勾股定理经典例题

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a＋b＝c．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

22

2

要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式：

22222222222

c=a+b, a=c-b， b=c-a ， c=(a+b)-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中

，所以

。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中

，所以

。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

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，所以

。

实用标准文案

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；

3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

222

满足不定方程x+y=z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12

2 22

∴AC=AD－CD

22

=13－12 =25 ∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得

222

AB=AC－BC

22

=5－3 =16 ∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC的长.

思路点拨：由条件

，

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角的直角三角形，为此作

于D，则有

，想到构造含

，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

实用标准文案

解析：作 ∴

于D，则因

（

，

的两个锐角互余）

，

∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

中，

.

中，

.

∴ .

总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三【变式1】如图，已知：

，

，

于P. 求证：

.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在

.

而在

中，则根据勾股定理有

.

∴又∵ ∴

在

（已知），

.

中，根据勾股定理有

，

中，

∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。

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实用标准文案

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE=AE-AB=8-4=48，BE= ∵DE= CE-CD=4-2=12，∴DE=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

==

。 。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

到达B点，然后再沿

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：

所以 （2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

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【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中 同理

∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 由∠FBH＝ EA＝ED＝FB＝FC＝ ∴EF＝1－2FH＝1－

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及勾股定理得：

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∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞2.828>2.732

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．

总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理）

∴ AC＝＝ ＝ 答：最短路程约为１０．７７cm．

≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

类型四：利用勾股定理作长为

5、作长为

、

、

的线段

的线段。

，直角边为

和1的直角三角形斜

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于边长就是，类似地可作

作法：如图所示

。

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形

。斜边为

、

； 、

、

的长度就是

，这样斜边

、、、。 总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。

举一反三 【变式】在数轴上表示

的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

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作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

222

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

222

思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a+b+c+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

222

解析：由a+b+c+50=6a+8b+10c，得 ：

222

a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,

222

∴ (a-3)+(b-4)+(c-5)=0。

222

∵ (a-3)≥0, (b-4)≥0, (c-5)≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。

222

∵ 3+4=5,

222

∴ a+b=c。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【答案】：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

222

∴AC=AB+BC=25（勾股定理） ∴AC=5

222

∵AC+CD=169，AD=169

222

∴AC+CD=AD

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

2222

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m－n,2mn,m+n(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

222

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a+b=c即可 证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=

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AB。

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请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

222222

∴ EF=BF+BE=a+4a=5a；

222222

DE=CE+CD=4a+16a=20a。 连接DF（如图）

222222

DF=AF+AD=9a+16a=25a。

222

∴ DF=EF+DE, ∴ FE⊥DE。 经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

222

（3x）+（4x）＝20

2

化简得x＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x＝96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1

222222

在直角三角形ABD中，AB＝AD+BD，即：AD＝AB－BD＝4－1＝3

BC·AD＝

2

∴AD＝ S△ABC＝

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由（1）得：x+y＝7，

222

（x+y）＝49，x+2xy+y＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12

2

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

222

（n+1）+（n+2）＝（n+3）

2

化简得：n＝4

∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

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总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

222222

对数据较大的可以用c＝a+b的变形：b＝c－a＝（c－a）（c+a）来判断。 例如：对于选择D，

2

∵8≠（40+39）×（40－39），

∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

222

∴AC=AB+BC=25（勾股定理） ∴AC=5

222

∵AC+CD=169，AD=169

222

∴AC+CD=AD

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，

222

由勾股定理得： BC＝100-80＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直

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角三角形以便利用勾股定理。

举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为

，面积是

。

。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，

，故 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．

因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．

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且∠BAD=∠C=45°．

因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

，求、、的值。

思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则 因为

，由勾股定理，得

，所以

，

。

，，。 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以 设

，则

，即

即EF的长为5cm。

。

，解得

。

。 所以

。

在Rt△ECF中，

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