可知△ BMX=A BMC, ••• AM ^MC = MG, MG = DG+DM, BD = CD, BG = DF, :.DG = CF, :.AM = CF + DM 解析：(1)首先证明^MAB = 90°,再证明ABMA三ABMC,推出厶BCE = 90。,利用勾股定理即可解 决问题. ⑵如图2中，在上取一点G,使得BG = DF,连接CG交BE于。.只要证明'GBCaFDB, MG = MC•即可解决问题. 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线(截长补短法)，构造全等三角形解决问题，属 于中考常考题型. 3. 答案:解：(1)X2-7X + 12 = 0, 即 0 —3)0 — 4) = 0, = 3, %2 = 4, •・• OA < OB, ••• OA = 3, OB = 4, •••点A的坐标为：（3,0）,点B的坐标为：（0,4）； ⑵过点O作OE丄4B于E,如图1所示： 在肮△ OAB中，由勾股定理得：AB = y/OA2 + OB2 = V32 + 42 = 5, SAOAB = ' OB = ~AB - 0E, yJC,= -------- = ------ =—, AB 5 _ OA OB _ 3X4 _ 12 5 当点C在线段AB上运动时，AC = 2t, ••• BC = AB - AC = 5 - 2t, 0 < t < •■- S^OBC = 2 • BC = | X Y X (5 - 2t) = 6 - #t(0 < t < |)； (3) 设直线AB的解析式为：y = kx + b(k丰0,k、b为常数)， 把4(3,0), B(0,4)代入解析式得：｛咒节=°， 解得：卩=7, lb = 4 4 y = — - % + 4, •••点C在直线AB上， •••设点C的坐标为:(x,-|x + 4), 当点C在线段AB1.时，过点C作GF丄04于F,如图2所示: 则OF =尢，CF = - 齐 + 4, ••• OA = 3, ••• AF = 3 — %, V BC = -AB =-x5 = ~, 3 3 3 AC = AB — BC = 5 —=—, 3 3 在Rt A AFC中，由勾股定理得：CF2+AF2 =AC2, 即(-^x + 4)2 + (3 - %)2 =(¥尸， 解得：衍=1, x2 = 5(不合题意舍去)， •••——尤 + 4 = 3 3 •••此时C点的坐标为： 解析：⑴解方程得出04 = 3, 0B = 4,即可得出答案； (2) 过点0作0E丄4B于E,由勾股定理得肋=5,由面积法求出0E =由题意得BC = AB - AC = 5 —2t, 0 本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、坐标与图形性质、三角形面积、一元二次方程的解法、 待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，熟练掌握勾股定理和待定系数法是解题的关键. 4. 答案：解：(1) ••• AB//CD, AB = CD, •••四边形ABCD是平行四边形， ••• AB//CD, ••• AA + Z.D = 180°, 又•・• , ・•・乙4 = 90°, ・・・四边形4BCD是矩形； •・•四边形ABCD是矩形, ・••乙 DAB = ZB = 90°, ••• AD//BC, /. Z.GAE = 90°,乙G = /BCE, •・• E是AB的中点， ••• AE = BE, •••△ AGE 三△BCEQ4AS), ・•• AG = BC, ••• AD//BC. ・•・乙DFC =乙BCF, •・•乙 DFC = 2 乙 BCE, ••• Z-BCE — Z.FCE —厶G, CF = FG =AF + AG,即 CF = AF + BC； ⑶如图2,延长D4、CE,交于点H, •・• AH = BC, CF = FH, HE = CE = 4, AH = AD, ・•・CH = 8, ・•・ AF + BC = AF + AH = FH = CF = 5, 设 DF = x, 在肮△ CDF和肮△ CDH中， 由勾股定理得，CD2 = CF2 - DF2 = CH2 - DH2,即 52 - x2 = 82 -(5 + x)2, 解得尤=1.4, ・•・ DH = 6.4, ••・ AD =-DH = 3.2, 2 ••・ AF = AD - DF = 1.8. 解析：(1)先证四边形ABCD是平行四边形，再结合厶1 + AD = 180。、= z£＞知厶4 = 90。，据此 可得； (2) 延长 DA、CE,交于，点 G,证BCE^AG = BC,结合厶DFG =厶BCF,厶DFC = 2/BGE矢口 厶BCE = ZFCE =山,据此可得CF = FG -AF+AG,即 CF =AF +BC-, (3) 延长 D4、CE,交于点 H,由AH = BC, CF = FH, HE = CE = 4, AH = AD知CH = 8,从而得 AF + BC = AF + AH = FH = CF = 5,再设DF = x,由勾股定理得GD? = CF2-DF2 = CH2-DH2, _ -1 据此求岀x = 1.4,继而知DH = 6.4, AD =-DH = 3.2,得出答案. 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定与性质、全等三角形的判定 与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点. 5. 答案：解：（1）丁在等腰直角hABC中，ZXCB = 90°, AC = BC, •••厶 CAB = ,CBA = 45°, /.CAD = 30°, •• AD — 6, •- CD = ^AD = 3, AC = —AD = 3將 /jbSf •• /.DAB = 15°, ・• CE丄AD, •• Z-AGC = 90°, •• AG = ^-AC =-， 2 2 DG = AD — AG = 6 —= 一； 2 2 9 3 (2) 证明：如图1,过点B作BC的垂线交CE延长线于点G, zl =乙 2 在△ 4CD 和△ CBG 中，4C = BC , Z-ACD = Z.CBG •••△4CD 三△CBGQ4SA), ••• Z.CDA —厶G, CD = BG, •・• CD = BF, ・•・ BG = BF, •・• Z.CBA = 45°,乙CBG = 90°, ・・・厶GBE = 45°, BF = BG 在AFBE禾口 △ GBE 中，、厶FBE = /GBE, BE = BE •••△FBE 三△GBE(SAS), ••• Z.G =乙EFB, ••• Z.CDA =乙EFB ； ⑶如图2,过E作EH丄BC于H, 则EH = BH, ・•・乙HEB = ZB = 45°, ・・•乙FEB = 75°, ・•・厶FEH = 30°, 设 EF = %, .•・ EH = BH =—x，FH =-xf 2 /q ] 2 ••• BF = FH + BH = d+E, •・• CF = DB, .・.CF + DF = BD + DF, 即 GD = BF = —x, 2 2 •・• Z.FEH = 30°,乙EHF = 90°, ・•・厶EFH = 60°, 由(2)矢口乙EFB =乙CDA, ・•・ Z.CDA = 60°, ••• Z.CAG = 30°, ••• CE 丄 AD, ••・ Z-AG =厶CGD = 90°, ...CG=^CD=^^X， 2 4 ••• AG = V3CG = 4 在Rt A CEH中，^ECH = 30°, EH = —x， ••• CE = 2EH = A/3X, £F + C£ = (1 + V3)x, :.AG =f(EF + CE). 2 解析：⑴利用等腰直角三角形的性质得出^CAD = 30°,根据直角三角形的性质得到AC,进而求出 AG的长，于是得到结论； (2)利用全等三角形的判定得出△ 形的性质求出即可； ⑶如图2,过E作EH丄BG于H,求得厶FEH = 30。，设EF = x，得到EH = BH =^-x, FH =^x, 求得BF = FH + BH = (1+V^)x，等量代换得到CD = BF = —x,解直角三角形即可得到结论. 2 2 CBG^ASA),以及△ FBE三卜GBE(S4S),进而利用全等三角 此题主要考查了三角形的综合题，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出 △ FBE三卜GBE是解题关键. 6. 答案：亜 3 解析：解：⑴①•.•将X = 0代入y = mx + 2得；y = 2, •••点D的坐标为(0,2). CG = OD = 2, •••点G的坐标为(2,6). 将点G(2,6)代入y^mx +2得：2m + 2 = 6. 解得：m = 2. 直线DG的函数表达式为y = 2x + 2. ②如图1,延长GF交y轴于点M, 方 £ ~ x 图1 V DM//AB, •••乙 GFB =乙DMG, ・・•四边形DEFG是菱形， ••・ GF//DE, DE = GF, ••• Z-DMG =乙 ODE, ••• Z.GFB = Z-ODE, 又•・•厶B =乙DOE = 90°, •••△OED 三△BGFQ4AS)； (2)如图2所示：过点F作FH丄BC,垂足为H,延长FG交y轴与点N. 图2 •・•四边形DEFG为菱形， ・•• GF = DE, GF//DE. ・•・厶GNC =乙EDO. ・•・乙NGC =乙DEO. ・••厶 HGF =乙 DEO. 在Rt △ GHF^Rt △ EOD 中， 乙HGF =乙DEO 乙GHF =乙EOD, DE = FG ・•・ Rt △ GHF=Rt △ EOD^AAS). .・.FH = DO = 2. ••• S、GBF = 3GB • HF = - x 2 x (6 — a) = 6 — a. 1 1 •••s与a之间的函数关系式为：S = 6-a. 当s = 1时,则6 — a = 1. 解得：a = 5. •••点G的坐标为(5,6). 在4DCG中，由勾股定理可知；DG = y/CD2 + CG2 = V42 + 52 = V41- •••四边形GDEF是菱形， DE = DG = V41- 在Rt △ DOE中，由勾股定理可知0E = y/DE2 - DO2 = V41 - 4 = V37 > 6- ••• OE > OA. .•.点E不在OA上. ••• S H 1. (3) 如图3所示：连接DF交EG于点M,过点M作MN丄y轴，垂足为N. 又•••四边形DEFG为菱形， ••• DM丄GM,点M为DF的中点. •••GD平分,GGE, DM 丄 GM, GG 丄 0G, ••• MD = CD = 4. •••由(2)可知点F的坐标为4,点D的纵坐标为2, •••点M的纵坐标为3. ND = 1. 在Rt A DNM中，MN = 7DM? 一 DN?=届. •••点M的坐标为(VI5 3). 设直线DM的解析式为y = kx + 2将(届,3)代入得：V15fc + 2 = 3. 解得：k =亜. 15 •••设直线MG的解析式为y = -V15% + 0.将(V15,3)代入得：一 15 + b = 3. 解得：b = •••直线MG的解析式为y = 一岳x + 18. 将y = 6代入得：一届尤+ 18 = 6. 解得：x = ^. 5 •••点G的坐标为(警,6). 将(響,6)代入y = mx + 2得：響m + 2 = 6. 解得：m =— 故答案为：亜. 3 ⑴①将X = O代入y = mx + 2得y = 2,故此点D的坐标为(0,2),由CG = OD = 2可知点G的坐标 为(2,6),将 点G(2,6)代入y = mx + 2可求得m = 2； ②延长GF交y轴于点M,根据AAS可证明△ OED三卜BGF-, (2) 如图2所示：过点F作FH丄BG,垂足为H,延长FG交y轴与点N.先证明Rt A GHF^Rt A EOD^AAS},从而得到FH = DO = 2,由三角形的面积公式可知：S = 6 —a.②当s = 1时，a = 5, 在ACGD中由勾股定理可求得DG =441,由菱形的性质可知；DG = DE = 顷,在Rt A DOE中由勾 股定理可求得OE = V37 > 6,故S工1； (3) 如图3所示:连接DF交EG于点M,过点M作MN丄y轴,垂足为N.由菱形的性质可知:DM丄GM, 点M为DF的中点，根据角平分线的性质可知：MD = CD = 4,由中点坐标公式可知点M的纵坐标 为3,得到ND = 1,根据勾股定理可求得MN = 岳,则得到点M的坐标为(V15,3)然后利用待定系 数法求得DM、GM的解析式，从而可得到点G的坐标，最后将点G的坐标代入y = mx +2可求得 m的值. 本题是一次函数综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，待定系数法求 一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定 与性质是解题的关键. 7倍案：(硝) -1 •••点P的坐标为（a, PM//x轴, •••点M的纵坐标为？ •••点人的坐标为(b,》, RM//y轴， •••点M的横坐标为b, ・••点 故答案为：(b,》， (2)设直线OM解析式为：y = kx, ••• - = bk, a ・•・直线OM解析式为：y = ^-x, 丿 ab •••分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q, -1 •••点 Q(aq)， •・•当咒=a时，y = t x a = £, ab •••点0在直线OM上； (3)连接PR,交OM于点S, b 由题意得四边形P0RM是矩形， ••• PR = QM, SP = ^PR, SM = \\QM, :.SP = SM, ••・ z.1 = z.2, ••• z.3 = zl + z2 = 2z2, •・• PR = 2P0, ・•・ PS = PO, ••• Z.4 = Z3 = 2 乙2, ••• PM//兀轴， ••• z2 =乙5, •••乙 AOB = z4 + z_5 = 3z5, 即厶 MOB =|zXOB； (4) 如图，设边OA与函Sy = -|(x<0)的图象交于点P,以点P为圆心，2OP的长为半径作弧, 在第四象限交函数y = 0)的图象于点R, 过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM,则厶MOB = | ^AOB. 可得点M的横坐标为b,即可求解； (1) 由点P的坐标为(a,》，PM//X轴，可得点M的纵坐标为右 由点R的坐标为(b,》, RM//y轴， (2) 先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点0是否在直线OM上； ⑶连接PR,交OM于点S,由矩形的性质可得zl = Z2,由2P0 = PR = 2PS,可得PS = P0,可得 Z4 = z3 = 2z2,由平行线的性质可得厶2 =厶5,即可得结论； (4) 可以按照题意叙述的方法进行作图即可(方法不唯一). 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是 本题的关键. &答案：0—222 解析：解：(1) ■:KAOB为等腰直角三角形， 故点A的横坐标和纵坐标相等，设点A(jn, m), 将点A的坐标代Ay = 2x -2得：m = 2m - 2,解得：m = 2, 故点 4(2,2), 对于直线y = 2x-2,令% = 0,贝ijy = -2,故点C(0,-2), 故答案为：0, -2, 2, 2； (2)设点 D(m, n), 当AC是边时，点C向右平移2个单位向上平移4个单位得到A, 同样点0(D)向右平移2个单位向上平移4个单位得到D(O), 故0 ±2 = m, 0 + 4 = n, 解得：m = ±2, n = ±4, 故点 £>(2,4)或(一2,-4)； 当AC是对角线时， 由中点公式得：2 + 0 = m, 2 — 2 — n, 解得：m = 2, n = 0, 故点 D(2,0)； 综上，点D的坐标为(2,4)或(-2,-4)或(2,0)； (3)过点A作x轴的平行线交过点0与y轴的平行线于点N,交过点P与y轴的平行线于点M, ••• APAM + AMAP = 90°, AMAP + 厶NAQ = 90°, 厶 MPA = ANAQ, 又AP = AQ(A P4Q为等腰直角三角形)，^PMA =厶ANQ = 90°, •••A PMA=^ANQ^AAS}, ••• AN = MP,即|a — 2| = 2,解得：a = 2或 0, 故点 Q(2,j)或(0,0). (1) AXOB为等腰直角三角形，故点A的横坐标和纵坐标相等，设点将点A的坐标代入 y = 2x — 2得：m = 2m — 2,解得：m — 2,即可求解； (2) 当AC是边时，由图形的平移即可求解；当AC是对角线时，由中点公式即可求解； (3) 证明△PM42A4NQ(44S),即可求解. 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质、图形的平移等，其中(2),要 注意分类求解，避免遗漏. 9. 答案：解：(1)如图：过点A作丄于M, ••• AM = OM MB ^-OB ^3, 2 •••点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(6,0)； (2)作CN lx轴于N,如图， ■■t = 4时，直线/恰好过点C, ON = 4, 在Rt △ OGN中，CN = VOC2 - ON2 = V52 - 42 = 3, C点坐标为(4,-3), 设直线OC的解析式为y = /cx, 把C(4, -3)代入得4fc = -3,解得k = -£ •••直线OC的解析式为歹=-扌力， 设直线OA的解析式为y = ax, 把4(3,3)代入得3a = 3,解得a = l, ・•・直线OA的解析式为y = x, •・• P(t, 0)(0 < t < 3), Q (匚 t)，— 2 匕)， ...QR = t-(—扌t) = ft, 7 即7H = -1(0 < t < 3); ⑶设直线AB的解析式为y = px + q, 把A (3,3), B(6,0)代入得: ・••直线AB的解析式为y = —x + 6, 同理可得直线BC的解析式为y = |x-9, 7 当0 VtV3时，m = -1, … 4 7 4 右m — 3.5,贝!]3.5 = -t, 解得t = 2, 此时P点坐标为(2,0)； 当 3 < t < 4时，Q (匚一t + 6), R(t, — -t^, 1 ••• m = —t + 6 — (— t) = — t + 6, 3 k 4 7 4 … -1 右m = 3.5,则3.5 = —t + 6, 4 解得t = 10(不合题意舍去)； 当4StV6时，Q(匚—1 + 6), R(^t,-t — 9), ...m = —上 + 6 — (卡一 9)= 一卡 + 15, 若m = 3.5,贝IJ3.5 = -jt + 15, 解得t =丰，此时P点坐标为岸,0)； 综上所述，满足条件的P点坐标为(2,0)或(詈,0). 解析：(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ⑵作CN丄x轴于N,如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4,-3),再利用待定系数法 分别求出直线OC的解析式，直线OA的解析式，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到0、7?的 坐标，从而得到加关于r的函数关系式； (3) 利用待定系数法求出直线AB的解析式，直线BC的解析式，然后分类讨论:当0 < t < 3,3 S t < 4, 当4St<6时，分别列出方程，然后解方程求出f得到P点坐标. 本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待 定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类 讨论的思想解决数学问题. 10. 答案：解：(1)设CF = x,贝WF = 8-%, 在中，AB2 +BF2 = AF2, :.16 + (8 - %)2 =送， 解得：% = 5, ••• CF = 5； (2)过F点作FH丄AD于H,贝0 FH = 4, AH = BF = 3, ••• AD//BC, ••• Z-AEF =乙EFC = Z.EFA, .•・ AE =AF = 5, EH =AE -AH = 2, .•・加=护+2? = 20, ••• EF = 2A/5; (3)过 G 点作GM 丄 AD于 M,则AG xGE = AE xGM, AG =AB = 4, AE = CF = 5, GE = DE = 3, .：SAGED=^GMXDE = ^. 解析：⑴设CF = X,贝IjBF = 8-x,在RtAABF^, AB2+ BF2 AF2,解方程可求出CF的长； ⑵过F点作FH丄4D于H,在RtAEHF中根据勾股定理可求出EF的长； ⑶过G点作GM丄4D于M,根据三角形面积不变性，AGxGE ^AExGM,求出GM的长，根据 三角形面积公式计算即可. 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等 几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键. 11. 答案：20° 35。 解析：解：⑴如图所示：厶DBC = 20°, 故答案为：20° (2)如图所示：ABAC = 35° 故答案为：35°； (3) 如图，若是最大角时，“DBC是等腰三角形，4ABD是直角三角形, ••• DB = DC, ••• Z.C = Z.DBC = a, ・•・乙ADB = 2a,且乙4BD = 90°, ・•• Z-BAC = 90° — 2a, • ・•厶BDC = 90。一 a,且4D = BD, •••厶BAC =厶DBA = 45° 一 2 若ABAC是=90。，满足题意， 故厶B4C = 90。或90。一 2a或45。-扌. ⑴首先了解二分割线的定义，然后把\"BC分成90。角和20。角即可； (2) 可以画出乙4 = 35。的三角形； (3) 分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解• 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键. 12. 答案：6 故t = 4,求出/的解析式为：y = -% + 5. 故答案为：y = -x + 5. (2) 当直线/经过点M(4,3)时，将点M(4,3)代入解析式y = -x + b中， 得到：3 = -4 + b, 解得：b = 7, 此时/的解析式为：y = -x + 7, 令x = 0, y = 7, •••此时P点的坐标为(0,7), 又•••运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了 7 - 1 = 6秒； 当直线/经过点N(5,5)时，将点N(5,5)代入解析式y = —x + b中， 得到：5 = -5 + b, 解得：b = 10, 此时/的解析式为：y = —x + 10, 令x = 0, y = 10, •••此时P点的坐标为(0,10). 又•••运动的速度为1个单位每秒，故此时运动了 10-1 = 9秒； 故当6 < t < 9时点M, N位于I的异侧. 故答案为：6 乙 EHF = 90°, 连接MM'与x轴交于点F,直线/与x轴交于E点，直线/与MM'交于点H, 则有MM'丄HE, •••直线/与x轴所夹的锐角为45。， •••厶MFE = 90° 一 45° = 45°, •••直线MAT解析式中的k = 1,设MM懈析式为y = x + n, 代入点M(4,3),解得n = -l, 故直线MM'的解析式为：y =尢一 1, •••设点\"'的坐标为(£1,(1 - 1), 由H是M和M'的中点可知: H点坐标为(字,宁)，即H(扌+2冷+1), 情况一：当M'位于x轴上时，即a —1 = 0,即a = l时， 求得H点坐标为(|,|), 又H点在直线/上，故将H点坐标代入直线I的解析式y = -尤+ b中， 求得0 = 4,此时/的解析式y = -% + 4, •••此时P点坐标为(0,4), 故时间t = (4 - 1) 4- 1 = 3秒； 情况二：当M'位于y轴上时，即a = 0时， 求得H点坐标为(2,1), 又H点在直线/上，故将H点坐标代入直线/的解析式y - -x + b中， 求得b = 3,此时II的解析式y = —x + 3, •••此时P点坐标为(0,3), 故时间t = (3 - 1) 1 = 2秒； ••- t = 2秒或3秒时，点M关于I的对称点落在坐标轴上. ⑴将P(0,4)代入解析式中即可求解； (2) 当直线/刚好经过M点时求出其与y轴的交点坐标，进而求出P点运动的路程，再除以速度进而 得到时间；当直线/刚好经过N点时同样的方式求出时间，两个时间之间即为/的取值范围； (3) 作M点关于/的对称点M',求出M'坐标，再分别令其横坐标和纵坐标为0,求出r的值. 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解 析式，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 13. 答案:解：(1) ••• AE LAD, :./.DAE = 90° = ZBXC, ••• Z.BAD = Z.CAE, v AB =AC, AE = AD, :.LABD=^ACE{SAS}, ••・ Z-B = Z.ACE ； (2)①补全图形如图1所示， 连接AM, ・・•点A关于直线CE的对称点为M, AE = ME, AC = MC, •・• CE = CE, •••△ ACE 三△MCE(SSS), •••乙EMC =乙 EAC, 由(1)知，'ABD三'ACE, •••乙 BAD = Z-EAC, ••• Z-BAD = Z-EMC； ②如备用图， 连接 AM,由(1)知，^ACE = Z.B, 在△4BG中，ZSXC = 90°, AB = AC, 图1 ・•• ZB =乙 ACB = 45°, ••• Z.ACE = ZB = 45°, •••厶 BCE = 90°, ・・•点M, 4关于CE对称， ••• AE = CE, AM 丄 CE, ••• AM//BC, '备用图 ••• Z-AMD =乙 CDE, •・• AE = CE, ・•・ Z-AMD = Z.EAM, •••厶 CDE =乙 EAM, ••• Z-B =乙ADE = 45°, ••・ Z-BAD + Z-ADB =乙CDE + 乙ADB = 135°, Z-BAD =厶 CDE, ・•• Z.EAM =乙 BAD, 由(1)知，'BAD三卜CAE, ••・ Z-BAD = Z-CAE, ・•・厶BAD = Z-CAE = Z.EAM, ••• AM//BC, ••• Z-BAM = 180° —厶B = 135°, •・• ABAC = 90°, ・•・ /-CAM = ^BAM -乙BAD = 45°, ••• /.CAE = -/.CAM = 22.5°, 2 1 厶 BAD = 22.5°. 解析：⑴先判断出厶BAD = ,CAE,进而判断出即可得出结论； ⑵①先判断出厶EMC = /EAC,再根据(1)得出的^BAD = ^EAC,即可得出结论； ②先判得出,AMD = ,EAM,进而得出^CDE = Z.EAM,再判断出Z.EAM = Z.BAD,进而得出 ^BAD = /LCAE = ^EAM,最后求出ACAM = 45°,即可得出结论. 此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称，同角的余角相等，平行线的判定和性质，全等三角形 的判定和性质，判断出△ BAD=A G4E是解本题的关键. 14. 答案：(10,3) (14,0) 解析：解：(1) c = yja — 10 + V10 — a + 14, .fa — 10 > 0 •••(10 - a 二0' ••• a = 10, c = 14, ・•・ 3(10,3), C(14,0). 故答案为(10,3), (14,0). (2)由题意：BP = 10-t, CQ = 14-2t, 当BP = GQ时，四边形PQCB是平行四边形, 此时 10 -t= 14-2t, 解之得t = 4 •••当t = 4时，四边形PQCB是平行四边形. (3) TD为线段的中点 ••• AD = 5 当DA = DQ时，'ADQ是等腰三角形，此时0Q = 1或9 当QA = QD时，AADQ是等腰三角形 此时0Q = |， 当AQ =AD时，“ADQ是等腰三角形 此时0Q = 4, ••• t = 2. 综上所述：当f为扌或扌或2或专时，^ADQ是等腰三角形. (1) 利用二次根式有意义的条件求出a, c的值即可解决问题. (2) 根据BP = CQ构建方程求解即可. ⑶分三种情形：①DA = DQ.@QA = QD.③04 = 4D.分别求解即可解决问题. 本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 15. 答案：解：(1)①如图1中，连接A0, BD.BD交PQ于O. •••A PQD是由厶PQB翻折得到, •••PQ垂直平分线段 ••• OB = 0D, ••• PQ//AC, BQ = QC, •・• AB =AC, ・•・ AQ 1 BC. ②如图 2 中，设PA = x,贝iAB =AC=x + 3, AD = AC - CD = x + 1, B Q\\ c 團2 PB = PD = 3, PD 丄 AB, 厶 APD = 90°, ••• AD2 = PA2+ PD2, ••• (x + l)2 = x2 + 32, 解得x = 4, ••• BQ = DQ, ■■■A ABC 的周长一 △ QDC 的周长=AB + AC + BC - (QD + QC + CD) = 2AB -CD = 14-2 = 12. (2)如图3中,结论：S^ADC — S^ABC =定值. 理由：连接BD •■•A APD^L GPB关于直线PQ对称, ••• BD 丄 PQ, ••• M 丄 PQ, ■■■ BD//AC, SAADC = S“BC =定值• 解析：(1)①如图1中，连接A0, BD.BD交P0于。.证明点0是BC使得中点即可解决问题. ②设PA = x,贝IJXB =XC = x + 3, AD =AC -CD =x + l,在RtzkAPD中，利用勾股定理构建方 程求出x即可解决问题. (2)如图3中，连接BD.证明BD//AC,利用等高模型解决问题即可. 本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型. 16. 答案：解：(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x + 400)元， 由题意，得，50000 =50000(1-20%) x+400 X 解得：% = 1600. 经检验，% = 1600是原方程的根，且符合题意. 答：今年A款手机每部售价1600元； (2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60-a)部，获利y元， 由题意，得y = (1600 - 1100)a + (2000 - 1400)(60 - a) = -100a + 36000. ••• B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍， ••• 60 — a < 2a, ••• a > 20, •・• y = —100a + 36000. .*• k = —100 < 0, ••- y随a的增大而减小. ••• a = 20时，y 最大=34000元. ••• B款手机的数量为:60 - 20 = 40部. 答：当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利最大. 解析：⑴设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为(% + 400)元，由卖出的数量相同建立 方 程求出其解即可； (2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60-a)部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系 式，由a的取值范围就可以求出y的最大值 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解 答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关健. 17. 答案：真 1： V2： V3 解析：解：(1)令等边三角形三边的长度为a, 则a2 + a2 = 2a2,符合奇异三角形的概念， ••• “等边三角形一定是奇异三角形”是真命题； 故答案为：真； (2) Rt A ABC/.ACB = 90°, AB = c, AC = b, BC = a, •••根据勾股定理得：c2 = a2 + b2，记作①， 又Rt^ABC是奇异三角形， ••• 2a2 = b2 + c2,② 将①代入②得：a2 = 2b2,即a = V^b(不合题意，舍去)， ••• 2b2 = a2 + c2,③ 将①代入③得：，=2a2,即0 = V2a, 将0 =迈a代入①得：c2 = 3a2,即c = V3a, 则 a： b： c = 1： V2： A/3. 故答案为：1： V2： A/3; (3) @ •••厶ACB =厶ADB = 90°, .•.点A、C、B、D共圆，记作OO, •••4B是OO的直径， AD = BD, ••• AB2 = AD2 + BD2 = 2AD2, :.AC2 + CB2 = 2AD2, 又••• CB = CE, AE = AD, :.AC2 + CE2 = 2AE2, :A ACE是奇异三角形； ②设4D = b, BC = a, AE = BD = AD = b, CE = CB = a, 由①^AC2 + CE2 = 2AE2, BP3 + a2 = 2b2①， ■■■A ACE为直角三角形， ^AEC = 90° 或 Z.G4E = 90°, 1°,当/.AEC = 90°时，AE2 + CE2 = AC2,即b2 + a2 = 3@, 由①②，得：3 + 3-胪=2b2, ••• AB = V2P = 2; 2°,当ZC4F = 90°时，AC2+ AE2 = CE2,即3 + b2 = a2@, 由①③，得：3 + 3 + b2 = 2，， ••- b2 = 6, ••• AB = V2F = 2V3; 综上，AB = 2或2箱. (1) 令等边三角形三边的长度为a,根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得； (2) 由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2 = a2 + b2,记作①，再由新定义两边 平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2«2 = b2 + c2，记作②，或 2b2 = a2 + c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值. ⑶®AB是的直径，即可求得^ACB = AADB = 90°,然后利用勾股定理与圆的性质即可证得； ②设4D = b, BC = a,知AE = BD = AD = b, CE = CB = a,结合①得3 + a2 2b2®,根据△ ACE 为直角三角形，可分\"EC = 90。或MAE = 90。两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另 一个方程，结合①式求解可得. 此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识.解题的关键是理 解题意，抓住数形结合思想的应用. 1&答案：BC = DC + EC 解析：解：(1)BG = DG + EG, 理由如下：•••将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AE, :.AD =AE, ADAE = 90°, ••• ^BAC = ^DAE = 90°, ^LBAC - /.DAC = ^DAE - ^DAC,即,BAD = ^CAE, 在ABAD和ACAE中， AB = AC 乙 BAD = Z-CAE, AD = AE •••△BADWACAE(SAS), ••• BD = CE, ••• BC = BD + CD = EC + CD, 故答案为：BC = DC + EC； (2)BD2 + CD2 = 2AD2, 理由如下：连接CE, 图② 由(1)得，A CAE, ••• BD = CE, Z-ACE =乙B, ・•・厶DCE = 90°, ・•・ CE2 + CD2 = ED2, 在肮△ ADE中，AD2+AE2 = ED2, XAD =AE, ・•・ BD2 + CD2 = 2AD2； (3) 作AE 丄 AD,使4E=AD,连接 CE, DE, •・• Z-BAC + Z.CAD = /-DAE + /-CAD, 艮卩乙BAD = /.CAE, 在\"仙与中， AB = AC /.BAD = Z-CAE, AD = AE ：^BAD=^CAE(SAS)f ・•・ BD = CE = 10, •・• /.ADC = 45°, AEDA = 45°, ・•・乙EDC = 90°, ・•・ DE = VCE2 - CD2 = V100 -25 = 5苗， •・• Z.DAE = 90°, .・.AD = AE = —DE = —• 2 2 (1)证明hBAD/ CAE,根据全等三角形的性质解答； ⑵连接CE,根据全等三角形的性质得到BD = CE,厶ACE = ZB,得到ADCE = 90°,根据勾股定理 计算即可； (3)作4E 丄 AD, ^.AE =AD,连接 CE, DE,证明'BADaCAE,得到BD = CE = 10,根据勾股 定理计算即可. 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转 的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 19.答案：(3,373) 6苗晋 解析：解：⑴过点A作4DJ.X轴于点D,如图1所示. 图① ■••A AOB为等边三角形，边长为6个单位, ••• AD = OA- sin60° = 3屈,AD ^~OB = 3, .•.点A的坐标为(3,3範)； 故答案为：(3,3苗)； 当 t = 2时，点P运动到了 A点处，OQ = 4, S^OPQ =^OA-OQ- sin^AOQ =|x6x4xy = 6V3; 当t = 3时，点Q运动到了 B点处，4P = 3x3 —04 = 3, ■•■A (MB为等边三角形，且4B = 6, •••此时P点为线段AB的中点， OP 丄 AB, S.Z.POB = -Z.AOB = 30°, 2 ••• OP = OB • sinZ-ABO = 3晅, S&OPQ =^OP OB- sinzPOB = |x3V3x6x| = ^. 故答案为：6V3;班； 2 (3)假设存在，当t = 2时，点P坐标为(3,3A/3)，点Q的坐标为(4,0),设点M的坐标为(0,肌). QM = 丁(0_4)2 + 肌2, 以M、P、0为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况： 当PQ = PM时，即9 + (m —3侖尸=28, 解得：m = 3V3 + V19,或m = 3A/3-V19；此时点 M 的坐标为(0,3V3 + V19)或(0,3箱一 19); 当PM = QM时,BP16 + m2 = 9 + (m — 3V3)2 - 解得：肌=晋，此时点M的坐标为(0,晋)； 当PQ = QM时，BP28 = 16+ m2, 解得：m = ±2\\/3,此时点M的坐标>3(0,273)或(0,-2齿)， 故当t = 2时，在y轴上能找到一点M,使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐 标为(0,3V3 + VH)或(0,3V3 - 19)或(0,晋)或(0,2舲)或(0, -2V3); (4) ①当0VtV2时，P在线段Q4上，0在线段OB上； S = -OQ- OPsin60° = - x 3t x 2t x — = —t2； ② 当2 < t < 3时，P在线段AB上，Q在线段OB上； 设OQ边上的高为〃，=三王，解得/1 = 6苗—斗^上， S = — 0Q • /i = — x 2t x (6A/3 —t) — —±2 + 6V3t; ③ 当3 ^t2(0 (2) 当t = 2时，点P运动到了 A点处，0Q = 4,结合三角形的面积公式即可得出此时SAOPQ的值；当 t = 3时，点Q运动到了 B点处，AP = 3x3-OA = 3,结合三角形的面积公式即可得出此时的 值； (3) 假设存在，找出此时P、Q点的坐标，设M点的坐标为(0,m),结合两点间的距离公式列出关于 加的一元二次方程，解方程即可得出结论； (4) 结合②的运动情况，分两段来考虑S,结合三角形的面积公式即可得出S关于7的函数关系式. 本题考查了三角形的综合题，解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间的 距离公式以及勾股定理，解题的关键是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；②套 用面积公式求面积；③分段寻找S关于/的函数关系式；④由两点间的距离公式结合勾股定理列出 关于加的一元二次方程.本题属于难题. 20.答案：解：⑴直线y = ^ + 3分别交x轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为(-4,0)、 (0,3), 则点£)(4,0),则AD = 8 = BC,故点C(8,3), 故点C、D的坐标分别为(8,3)、(4,0),画出的平行四边形ABCD如下图. (2)①t秒钟时，点P的坐标为(8 - t,3), 1 -I APOQ的面积S = -xOQx\\yP\\ =-|x(2|x3-3,解得：xQ = ±2, 故t = 2或6； ②MP + PH + NH有最小值，理由: ••• MB//P H 且 BM = PH = 3, ■■■四边形BMPH为平行四边形,故PM = BH, ••• MP + PH + NH = PH + BH + HN = 3 + BH + HN, .•.当 B、H、N三点共线时，MP + PH + NH = PH + BH + HN = 3 + BH + HN最小, •••点C关于x轴的对称点为N,故点N(8,—3),而点B(0,3), 设直线BN的表达式为：y = kx + b,贝Ij{~^=8fe + Z,解得{： = 故直线BN的表达式为：y =—我+ 3, •••点P的坐标为(8i,3),故点H(8 —t,0), 将点H的坐标代入BN的表达式得：0 = —1(8 —t) + 3,解得：t = 4, 故点 P(4,3). D 解析：(1)直线y = 2% + 3分别交X轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为(—4,0)、(0,3), 由 ， 平行四边形的性质即可求解； (2)® A PO Q的面积S-|xOQx|yP|=i|xQ|x3 = 3,即可求解；②当B、H、N三点共线时， MP + PH + NH = PH + BH + HN = 3 + BH + HN最小，即可求解. 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的对称性、面积的计算等，综合性 强，具有一定难度.
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