2023届高考数学考点专题复习训练——平面向量

考点一：平面向量基本概念

例1、设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；②若a与a0平行，则a|a|a0；③若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是（ ） A．0B．1C．2

D．3

例2、判断下列四个命题：①若a//b，则ab；②若|a||b|，则ab；③若|a||b|，则a//b；④若ab，则|a||b|.其中正确的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

练习1、下列命题中，正确的个数是（ ）

①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③若a0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若ab，则a与b共线． A．0B．1C．2

D．3

练习2、对实数p、q和向量a，b，c，正确的是（ ） A．pabpapb C．若abba，则ab

练习3、下列命题中正确的是（ ） A．若ab，则ab C．若a//b，b//c，则a//c

B．若ABDC，则ABCD是平行四边形 D．若ab，bc，则ac

22B．abcabc

D．若paqap,qR，则pq

练习4、．（多选）对于任意的平面向量a,b,c下列说法错误的是（ ） A．若a//b且b//c，则a//c B．abcacbc C．若abac，且a0，则bc D．abcabc

考点二、平面向量的线性运算

例1、如图，向量ab（ ） A．e13e2B．e13e2C．3e1e2

D．e13e2

例2、已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，ADb，则EF等于（ ） A．

1ab 2B．

1ab 2C．

1ba 21D．ab

2例3．如图，在△ABC中，AB3AD，CEED，设ABa，ACb，则AE（ ） 11A．ab

3211C．ab

5211B．ab

4211D．ab

62练习1、如图，则ab（ ） A．2e13e2 C．3e12e2

B．2e13e2 D．3e12e2

练习2．已知平面上四点A，B，C，D，则以下说法正确的是（ ） A．ABBCAC

C．ABBCCDDABD 练习3、化简A．AF

B．ABACBC D．ABDCACDB

ADFEAEFDAF（ ）

B．FD

C．0

D．FA

练习4、如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则（ ）

A．AF3ADBE C．AF3ADBE

B．AF3ADBE D．AF3ADBE

练习5、如图所示，在ABC中，CB3CD，AD2AE，若ABa，ACb，则CE（ ）

11A．ab

6311C．ab

3312B．ab

6315D．ab

66

练习6、在ABC中，AE3EC，D是BE上的点，若ADxAB1A．

32AC，则实数x的值为（ ） 31D．

92B．

34C．

3

考点三、平面向量的坐标运算

例1、已知a(3,1),b(2,)，若a//b，则实数的值为（ ） 2A．

33B．

22C．

33D．

2例2、已知向量a2,m， b2,4，若ab则ab（ ） A．5 B．5

C．25 D．45 例3、已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=（ ） A．-3 C．2

B．-2 D．3

例4、a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于 A．

8 65B．8 65C．

16 65D．16 65练习1、已知向量ax2,3，bx,1，且a//b，则x的值是（ ） A．1

B．0

C．2

D．1

练习2、已知向量a2,3,b3,2，则ab（ ） A．2 C．52 B．2 D．50

练习3、若向量AB1,2，BC3,4，则AC（ ） A．（4，6）

B．(-4，-6)

C．(-2，-2)

D．(2，2)

练习4、若向量a(1,3)，b(2,6)，则（ ） A．ab

练习5、已知a(x,1),b(2,4)，若(ab)b，则x等于（ ） A．8

B．10

C．11

D．12

B．a与b同向

C．a与b反向

D．a2b

练习6、已知向量a(1,m)，b(m,2)，若a//b，则实数m等于（ ） A．－2B．2C．－2或2

D．0

考点四：平面向量的模

例1已知平面向量a，b满足a2，b1，且a与b的夹角为A．3 B．5 C．7 D．3 例2、设向量a，b满足a=b1，abA．2 B．3 C．5 D．7 2，则ab（ ） 31，则a+2b（ ） 2例3、已知a、若非零向量a与e的夹角为b、e是平面向量，e是单位向量．则ab的最小值是（ ） A．31

B．31

C．2

，向量b满足b24eb30，3D．23

练习1、已知平面向量a,b的夹角为

，且a1,b1,3，则a2b的值为（ ） 3A．5 B．4 C．13 D．23 练习2、已知a(1,1),b(2,m),a(ab)，则|b|（ ） A．2 B．2 C．1 D．0

1练习3、已知向量a，b，a6，b3,4，若a在b上的投影向量为e（e是与b同向的单位向量），

4则3a2b（ ）

A．169 B．13 C．196 D．14

π练习4、已知非零平面向量a，若a与b的夹角为，则ac的最小值为（ ） b，c满足a2，bc1，

33 21练习5、已知平面向量a,b，且|a||b|2,ab2，向量c满足|cab||ab|，则|cλb|(λR)的最

2A．31 B．3 C．31 D．小值为（ ） A．21

B．31

C．3 D．31

考点五、平面的向量的数量积

3π

例1、已知向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．

4

→→

例2、已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF．若AE·BF＝－9，则λ的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

例3、已知空间向量abc0，a2，b3，c4，则cosa,b（ ）

1111A．2 B． C． D．

342例4、已知D是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则ABAD的取值范围是（ ） A．[3,4] B．[3,2] C．[0,2] D．[2,4]

1→→

练习1、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则DM·DB＝

3_____．

π→→

练习2、在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则AE·BC等于( )

2A．16 B．12 C．8 D．－4 练习3、已知向量a与b的夹角是

2，且|a|1，|b|4，若(3ab)a，则实数的值为（ ） 32332A． B． C． D．

33221练习4、已知单位向量a，b满足ab，若向量ca2b，则cos〈a，c〉=（ ）

41123A． B． C． D． 3433练习5、如果不共线向量a,b满足2ab，那么向量2ab与2ab的夹角为（ ）

2 C． D．

332练习6、在直角三角形ABC中，CACB3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN2，则MCNC取值范围为（ ）

75A．2, B．4,6 C．2,4 D．4,

24

练习7、如图，AOB为等腰直角三角形OA1，OC为斜边AB上的高，点P在射线OC上，

A． B．

6则APOP的最小值为（ ）

111A．1 B． C． D．

842练习8、如图，梯形ABCD中，ABBC，AB//CD，ABBC2，ACBD2，若点M为边AB上的动点，则MCMD的最小值是（ ） 577A．1 B． C． D．

434考点六、平面向量定比分点定理

⃗⃗⃗⃗ =𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =𝐵𝐷=2𝐷𝐴.记⃗例1：在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐴𝐵上，则⃗⃗（ ） 𝐶𝐴⃗⃗⃗ ，𝐶𝐷=𝑛⃗ ，𝐶𝐵⃗⃗⃗ −2𝑛⃗ A. 3𝑚

⃗⃗⃗ +3𝑛⃗ B. −2𝑚

⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ C. 3𝑚

⃗⃗⃗ +3𝑛⃗ D. 2𝑚

1例2：在ABC中，D是BC上一点，且BDBC，则AD（ ）

3112112A．ABACB．ABACC．ABAC D．ABAC

333333例3：:已知D为ABC所在平面内一点，且CD21A．ABAC

3314C．ABAC

332BC，则AD（ ） 325B．ABAC

3325D．ABAC

331练习1．在△ABC中，BD2DC，E是AD上一点．若CECACB，则（ ）

21A．

6B．2

11C．

41D．

3练习2．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得OCmOAnOB，则mn的值为（ ）． 1A．

3B．0

1C．

3D．

23练习3．ABC中所在的平面上的点D满足BD2DC，则AD（ ）

31ABAC 4421C．ADABAC

33A．AD13ABAC 4412D．ADABAC

33B．AD练习4．如图所示，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE（ ） 21A．BABC

3611B．BABC

3321C．BABC

3311D．BABC

36

考点七、等和线定理

⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝜆＝（） ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐶𝐷例题1：在𝛥𝐴𝐵𝐶中，已知D是AB边上一点，若𝐴𝐷

3

A．− B．− C． D． 3

3

3

3

1212

例题2：如图， RtABC中， P是斜边BC上一点，且满足： BP1PC,点M,N在过点P的直线上，2若AMAB,ANAC,(,0),则2的最小值为（ ） A．2 B．

810 C．3 D． 33例题3：如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动， P是圆Q上及内部的动点，设向量APmABnAF（m， n为实数），则mn的取值范围是（ ）

A．

1,2 B．5,6 C．2,5 D．3,5

2𝜋3

练习1、如图，∠𝐵𝐴𝐶=，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，𝐴𝐷=1，点P是圆M及

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥、𝑦∈𝑅)，则𝑥+𝑦的取值范围是（ ） 其内部任意一点，且𝐴𝑃

A．[1,4+2√3]B．[4−2√3,4+2√3]C．[1,2+√3]D．[2−√3,2+√3]

D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足AFxAByACx,yR，ABC中，练习2、则

12的最小值为（ ） xyA．322 B．222 C．6 D．8

练习3:、在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

APABAD，则的最大值为( )

A．3

B．22 C．5 D．2

考点八、极化恒等式

例题1：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BACA4，

BFCF1 ，则BECE的值是________.

例题2：已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPBPC的最小值是（ ）

A.2B.34C.D.1 2322练习1、已知圆C的方程为(x1)(y1)2，点P在直线y为圆C的直径，则PAPB的最小值为（） A．2

B．

x3上，线段AB5 2C．3 D．

7 2练习2、已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB8，CD6，则MAMB的取值范围

是．

练习3：如图，在ABC中，已知AB4,AC6,BAC60，点D,E分别在边AB,AC上，且AB2AD,AC3AE，若F为DE的中点，则BFDE的值为________.

ABBC，BCD60，ADCD，练习4：如图，在平面四边形ABCD中，CBCD23. 若点M为边BC上的动点，则AMDM的最小值为．

练习5：在△ABC中，已知AB3，C3，则CACB的最大值为.

练习6：如图，已知点O为△ABC的重心，OAOB，AB6，则ACBC的值为．

练习7：在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5．若ABAD7， 则BCDC的值是．

考点九、奔驰定理

⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ 例1：设点𝑂在∆𝐴𝐵𝐶所在平面内，若𝑂𝐴0，则∆𝑂𝐵𝐶与∆𝐴𝐵𝐶的面积比为.

⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝑆∆𝐵𝐶𝐷等于( ) 例2：在∆𝐴𝐵𝐶中，𝐷为∆𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且𝐴𝐷

3

2

𝑆∆𝐴𝐵𝐷

1112

A． B． C． D． 6323

例3、已知O为正三角形ABC内一点，且满足OAOB1OC0，若OAB的面积与OAC的面积之比为3，则（ ）

1331A．2 B． C． D．

244

练习1：设点O在ABC的外部，且2OA3OB5OC0，则S△OBC:S△ABC A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4

练习2：已知S△ABC3，点M是△ABC内一点且MA2MBCM，则△MBC的面积为（ ）

1131A． B． C． D．

4423练习3：设点O在ABC内部，且5OA3OB7OC0，则ABC与△AOC的面积之比为________. ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则∆𝑃𝐴𝐵=（ ） ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶练习4：点P在∆𝐴𝐵𝐶所在平面上，且满足𝑃𝐴𝑆∆𝐴𝐵𝐶A.

𝑆

1112 B. C. D. 2343

⃗⃗⃗⃗⃗ =1(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )，则∆𝐴𝐵𝐶的面积与∆𝐴𝐵𝑃的面积之比是 练习5：点𝑃在∆𝐴𝐵𝐶内的一点，𝐴𝑃3

→→→

练习6：点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别

为( )

24421221A．， B．， C．， D．， 99999999