6.1平面向量的概念 一、内容和内容解析
1．内容
向量的实际背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．
2．内容解析
本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习．在物理学中，位移、速度、力是既有大小又有方向的量，在数学中，我们可以以位移、速度、力等物理量为背景抽象出向量的概念．
受由用带箭头的线段表示位移启发，教科书用有向线段直观表示向量．
零向量、单位向量是特殊而重要的向量．平行向量、相等向量、共线向量对具有特殊而重要关系的向量进行刻画．
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有物理背景和几何背景．向量是沟通几何与代数的桥梁，在数学和物理学科中具有广泛的应用．用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，能提升数算、直观想象和逻辑推理素养．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义．
2．目标解析
（1）通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景；初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．
（2）通过类比用带箭头的线段表示位移，理解用有向线段表示向量，进而理解向量的表示；
（3）借助有向线段的长度和方向，理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义；能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系．
三、教学问题诊断分析
向量是一个全新的概念，但是学生有生活经验和物理素材的认知基础，如物理学中的位移、力、速度等概念，所以不难理解向量的定义．但是在学习向量的表示时会遇到困难，一是用符号表示时，往往会忘记字母是带箭头的，这是由于受实数书写习惯的负迁移所致；二是容易将有向线段与向量混为一谈．因此在教学时，对向量的符号表示要让学生动手书
写，最好是板演，在师生探讨中克服思维负迁移；另外要对有向线段与向量之间的关系进行梳理，找出联系与区别．此外，向量有“大小”“方向”两个基本要素，教学中可以让学生与数量的概念进行比较，并让他们举出物理学中向量和数量的其他一些实例，从而更好地理解向量的特征．
共线向量与平行向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量是平行向量，也就是共线向量，反之也对．还要避免向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线相混淆，让学生认清平行向量与平行线、共线向量与共线线段的区别．
基于上述分析，可以确定本节课的教学难点：向量的概念和共线向量的概念．
四、教学支持条件分析
借助GGB或几何画板作图，能直观形象地理解向量的概念与表示．
五、教学过程设计
（一）情境引入
问题1：如图6.1-1所示，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度为10 n mile/h）．如果仅仅给出指令：“由A地航行15 n mile”，小船能否到达B地？
师生活动：教师提出问题，学生相互讨论．不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定能到达B地了．小船由A到B的位移，是既有大小又有方向的量．小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向．
设计意图：设置情境，从学生熟悉的经验和问题开始，为学习向量的概念做好铺垫．
（二）呈现新知
问题2：物理中，位移、速度等是既有大小又有方向的量．数学中，我们能否对这些量进行抽象，形成一种新的量呢？
师生活动：教师给出问题，学生思考，然后提出向量的概念．
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量．
追问1：物理学中常称向量为矢量，数量为标量．你能举出物理中一些向量和数量吗？
物理中的数量，如温度、路程、质量等．
物理中的向量，如位移、力、速度等．
设计意图：结合物理相关知识，学习向量的概念．
（三）向量的表示
问题3：由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？
师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，教师作总结，总结要点如下：
（1）带有方向的线段表示位移
以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．
（2）有向线段
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）（图6.1-2）．
追问2：有向线段包含了哪些要素？
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
追问3：如何表示有向线段的方向和长度？
（3）用有向线段表示向量
向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量．
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
追问4：有向线段就是向量吗？
它们都是既有大小又有方向的量，但有向线段不是向量．有向线段的基本要素是起点、方向和长度；向量的基本要素是大小和方向．
我们用有向线段表示向量，用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小，与起点的具体位置无关．
（4）向量的相关概念
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．
长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作0．
模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）．
（5）向量的其他表示方法
追问5：除了用有向线段表示向量，还有其他的方法表示向量吗？
向量可以用字母a，b，c，…表示．
注意：印刷用黑体a，书写用．教师要特别提醒学生注意零向量的书写．
追问6：如图6.1-3左图所示，能否说a>b？为什么？
数量有大小而没有方向，其大小有正数、负数和0之分，既可进行运算，又可比较大小；向量的模是正数或0，由于向量a和b的方向不能比较大小，于是
有意义，而
a>b没有意义．所以不能说a>b，即使如图6.1-3右图所示，向量a和b的方向相同也不
行．
设计意图：学习有向线段的含义，明确如何用有向线段表示向量．
（四）相等向量与共线向量
问题4：阅读教科书“6.1.3 相等向量与共线向量”，回答问题：
（1）你是怎么理解平行向量的？
（2）你是怎么理解相等向量的？
【师生活动】教师给出问题，学生阅读教材“6.1.3 相等向量与共线向量”，回答问题，然后教师作小结，小结要点如下：
（1）平行向量
概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors）．
表示：向量a与b平行，记作a∥b．
如图6.1-4，用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥．
追问7：“若向量a∥b，b∥c，则a∥c”这个说法正确吗？
平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．
追问8：向量平行、共线与线段平行、共线有什么区别和联系?
如图6.1-5，a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出
．这就是说，任一组平行向量都可
以平移到同一条直线上．
线段共线，则它们一定在同一条直线上；线段平行，则它们不能在一条直线上．
（2）相等向量
概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）．
表示：如图6.1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b．
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定．
设计意图：学习平行向量、相等向量、共线向量等概念；帮助学生辨析平行向量、相等向量和共线向量的概念，进行准确判断．
（五）典型例题
例1 在图6.1-7中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1 km）．
解：
表示A地至B地的位移，且
表示地至地的位移，且
师生活动：教师给出问题，学生思考、讨论并回答问题．
设计意图：巩固向量的概念及其几何表示．
例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与相等的向量．
师生活动：教师给出问题，学生思考、讨论并回答问题．
解：（1）是共线向量；
是共线向量；
是共线向量．
（2）
设计意图：巩固对共线向量、想等向量的理解，并通过长度相等且方向相反的两个向量不相等，让学生从反面认识相等向量的概念，也为后继引入相反向量的概念进行铺垫．
（六）课堂练习
教科书第4页练习第1，2，3，4题．
设计意图：通过练习及时巩固、反馈．
（七）小结提炼
问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．
师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，总结要点如下：
（1）学习的内容：向量的概念，有向线段的概念，向量的表示，共线向量与相等向量．
（2）学习的思想方法：数形结合的思想方法．
设计意图：对本节课小结提炼，进一步理解平面向量的概念与表示．
（八）布置作业
教科书习题6.1复习巩固第1，2，3题．
六、目标检测设计
1．下列结论正确的是______（填写正确的序号）．
（1）若a与b都是单位向量，则a = b．
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．
（4）若a与b是平行向量，则a = b．
（5）若用有向线段表示的向量相等，则点M与N不重合．
（6）海拔、温度、角度都不是向量．
检测目标：考查学生对向量的概念与表示的掌握情况．
2．如图，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量．
考查目标：考查学生对共线向量与相等向量的掌握情况．
