初三中考复习

23．已知抛物线 y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点． （1）求m的取值范围；

（2）若m>1, 且点A在点B的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；

（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l //x轴, 将抛物线在y轴左侧

的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合

新图象回答: 当直线y的取值范围.

1xb与新图象只有一个公共点P(x0, y0)且 y07时, 求b3y87654321x-4-3-2-1O12345678-1-2-3-423. 已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30． -5（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2） 若正整数m满足82m2，设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x

轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．

23．已知关于x的一元二次方程x24x2(k1)0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）如果抛物线yx24x2(k1)与x轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k的

值；

（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C，点P是射线OC上的一个动

点（点P不与点O、点C重合），过点P作垂直于x轴的直线，交抛物线于点M，点Q在直线PC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

23．已知：直线yy54321–2–1O–1–2–3–412345x1x2分别与 x轴、y轴交于点A、点B，点P（a，b）在直线AB 上，2k

图象上． x

点P关于y轴的对称点P′ 在反比例函数y(1) 当a=1时，求反比例函数y

k

的解析式； x

(2) 设直线AB与线段P'O的交点为C．当P'C =2CO时，求b的值；

b(3) 过点A作AD//y轴交反比例函数图象于点D，若AD=，求△P’DO的面积．

2解：

yO备用图

x23．已知m为整数，方程2xmx1=0的两个根都大于-1且小于

为有理数时，求m的值．

24．已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）． （1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；

（2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（－1，0）． ①求二次函数的解析式；

23，当方程的两个根均2②在平面直角坐标系中，如果点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，则称点P为等距点．求出这个二次函数图像上所有等距点的坐标． （3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．试比较a1和a2的大小，并说明理由.

23. 已知抛物线y＝ax2＋x＋2.

(1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；

(3)若a是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.

y4321-4-3-2-1O-1-2-3-41234x答案

23. 解：（1）∵ 抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点，

ìm-1 0,① ïï∴í 2ïD=(m-2)+4(m-1)>0.② ïî…………………………………………1分

由①得m¹1， 由②得m¹0，

∴ m的取值范围是m¹0且m¹1． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A、B是抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴的交点，

∴ 令y0，即 (m1)x2(m2)x10． 解得 x11，x2∵m1， ∴

1． m1101. m11,0). …………………………3分 m1∵ 点A在点B左侧，

∴ 点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(∴ OA=1，OB=

1． m1∵ OA : OB=1 : 3，

13. m14∴ m=．

3∴

∴ 抛物线的解析式为yx2（3）∵ 点C是抛物线yx2132x1． ………………………………………4分 312x1与y轴的交点，

33∴ 点C的坐标为(0,-1).

依题意翻折后的图象如图所示．

令y7，即

122xx17． 33解得x16, x24．

∴ 新图象经过点D(6,7).

131当直线yxb经过C点时，可得b1．

3当直线yxb经过D点时，可得b5.

当直线y112xb(b1)与函数yx2x1(x0)333

的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得

1122x0bx0x01. 3332整理得 x03x03b30.

由D=(-3)2-4(-3b-3)=12b+21=0，得b7． 47． ……………7分 4结合图象可知，符合题意的b的取值范围为1b5或b<-说明：1b5 （2分），每边不等式正确各1分；b<-

y87654321A-4-3-2-1O1-1C-2-3-4-5-6-7-87 （1分） 4DB234567lx东城区

23.解：（1）(4m)212(1m) (m2)2．……2分

由题意得，(m2)＞0且1m0 ．

∴ 符合题意的m的取值范围是 m2且m1的

一切实数． ……3分

（2）∵ 正整数m满足82m2， ∴ m可取的值为1和2 ．

又∵ 二次函数y(1m)x(4m)x3，

22 ∴ m=2．……4分

∴ 二次函数为y-x22x3．

∴ A点、B点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．

依题意翻折后的图象如图所示．

由图象可知符合题意的直线ykx3经过点A、B．

可求出此时k的值分别为3或-1．……7分

注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．

23．解：（1）由题意得△>0．

∴△=(4)24[2(k1)]8k240．……1分 ∴解得k3．……2分

（2）∵k3且k为正整数，∴k1或2．……3分

当k1时，yx24x，与x轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当k2时，yx24x2，与x轴的交点不是整数点，故舍去． 综上所述，k1．……4分

yx,（3）∵ ∴点C的坐标是（5，5）．∴OC与x轴的夹角为45°． 2yx4x，过点Q作QN⊥PM于点N ，（注：点Q在射线PC上时，结果一样，所以只写一种情

况即可）

∴∠NQP=45°，S1PMNQ． 2∵PQ=2，∴NQ=1．

222∵P（t,t），则M（t,t4t），∴PM=t(t4t)t5t．……5分

∴S1t25t． 2125tt；……6分 22125 当t5时，Stt．……7分

22∴当0t5时，S

23．（1）∵点P在直线AB上, a1时，

yP'DACOxP1512=………………………1分 225∴P(1,)，

2bBk55 得k，

22x5∴y …………………………2分

2x∴P(1,)，代入y（2）联结PP'

∵点P和点P关于y轴对称 ∴PP'∥x轴

∴△PP'C∽△OCA ∴PP'∶OAP'C∶CO …………3分 ∵P'C2CO ∴PP'=2OA

1x2与x轴交于点A、点B 2∴A(4,0)，B(0,2)可得OA4

1∴PP'8 ∴a=4 ∴b424 ………………………5分

2（3）当点P在第一象限时：

∵点P和点P关于y轴对称且P(a,b) ∴P'(a,b)

bk∵AD∥y∴D(-4，) ∵点P'、点D在y上

2x1b∴4ab ∴a2 ∴b223

2293∵D(4,),P'(2,3) ∴S△P'DO …………6

22∵y分

当点P在第二象限时：D(-4，∴4b) 2b1ab ∴a2 ∴b(2)21 2213∵D(4,),P'(2,1) ∴S△P'DO …………7

22分

23

．

解

：

设

y2x2mx1． …………………………………………………………………1分

∵ 2xmx10的两根都在1和

23之间， 2∴ 当x1时，y0，即：2m10 ． ……………………2分 当x∴ 2393时，y0，即：m10． ……………………3分 2221m1． ……………………………………………………4分 3

∵ m为整数，

1，0． ………………………………………………………5分 ∴ m2，① 当m2时，方程2x2x10，4812， ∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．

② 当m1时，方程2xx10，x1，x21，符合题意． ③ 当m0时，方程2x10，x222122，不符合题意． 2综合①②③可知，m1． ……………………………………… 6分

24．解：（1）a ……………………………………………1分

（2）①∵二次函数yaxbxc经过点（1，2）和（－1，0） ab22 ab20a1解，得

b12即yxx2…………………………………………………………………………2分 ② 该函数图像上等距点的坐标即为此函数与函数y1x和函数y2x的交点坐标yx2x2yx2x2， yxyx2解得P1（2,2） P2（2,2）

P3（13,13） P4（13,31）……………………………………………………4分

(3) ∵二次函数与x轴正半轴交于点M（m,0）且ab 当a=a1时

∴a1m2a1m20 即a12

mm2同理 a2n2a2n20 a2故a2a12

nn2222(mn)(1mn)

mn(1m)(1n)nn2mm2∵nm1 故a2a12(mn)(1mn)mn(1m)(1n)0

∴a1a2………………………………………………………………………………………7分

23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为(

191，)，对称轴为直线x=.……2分 242(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.

又因为函数的最大值为

9，∴y的正整数值只能为1或2. 4 当y=1时，-x2+x+2＝1，解得x11515，x2…………3分 22 当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分

∴x的值为x11515，x2，0或1. 22（3） 当a＜0时，即a1＜0，a2＜0.

经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为x1, 2a11.…………5分 2a2 经过点N的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为x∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)

∴直线x11在直线x的左侧……………6分

2a22a1∴11＜. 2a12a2∴a1＜a2.…………………………………………………………7分