（大学数学）计算方法试题及答案

baf(x)dx的辛普森公式为 。

111T

23. 设矩阵A=13，=LDL，其中L为单位下三角矩阵，D为 124.5对角矩阵,则L＝ ,D= 。

211x154. 线性方程组151x28，试写出Jacobi迭代法的迭代

1110x311格式 。

5. 已知下列数据： x y -3 14.3 3-2 8.3 -1 4.7 2 8.3 4 22.7 用最小二乘法求形如yabx2的经验公式的法方程为 。 6.用牛顿迭代法计算x3x20的根的迭代格式为 ， 取初始值x01.5, 迭代一步得x1 1.求积公式

。

201f(x)dx[3f(0)16f(0.5)5f(2)]具有的几阶代数精

9度。 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12-22.线性方程组的系数矩阵A111，

221则下面结论正确的是 （ ） A.Jacobi迭代法不收敛，Gauss-Seidel迭代法收敛 B. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法不收敛 C. Jacobi迭代法不收敛，Gauss-Seidel迭代法不收敛 D. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法收敛 3．设f(21)6，取

21.4142，利用下列等式计算，计算结果最好是

（ ）

1

A．fC.f1(21)613； B.f(322)3； ； D. f99702.

(322)24．设f(x)7x2x5,xjj(j0,1,2,.....)，

则f[x0,x1,x2] ( ) A. 7 B. 2 C. 5 D. 0

1. 若经四舍五入得到近似数x0.0123400，则它的绝对误差限为

1107，2有效数字为4 位。 ( ) 2. 设代数方程 f(x)2x35x219x420，在x3.0附近有根，设有迭代格式： xn132xk19xk42 （ n=0,1,2,……）， 5xk迭代法收敛的。 ( )

3. 当f(x)是不高于n次的多项式时，n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，

Ln(x)f(x)。 ( )

1. 要制作三角函数cosx的函数值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。 2. 已知数据如下 x -4.0 -2.0 3.0 -1.0 5.0 1.0 12.0 2.0 f(x) 试用插值方法，求方程f(x)0的根的近似解。 3. 用高斯列主元求解线性代数方程组

6x1101319x219

36x330111dxf(x)4. (1)已知，给出函数的函数值填入下20(1x2)4(1x)表，表值用六位小数；

(2)利用表中的值和n=4的复化Simpson求积公式计算的近似值。

x f(x) 0 0.25 0.5 0.75 1.0 2465 2

5. 构造积分I(f)2hhf(x)dx的数值积分公式

In(f)a1f(h)a0f(0)a1f(2h)。

6. 用向后Euler公式解初值问题：

y'(x)x2y1.0x1.2,取h0.1。 y(1.0)11. 给定n+1个插值点(xi,f(xi)),i0,1,2n，其中xi互不相等，证明不超过n次多项式Ln(x)存在且唯一。

211A1112．设为线性方程组的系数矩阵，

112试证：线性方程组AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。

4241. 设矩阵A=21710，对矩阵进行LDLT分解，则

4109L＝ ,D= .

2．设f(21)6，取21.4142，利用下列等式计算， 式计算结果最好. (1)f(3)f1(21)3；(2)； f(322)61(322)3；(4) f99702.

3. 设f(x)9x3100x1, 则f[x0,x1,x2,x3] . 4. 用牛顿迭代法计算11其迭代格式为 ， 取初始值x04, 迭代一步得x1 . 5. 已知下列数据：

x y -3 14.3 -2 8.3 -1 4.7 2 8.3 4 22.7 用最小二乘法求形如yabx2的经验公式的法方程为 。

3

6．设x0,x1,x2为三个互异的插值节点，li(x)(i0,1,2)为拉格朗日插值基函数，则l0(x)= ，li(x)= 。

i022f(1)f(0)f(1)具有的几阶代数精度。

13A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1.求积公式f(x)dx12112.线性方程组的系数矩阵A151，则下面结论正确的是

1110A.Jacobi迭代法不收敛，Gauss-Seidel迭代法收敛

B. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法不收敛 C. Jacobi迭代法不收敛，Gauss-Seidel迭代法不收敛 D. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法收敛

2103．设A131, 则下面正确的是 （ ）

012A.A2=(A)=4 B. A2=16,(A)=4 C.A2=2,(A)=4 D. A2=2,(A)=2

4. 梯形求积公式f(x)dxabba[f(a)f(b)]的截断误差为 21f()(ba)3(ab) 121f()(ba)3(ab) B.R(x)121f()(ba)3(ab) C.R(x)241(ab) D.R(x)f()(ba)321. 若经四舍五入得到近似数x2.0004，则它的绝对误差限为1104，有效数字为5 位。 ( ) 22. 设代数方程 f(x)2x35x219x420，在x3.0附近有根，

A.R(x) 4

25xk19x42设有迭代格式：xn1 （ n=0,1,2,……）， 22xk迭代法不收敛的。 ( ) 3．设f(x)10x3100x1, 则f[x0,x1,x2,,x3,x4]0。 ( )

1.试写出插值点（-2.00,0.00），（2.00,3.00），（5.00,6.00）的二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算L2(1.2) 2. 若用复化梯形公式计算定积分

10exdx

4 要求截断误差不超过1210，问分划数n至少是多大？

3．给出下列数据： xi yi -0.70 0.99 -0.5 1.21 0.25 2.57 0.75 4.23 用最小二乘法求形如yaebx的经验公式。

1dx的数值积分， 4. 试用龙贝格方法外推两步，计算02(1x)1写出计算过程，并填写龙贝格数值积分表。 Ri,1=Tn 10(1x2)dx

1Ri,2=Sn Ri,3=Cn 5. 用多利特尔分解解线性代数方程组

1200

300x12730x28 273x36027x455

6. 用向前Euler公式解初值问题：

y'(x)xy20.1x0.5,取h0.1y(0)1

试计算y(0.1),y(0.2)的近似值。

1. 试证

(1)矩阵特征值的模不大于矩阵的任一从属范数。即A (2)(A)A

2.设A211111为线性方程组的系数矩阵， 112试证：线性方程组AX=b的雅可比（Jacobi）迭代法不收敛。

6

答案

1. 8、8. b2.

af(x)dxh6[f(a)4f(ab2)f(b)]。

L＝100311010010.51,D=020. 003x(k1)(k)(k)104. .5x20.5x32.5x(k1)x(k)(k)20.210.2x31.8

x(k1)0.1x(k)0.1x(k)3121.15. 534a58.334370b563 36. xxk-3xk-27k1xk3x2，x1k33. 1.B 2. B 3. C 4．A 1. F 2. F 3 T 1. 解：设最大允许步长hxixi1

R(x)f()2!(xxi1)(xxi) cosh22(xxi1)(xxi)812104 h0.02 2. 解：将x看成g(x)，而将f(x)看成x，即得 x -2.0 -1.0 1.0 2.0 g(x) -4.0 3.0 5.0 12.0 k x g(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 -2.0 -4.0 1 -1.0 3.0 7 2 1.0 5.0 1 -2 3 2.0 12.0 7 2 1 g(x)N3(x)47(x2)2(x2)(x1)1(x2)(x1)(x1)g(0)=4

即f(x)0时，x4 3.

7

256106363041319194131919 6363025610636302231311 13480636302311231 14443111111x(3,2,1)T

4. 解：

x 0 0.25 0.5 0.75 1.0 f(x) 1 0.941176 0.8 0. 0.5 h1.0-040.25 S)hn(f3(f(0)4f(0.25)2f(0.5)4f(0.75)f(1.0))

0.253(140.94117620.840.0.5)0.7853924110(1x2)dx4Sn(f)3.14157 5. 解：a9310,a04h,a14h

I(f)94hf(0)3n4hf(2h)

6. 解：

x01.0,x11.1x21.2h0.1y

01由向后Euler公式迭代式为：yn1ynhf(xn1,yn1)得

y(x2n1ynhn1yn1)，整理得yn111h(yhx2nn1) y1(y20hx1)/(1h)1.24556

8

y22(y1hx2)/(1h)1.54395

1. 证明：设不超过n次多项式Ln(x)a0an1xanx

由插值条件Ln(xi)f(xi),i0,1,2,n，得

an0a1x0anx0f(x0)axn0a11anx1f(x1) a0a1xnanxnnf(xn)方程组的系数行列式是范德蒙行列式：

1x0x2n0x01x1xn1(xixj)

0jin1xnxnnxn当xi互不相等时，

0(xixj)0，所以方程组的解存在且唯一。jin即不超过n次多项式Ln(x)存在且唯一。 2．证明：高斯-赛德尔法的迭代矩阵S(DL)1U

20其中(DL)11，U11001

11200012(DL)111 2102120112高斯-赛德尔法的迭代矩阵为S1201， 22 0012它的特征值为0，12（二重）。

(S)121，高斯-赛德尔法收敛。

9

0040011. L＝0.510，D=0160.2．(3) 式(

10.51001f1(322)3)

3. f[x0,x1,x2,x3] 9 . 4. xk1111(xk)，x1 3.375 2xk534a58.35. 34370b563

2(xx1)(xx2)6．l0(x)，li(x)= 1

(x0x1)(x0x2)i01. A 2. D 3． A 4. A

1. T 2. F 3． T 1. 解：

L2(x)(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(xx1)(xx2)f(x0)f(x1)f(x2)

(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)(1.22.0)(1.25.0)(1.22.0)(1.25.0)(1.22.0)(1.22.0)03.06.0(2.02.0)(2.05.0)(2.02.0)(2.05.0)(5.02.0)(5.02.0)L2(1.2)

2.30857

2. 解：f(x)ex，f(x)ex，f(x)ex

(ba)3I(f)Tn(f)f(),212n(ba)3I(f)Tn(f)M2 212n114e10 2212nn67.3 n至少是68份 ab

3． 解：化经验公式为线性，lnylnabx 矛盾方程：

10

10.715.0alnln0.99ln1.2110.25 bln 10.752.57.23ln4法方程为：

42lna2.5721.365b1.23  lna0.697169，a2.0，b1.0

y2ex

4解：

T1=1/2*(f(0.0)+f(1.0))

T2=0.5*(0.5*f(0.0)+f(0.5)+0.5*f(1.0)) T4=0.25*(0.5*f(0.0)+f(0.25)+f(0.5)+f(0.75)+0.5*f(1.0)) S1=(4*T2-T1)/(4-1)

S2=(4*T4-T2)/(4-1) C1=(16*S2-S1)/(16-1)

110(1x2)dx0.785529

130013005. 解：2730130 027322130027000211000求解2100y12y2210800021y3得y(2,4,2,1)T 6y451300求解0130x1x2200134得x(1,1,-1,1)T 0001x32x41

11

6. 解：向前Euler公式迭代式为：

yn1ynhf(xn,yn)

h=0.1,x00,y01

y(0.1)y21y00.1(x0y0)10.1(01)1.1

y(0.2)y22y10.1(x1y1)1.10.1(0.11.12)1.231。 1. 证明：(1)设矩阵A的任一特征值，

则x0,有Axx 由诱导范数的定义AsupAxAxAxAx

x0xx，得xRn而

xxAxAx

x0x0，即得A

（2）由谱半径定义和的任一性得(A)A

012证明：雅可比方法的迭代矩阵为B21101 112022它的特征值为0，

52

i。 (B)521， 雅可比方法不收敛。

12