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三角函数复习教案-整理

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《三角函数》复习教案

【知识网络】

应用弧长公式同角三角函数诱导计算与化简应用的基本关系式公式证明恒等式应用三角函数的已知三角函角度制与任意角的应用任意角的概念图像和性质数值求角弧度制三角函数和角公式应用倍角公式应用差角公式应用

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课三角函数的概念

【学习目标】

理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．【考点梳理】

考点一、角的概念与推广

1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：

与终边相同的角的集合：{|2k,kZ} 第一象限角的集合：{|2k22k,kZ}

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第二象限角的集合：{|22k2k,kZ}

32k,kZ} 2第三象限角的集合：{|2k第四象限角的集合：{|32k22k,kZ} 2终边在x轴上的角的集合：{|k,kZ} 终边在y轴上的角的集合：{|k终边在坐标轴上的角的集合：{|要点诠释：

要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制

1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l2,kZ}

k,kZ} 2r，扇形面积S扇形lrr2（其中r是圆的半径，是弧所对圆心

1212角的弧度数）.

2．角度制与弧度制的换算：

180；1要点诠释：

180180rad0.01745rad；1rad()57.305718'

要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数

1. 定义：在角上的终边上任取一点P(x,y)，记rOP则sinx2y2 xryxyr, cos, tan，cot，sec，csc.

yyrrxx2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做的正弦线，余弦线，正切线.

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3. 三角函数的定义域：ysin，ycos的定义域是R；ytan，ysec的定义域是{|k2,kZ}；ycot，ycsc的定义域是

{|k,kZ}.

4. 三角函数值在各个象限内的符号：

要点诠释：

①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.

②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】

类型一、角的相关概念例1.已知是第三象限角,求角【答案】

的终边所处的位置. 2是第二或第四象限角 2【解析】方法一：∵是第三象限角，即2k2k∴k3,kZ， 222k3,kZ, 4当k2n时，2n∴

222n3,nZ, 4是第二象限角， 2当k2n1时，2n∴

372n,nZ, 224是第四象限角， 2∴是第二或第四象限角. 2第 3 页共 41 页

方法二：

由图知:

的终边落在二，四象限. 2是第二象限角，2【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为其错误原因为认为第三象限角的范围是(,整数倍，需要对整数进行分类．

3)．解决本题的关键就是为了凑出2的2（2）确定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断

*，(nN)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半n* (nN)终边所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码3的区域就n轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角是

终边所在位置． 2

举一反三：

【变式1】已知是第二象限角,求角

y 3 4 1 2 2 1 x 4 3 的终边所处的位置. 3第 4 页共 41 页

【答案】

是第一或第二或第四象限角 3【解析】方法一：∵是第二象限角，即2k∴

22k,kZ，

kk22,kZ, 36333当k3n时，2n∴

632n3,kZ,

是第一象限角， 352n,kZ, 63当k3n1时，2n∴

是第二象限角， 3352n,kZ, 233当k3n2时，2n∴

是第四象限角， 3∴是第一或第二或第四象限角. 3方法二：

k=2，如下图中标有号码2的区域就是

终边所在位置． 3

由图知：

的终边落在一，二，四象限. 3【变式2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）.

【答案】29cm.

类型二、任意角的三角函数

例2. 若sincos0，则角在象限. 【答案】第一或第三【解析】

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方法一：由sincos0知（1）sin0sin0或（2）

cos0cos0由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限.

方法二：由sincos0有sin20，

所以2k22kkZ, 即kk2kZ

当k2n(nZ)时，为第一象限，当k2n1(nZ)时，为第三象限故为第一或第三象限.

方法三：分别令、、、，代入sincos0，

56676116只有

6

、满足条件，

76所以为第一或第三象限.

【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.

举一反三：【变式1】确定

tan(3).sin5的符号.

cos1【答案】原式小于零

【解析】因为3,5,1分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan(3)0，sin50，

cos10，

所以原式小于零.

【变式2】已知tancos>0，【答案】二【解析】∵

【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1. 例3.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为射线

4x3y0(x0)，则sin(sincot)cos2的值是（）

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A.15 B.25 C.5 D.5 【答案】C

【解析】在角的终边上任取一点P(3,4)，则有r5，则原式445(534)92585，故选C. 举一反三：

【变式】已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求sin、cos、tan的值【解析】ra2(2a)25|a|

（1）当a0时，r5a，∴sin255，cos55，tan2；（2）当a0时，r5a，∴sin255，cos55，tan2.【课堂练习】

1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( )

A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y=x上 D．在直线y=－x上． 3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα= ，tanα= ． 4．

tan(－3)cot5

cos8

的符号为．

5．若cosθtanθ＞0，则θ是 ( )

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角 D．第二、三象限角【课后检测】

1．已知α是钝角，那么α

2 是（）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角

2．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（）

A．

3 5 B． 45 C．－ 345 D．－ 5

3．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 A．( π3π5π2， 4)∪(π， 4) B．( π4， π5π2)∪(π， 4) C．(

π3π5π3πππ2 ， 4 )∪(4，2) D．( 4， 2 )∪(3π4

，π) 4．若sinx= － 35，cosx =4

，则角2x的终边位置在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

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( )

5．若4π＜α＜6π，且α与－

2π

终边相同，则α= ． 3

6．角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

参：

【课堂练习】 1．{α|α=kπ+ 5． C

16π

【课后检测】1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二

37．{2kπ+

π3π

＜x＜2kπ+π或2kπ+＜x＜2kπ+2π ，k∈Z} 8．负 9． 2cm2． 22

π512

，k∈Z} 2． A 3.－，－． 4．＋ 4135

第2课同角三角函数的关系及诱导公式

【学习目标】

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1，

sinα

=tanα，tanαcotα=1， cosα

掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．【考点梳理】

考点一、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：sincos1;2. 商数关系：tan22sec21tan2;csc21cot2.

sin;coscotcos. sincossec1

3. 倒数关系：tancot1;sincsc1;要点诠释：

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函

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数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1sincos，

221sec2tan2tan45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦

法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式

1.2k(kZ),,,2的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.

2，

3的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角2时原函数值所在象限的符号.

要点诠释：

1、诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较

多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.

2、在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号。 3、三角变换一般技巧有 ①切化弦， ②降次， ③变角， ④化单一函数， ⑤妙用1， ⑥分子分母同乘除，

类型三、诱导公式例4.已知cos()的26352，求cos()sin()的值. 366【答案】23 3【解析】cos()sin(562)cos[()]sin2[()] 666cos()sin2()cos()[1cos2()]

666631231. 333第 9 页共 41 页

举一反三：

【变式1】计算：sin330cos240 【答案】1

=sin30cos601. 【解析】原式sin(36030)cos(180+60）【变式2】化简sin(【答案】0

【解析】原式sin()cos().

44)cos()sin()sin()0. 444421，且0．求sincos、sincos的值； 5类型四、同角三角函数的基本关系式例5．已知sincos【答案】127； 255【解析】方法一：由sincos1122可得：sin2sincoscos， 525112即12sincos，∴sincos

2525112∵sincos，sincos

5251122∴sin、cos是方程xx0的两根，

52543sinsin55∴或 cos3cos455∵0， ∴sin0，

43，cos， 557∴sincos

51122方法二：由sincos可得：sin2sincoscos，

525112即12sincos，∴sincos

2525∴sin∵0，∴sin0，∴cos0，∴sincos0

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由（sincos）12sincos12∴sincos举一反三：

【变式】已知sincos【答案】16

【解析】由sincos21249 25257 5211，求的值. 2sin2cos22可得：2sin22sincoscos212sincos于是sincos1； 21， 411sin2cos216． ∴2222sincossincos例6．已知2sincos0，求下列各式的值

4sin3cos22 ；（2）2sin3sincos5cos

2sin5cos512【答案】；

451【解析】由2sincos0得tan，

24sin3cos4tan35cos（1）原式；

2sin5cos3tan54cos112222（2）原式cos(2tan3tan5) (2tan3tan5)1tan25（1）举一反三：

【变式】已知tan2，求值

sincos1 ；（2）

sincos2sincoscos215【答案】；

33（1）【解析】

sincostan11cos；（1）原式sincostan13cos第 11 页共 41 页

（2）原式1 22sincoscoscos2()cos21tan25 2tan13

【课堂练习】

1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是 ( ) 13119A． B． C． D．

4444

2．已知sin(π+α)=－，则 ( )

54343

A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)= 54553．已tanα=3，

4sinα－2cosα

的值为．

5cosα＋3sinα

4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于 ( )

9A．

22 22 22

B．－ C． D．－ 3333

【课后反馈】

1．sin600°的值是（） 113 3 A． B．－ C． D．－

2222

ππ

2． sin(+α)sin（－α）的化简结果为（）

4411

A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α

221

3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是（）

534434A．－ B．－ C．± D．－或－ 4334311

4．已知tanα=－，则 = ．

3 2sinαcosα+cos2α5．

1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos2170°

的值为．

1+2sinαcosα1+ tanα

6．证明 =．

cos2α－sin2α 1－tanα

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2sinθ+cosθ

7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

sinθ－3cosθ

8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

参：【课堂练习】

1． A 2． D 3． 4．sin2－cos2 5． A

7【课后反馈】

π107

1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6．略 7． 8．－ 353

第3课两角和与两角差的三角函数（一）

【学习目标】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．【知识梳理】

一．两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴coscoscossinsin； ⑵coscoscossinsin； ⑶sinsincoscossin； ⑷sinsincoscossin； ⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan二．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sincos． ⑵

cos2cos2sin22cos2112sin21cos2）． 2（

cos2cos212，

sin2第 13 页共 41 页

⑶tan22tan．

1tan21cos2α21cos2α;sinα22

(4)降幂公式:cos2α(5)半角公式:α1cosαα1cosαcos;sin2222tgα1cosαsinα1cosα21cosα1cosαsinα

2tg(6)万能公式:αα1tg22;cosα 2sinα αα1tg21tg222

三．辅助角公式

sincos22sin，其中tan． 注：（１）这些公式既可以从左向右运用，也可以从右向左运用（２）要会把一个角分成两个角的和与差

（３）在一个十字中，若既有正余弦又有正切，一般是先切化弦，而后在计算

【解题技巧】：

1、以变角为主线，注意配凑和转化； 2、遇见切，想化弦；个别情况弦化切； 3、见和差，想化积；见乘积，化和差； 4、见分式，想通分，使分母最简； 5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂； 6、见2sinα，想拆成sinα+sinα；

7、见sinα±cosα或sinα+sinβ=p及cosα+cosβ=q，想两边平方或和差化积。

22absin(αφ)形式。 8、见asinα+bcosα，想化为

先运用cosα9、见cosα·cosβ·cosθ····，

sin2α2sinα，若不行，则化和差。

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【典型例题】

例1 已知sinα－sinβ=－，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值．

32 分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cos

β的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．

解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ②

①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= ∴cos(α－β)=

． 59

． 36

【点评】审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

2cos10°-sin20°

例2 求的值．

cos20° 分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解 ∵10°=30°－20°，

2cos(30°-20°)-sin20°

∴原式=

cos20°

2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°3 cos30°

= =3 ．

cos20° cos20°

【点评】化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3 已知：sin(2α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．

分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．

【点评】审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

【注意】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．

例4 求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+3 tan10°tan50°；

（3 tan12°-3）csc12°(2) ．

4cos 212°-2

(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3 tan10°tan50°=3 ．（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

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sin12°331（3 ·－3）cos12° sin12°

解原式= =cos12sin12

2 cos24°2cos241323(sin12cos12)3sin123cos1222= 12sin12cos12cos24sin482=

43sin(1260)43.

sin48 【点评】（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=a2b2sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ

例5 求证 = ．

2 tanθ 1-tan2θ

分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，

证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

1+sin4θ-cos4θ2tanθ

由欲证的等式可知，可先证等式 = ，此式的右边等于tan2θ，

1+sin4θ+cos4θ 1-tan2θ而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

证略

【点评】注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式： ①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，

1-cos2α1＋cos2α

②降幂公式sin2α= ，cos2α= 的运用；

22三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．

π317π7πsin2x＋sin2xtanx

例6 已知cos(+x)= ，＜x＜，求的值．

45124 1-tanx

tan＋tanx4sin2x（1＋tanx）π

解原式= =sin2x× =sin2xtan（+x）

1-tanx4π

1-tantanx4

πππ

= －cos［2(x+)］tan(x+)= －［2cos2(x+ )－1］tan（+x）

44417π7π5ππ

∵＜x＜， ∴ ＜x+＜2π． 12434

ππ44

∴sin(+x) = －，∴tan（+x ）=－．

4543∴原式 = －

． 75

第 16 页共 41 页

【点评】（1）注意两角和公式的逆用；

（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan 等；

4 （3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+

． 4

【注意】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．

【课堂练习1】

1．cos105°的值为（） A．

6 ＋2 4 B． 6 －2 2 －6 －6 －2

4 C． 4 D． 4

2．对于任何α、β∈（0，

），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是（）A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π

，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于（）

A． a+1 B．－ a+1 C． a2+1 D．±a2+1 4．已知tanα=11

3，tanβ=3，则cot(α+2β)= ．

5．已知tanx=1

，则cos2x= ．

【课堂练习2】求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．1

（cos15°+3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．

5．11－tanθ－ 1

1＋tanθ= ．

【课后反馈1】

1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sinα=35，cos(α+β)=－4

，则sinβ等于（ A．0 B．0或242424

25 C． 25 D．0或－25

2．

sin7°+cos15°sin8°

cos7°－sin15°sin8°

的值等于（）

第 17 页共 41 页

）

A．2+3 B．

2－3 2+3

C．2－3 D． 22

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（）

A．

π5ππ5ππ2π

B． C．或 D．或 666633

π1

)= ，则cosα的值是． 63

4．若α是锐角，且sin(α－

π2π3π

5．coscoscos = ．

777

6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

π3π44

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2

5522π），求cos2α、cos2β的值．

tanα11

8．已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

23tanβ

【课后反馈2】

1．cos75°+cos15°的值等于（） A． 2．a=

6 6 2 2 B － C．－ D． 2222

2 2 （sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则（） 22

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c 1+sin2θ-cos2θ3．化简= ．

1+sin2θ+cos2θ

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

第 18 页共 41 页

ACAC

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值为．

2222

6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

参：

【课堂练习1】

1． C 2． B 3． B 4． 5．

25【课堂练习2】

12 2

1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ

222

【课后反馈1】

26 －11

1． C 2． C 3． A 4． 5． 6．略

6871

7． cos2α=－，cos2β=－1 8．

255【课后反馈2】

1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 3 6． sin2（A＋B）．

7. 1 8 .略．

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第4课三角函数的图象与性质（一）

【学习目标】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．【典型例题】例1 （1）函数ylg(1tanx)的定义域为

12sinx(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（）

ππ

A．α＞β B．α＜β C．α+β＜ D． α+β＞

1-tanx0,分析（1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正

1-2sinx0.周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanxπ3π

和y=sinx的图象先求出(－， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域

22ππ5π5π

为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+ ，或2kπ+ ＜ x＜2kπ+ ，k∈Z} ．

26π

分析（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cosβ转化成sin(

2－β)，运用y=sinx在［0，

］的单调性，便知答案为C． 2

【点评】（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2 判断下列函数的奇偶性： (1) ysinxcosx1sinxcosx； (2)y.

1cosx1sinxcosx 分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)

是否等于f(x)或－f(x) ．

解（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2 ，所以分

2母为偶函数，所以原函数是奇函数．

ππ

（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．

22 【点评】将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3 求下列函数的最小正周期：

sin2xsin(2x)ππ3. （1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ； (2) y63cos2xcos(2x)3第 20 页共 41 页



分析对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．

πππ1π

解（1）y=sin(2x－)sin(2x+ －)= sin(4x－)，

62623

2ππ

所以最小正周期为 = ．

1(cos2x)2（2）y=

1cos2x(cos2x)(sin2x)2sin2x(sin2x)tan2x33sin2x2=233cos2x223cos2x2 3sin2x233tan2x13tan(2x).  =

63tan2x31tan2x3π

∴是小正周期为．

【点评】求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．

53例4 已知函数f(x)=5sinxcosx－53cos2x+2 (x∈R) ．

(1)求f(x)的单调增区间；

（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．分析函数表达式较复杂，需先化简．

π51+cos2x53解 f(x)= sin2x－53×＋ =5sin(2x－)．

2232ππππ5π

（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－，kπ+］（k∈Z）为f(x)的单

2321212调增区间． ππ5π5πkk

（2）令2x－ =kπ+，得x= π+ （k∈Z），则x= π+ （k∈Z）为函数

32212212ππk

y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x－ =kπ，得x=π+ （k∈Z），∴ y=f(x)

326πk

图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．

【点评】研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论

y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．【注意】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个

第 21 页共 41 页

角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．【课堂练习】

1．若3 +2cosx＜0，则x的范围是． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是（）

ππππA．[，π] B．［0，］ C．［－π，0］ D． [，]

2442π

3．下列函数中，周期为的偶函数是（）

A．y=sin4x B． y=cos22x－sin22x C． y=tan2x D． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性

（1）y=xsinx+x2cos2x是函数；

（2）y=｜sin2x｜－xcotx是函数； 7π

（3）y=sin(+3x)是函数．

5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为．【课后反馈】

1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为（） ππππ

A．{x｜－＜x＜} B．{x｜－＜x＜｝

3366

ππππ

C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z} D．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z}

3366π

2．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有（）

2A．α＜β B． β＜α C． α+β＜

3π3π D． α+β＞ 22

3．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（）

A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命题中正确的是（）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

ππ

B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－，2kπ+），k∈Z

22C．函数y=

1－cos2x

的最小正周期是2π

sin2x

kππ

D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=＋，k∈Z

24xx

5．函数y=sin+cos在（－2π，2π）内的递增区间是．

226．y=sin6x+cos6x的周期为．

7．比较下列函数值的大小：

（1）sin2，sin3，sin4；

第 22 页共 41 页

(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（

ππ

＜θ＜）． 42

kπ

8．设f(x)=sin(x+) (k≠0) ．

(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，

函数f(x)至少有一个M与m．

第6课三角函数的图象与性质（二）

【学习目标】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【课堂练习】

1．将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象

对应的函数是（） A．y=cosx+1 B．y=cosx－1 C．y=－cosx+1 D．y=－cosx－1 2．函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是（）

11231C．（kπ，0）， k∈Z D．（kπ，0），k∈Z

A． (kπ，0)， k∈Z B．（kπ，0）， k∈Z

3．函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为（） πππ

A．x=－－ B．x=－ C．x= D．x=π

248

ππ

4．为了得到函数y=4sin(3x+)，x∈R的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点（）

A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．

5．要得到y=sin(2x－

3)的图象，只需将y=sin2x的图象（）

ππ

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

第 23 页共 41 页

ππ

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【典型例题】

例1 函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相

邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω

与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得 T=6π，所以

ω=．所以y=2sin(+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求

出，易得解析式为y=2sin( ＋）．

解略

【点评】 y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．

例2 右图为某三角函数图像的一段

y （1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 3 13ππ解：（1）T= O 3－ 3 =4π．

－3 2π1

∴ω=

T = 2 ．又A=3，由图象可知 2

π 313π 3x ππx

所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移而得到的． π

∴解析式为 y=3sin (x－)．

π1

(2)设（x，y)为y=3sin( x－）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关

π1

于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin( x－）关于直线x=2π对称的函

ππ11

数解析式是y=3sin［（4π－x)－］=－3sin( x＋）．

2626

【点评】 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右

|φ|

平移（φ＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数ω的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

例3 已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．

22(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

第 24 页共 41 页

π511+cos2x3 11

解 (1)y= · + · sin2x +1= sin(2x+)+ ．

22222

πππ7

当2x+ =2kπ+ ，即x=kπ+，k∈Z时，ymax= ．

π1

(2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标62

不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移

4个单位即可．

思考还有其他变换途径吗？若有，请叙述．

【点评】（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．【注意】

已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．【课后反馈】

1．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是（）

ππ

A．θ=2kπ+ B．θ=kπ+ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)

2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，

则所得函数图象对应的解析式为（）

332π2π

C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－

33)

3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成（）

A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x)

π1

4．y=tan(x－)在一个周期内的图象是（）

ππ

A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)

y 1 1 －1 x 23

y y y y

O O 5x 225274O x O x x   333336366363

B A C D

5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图

形面积是．

第 25 页共 41 页

6．将y=sin(3x－

6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+3）的图像．π

π4π1

7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得929

最小值－，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．

8．已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R．

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；

（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．

（1）求这段时间的最大温差； y 温度/ ℃ （2）写出这段曲线的函数解析式． 30

20 10 时间/h 6 10 14 第7课三角函数的最值

【学习目标】

掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．【课堂练习】

1．已知（1）cos2x=1.5 ；(2)sinx－cosx=2．5 ；(3)tanx+

π1

=2 ；(4)sin3x=－．上述tanx4

四个等式成立的是（）

A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3） 2．当x∈R时，函数y=2sin(2x+

5π

)的最大值为，最小值为，当x∈〔－， 2412π

〕时函数y的最大值为，最小值为 . 24

3．函数y=sinx－3 cosx的最大值为，最小值为． 4．函数y=cos2x+sinx+1的值域为．【典型例题】

第 26 页共 41 页

例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．分析由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．

解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+)+2

πππ

当2x+=2kπ+，即x=kπ+ (k∈Z)时，ymax=

428

2 +2 ．

【点评】要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=

a2+b2 sin（x+φ）．

πππ

例2 若θ∈［－, ］，求函数y=cos(+θ）+sin2θ的最小值．

12124 分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一

个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．

ππππ

解 y=cos(+θ)－cos［2(θ+)］=cos(+θ)－［2cos2(θ+)－1］

4444

πππ1π

=－2cos2(θ+)+cos(+θ)+1 =－2［cos2(θ+)－cos(θ+)］+1

44424

π129

=－2［cos(θ+)－］+ ．

448

∵θ∈［－

12, 12］， ∴θ＋4∈［6，3］．

πππππ

π13 －13

∴≤cos(θ+)≤， ∴y最小值 = ．

2224

【点评】（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或

g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．

例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

分析由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．

解令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t∈［－2 ，2 ］，

∴ymin= ，ymax=3+

2 ．

【点评】注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．【注意】

较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令

t2－1

sinx+cosx=t，则sinxcosx= ．

【课后反馈】

第 27 页共 41 页

1．函数y=A．1

的最大值是（）

2+sinx+cosx

2 2 2 2 －1 B．＋1 C． 1－ D．－1－ 2222

2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为（）

1111

C． 5，－ D． 7，－5 22

πsinx+1

3．当0≤x≤时，函数f(x)=

2 cosx+1的（）

A．最大值为2，最小值为 B．最大值为2，最小值为0

A．7，5 B． 7，－

C．最大值为2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值为0

4．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜时方程有解，则a的取值范围是（）

A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．（－∞，－）

4m－6

5．要使sinα－3 cosα= 有意义，则m的取值范围是．

4－m

6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在区间［0，］上的最大值为2 ，则ω= ．

三、解答题

7．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，

3］时函数y的最大值．

8．已知函数f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a＞0，求a，b

的值． π

9．已知函数f(x)=2cos2x+3 sin2x+a，若x∈［0，］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范围．

第8课解斜三角形

【学习目标】

掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．【课堂练习】

1．△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为． 2．在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．

3．在△ABC中，已知a=2 ，b=2，∠B=45°，则∠A等于（）

A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150° 4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为（）

第 28 页共 41 页

A．60° B． 90° C． 120° D． 150°

5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B到C航行，航向的方位角∠NBC=140°，A处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C处观测灯塔A的方位角∠N′CA=35°，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是（） A．106 km B．102 km

C．10(6 －2 ) km D．10（6 ＋2 ）km 【典型例题】

例1 在△ABC中，已知a=3，c=33 ，∠A=30°，求∠C及b C 分析已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．

解 ∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=＜a， ∴此题有两解．

133×

2csinA3 sinC= = = ， ∴∠C=60°，或∠C=120°．

a32

∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a2+b2 =6．

当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．

【点评】已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．

分析欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．

B N A N1b2+c2—a2a2+c2—b2

解方法一：由余弦定理，得 a·（

2bc）=b·（2ac），

∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a2－b2)(c 2－a2－b2)=0 ． ∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0． ∴a=b，或c2=a2+b2．

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB．

∴sin2A=sin2B． ∴2A=2B，或2A=π－2B．

∴A=B，或A+B=．

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

【点评】若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．

例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2， BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．分析四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需

B 第 29 页共 41 页

A O ·

求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程．解连结BD，则有四边形ABCD的面积

S=S△ABD+S△CDB=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC．

∵A+C=180°， ∴sinA=sinC．

故S=（2×4+6×4）sinA=16sinA．

在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC． ∴20－16cosA=52－48cosC．

∵cosC=－cosA， ∴cosA=－32，cosA=－．

又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．

【点评】注意两个三角形的公用边在解题中的运用． A 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米，下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．

b a C B P 分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB

最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之．

解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，则∠APB=θ为视角．

batan∠APC—tan∠BPCxx y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)= =1+ tan∠APC·tan∠BPCba1xx=

x+x

b—ab—aab

≤，当且仅当x= ab2ab x , 即x=ab 时，y最大．

ππ

由θ∈（0，）且y=tanθ在（0，）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．

22【点评】注意运用直角三角形中三角函数的定决解三角形的有关问题．

【注意】

运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用．【课后反馈】

1．△ABC中，tanA+tanB+3 =3 tanAtanB，sinAcosA=

，则该三角形是（） 4

A．等边三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形或直角三角形

2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为（） A．120° B．150° C．60° D．90°

第 30 页共 41 页

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．

6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=53 ，求c的长度．

7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小．

B 8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B ‘A O A 点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积．

【单元检测】

单元练习（三角函数）

（总分100分，测试时间100分钟）

一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．若角α满足sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若f(x)sinx是周期为π的偶函数，则f(x)可以是（） A．sin2x B． cosx C． sinx D． cox2x

m－34－2 mπ

3．若sinx=，cosx=，且x∈［，π］，则m的取值范围为（）

m+5m+52A．3＜m＜9 B． m=8 C． m=0 D． m=0或m=8 4．函数f(x)=log1 (sin2x+cos2x)的单调递减区间是（）

ππππ

A．（kπ－，kπ+）(k∈Z) B．（kπ－，kπ+）(k∈Z)

4888π3ππ5π

C．（kπ+，kπ+）(k∈Z) D．（kπ+，kπ+ ）(k∈Z)

88885．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 a+b+c

6．△ABC中，∠A=60°，b=1，其面积为3 ，则等于（）

sinA+sinB+sinC239 263 39

A．33 B． C． D．

332π

7．已知函数y=2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜）在一个周期

2内的函数图象如图，则（）

6ππ3ππA．T=，φ= B．T=，φ=

5424

－2 y 3π O 203π 4x －2 第 31 页共 41 页

C．T=3π，φ=－

ππ D．T=3π，φ= 44

8．将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y=1

4－2sin2x的图象，则f(x)可以是（）

A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx

9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a，b］上是增函数，且f(a)=－M，f(b)=M，则函

数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a，b］上（） A．是增函数 B．是减函数

C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M

10．在△ABC中，∠C＞90°，则tanA·tanB与1的关系适合（）

A．tanA·tanB＞1 B．anA·tanB＜1 C．tanA·tanB=1 D．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有（ A ）

θθθθA．cot＜tan B．tan＜cot

2222θθθθ

C．sin＞cos D．sin＜cos

2222

ππ

12．若sinα＞tanα＞cotα(－＜α＜}，则α∈ （）

ππππππ

A．（－，－） B．（－，0） C．（0，） D．（，）

244442二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上．

13．sin390°+cos120°+sin225°的值是． 14．

sin39°－sin21°

= ．

cos39°－cos21°

15．已知sinθ+cosθ= ，θ∈（０，π），cotθ的值是．

5π

16．关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题：

（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4·cos(2x－)；

6(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x)的图象关于点（－

，0）对称； 6

对称． 6

（4）y=f(x)的图象关于直线x=－

其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题序号都填上）．

三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终

2π

边经过点P（－1，2），求sin(2α+)的值．

第 32 页共 41 页

18．（本小题8分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1，α∈(0，)，求sinα、tanα的值．

19．(本小题9分)设f(x)=sin2x－asin2，求f(x)的最大值m．

παα

20．(本小题9分)已知α、β∈（0，），且3sinβ=sin(2α+β)，4tan =1－tan2，求α

422

+β的值．

21．（本小题9分）某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，

下面是某日水深的数据： T(时)

经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．（1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的，

某船吃水深度（船底离水面的距离）为6．5米，试求一天内船舶安全进出港的时间．

22．（本小题9分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c．若b2=ac，求y=

的取值范围．

1+sin2BsinB+cosB

0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y(米) 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0 13．0 10．1 7．0 10．0

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本章节答案（另附平面向量答案）

三角函数答案

第1课三角函数的概念

【课堂练习】 1．{α|α=kπ+ 5． C

【课后反馈】

16π

1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二

37．{2kπ+

π3π

＜x＜2kπ+π或2kπ+＜x＜2kπ+2π ，k∈Z} 8．负 9． 2cm2． 22

π512

，k∈Z} 2． A 3.－，－． 4．＋ 4135

第2课同角三角函数的关系及诱导公式

【课堂练习】

1． A 2． D 3． 4．sin2－cos2 5． A

7【课后反馈】

π107

1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6．略 7． 8．－ 353

第3课两角和与两角差的三角函数（一）

【课堂练习】

1． C 2． B 3． B 4． 5． 25【课后反馈】

第 34 页共 41 页

26 －11

1． C 2． C 3． A 4． 5． 6．略

6871

7． cos2α=－，cos2β=－1 8．

255

第4课两角和与两角差的三角函数（二）

【课堂练习】

12 2

1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ

222【课后反馈】

1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 3 6． sin2（A＋B）． 7. 1 8 .略．

第5课三角函数的图象与性质（一）

【课堂练习】

5π7π

1． 2kπ＋＜x ＜2kπ＋，k∈Z 2． B 3． B

6．（1）偶（2）偶（3）偶 5． kπ＋【课后反馈】

1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－

3ππ

, π) 6． 22π

，k∈Z 2

7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ

2π10π8．（1）M=1，m=－1，T= = （k≠0）．（2）k=32．

k | k | | |5

第6课三角函数的图象与性质（二）

【课堂练习】

1． D 2． B 3． B 4． B 5． D 【课后反馈】

1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，

ππ1

7． y= sin(3x+) 8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝；（2）将y=sinx的图象向左

263

ππ

平移，得到函数y=sin(x+）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到66

原来的2倍，得到函数y=2sin(x+）的图象．

π3π

9．（1）最大温差20℃；（2）y=10sin(x+）＋20，x∈[6，14]．

第7课三角函数的最值

【课堂练习】

第 35 页共 41 页

13 9

1． C 2． 2 ，－2 ，，－ 3． 2，－2 4． [0, ]

224【课后反馈】

1． B 2． D 3． A 4． A 5．－1≤m≤ 6．

7．+2 8．a=2, b=－2 9．－2＜a＜－1 2

第8课解斜三角形

【课堂练习】

1．钝角三角形 2． 5（6 + 2 ） 3． A 4． C 5． C 【课后反馈】

1． A 2． A 3． B 4． 8．设∠AOB=θ，θ=

ππ12

5． 6． 21 或61 7． 1363

5π53

时，S最大值 =2+

单元练习（三角函数）

一、选择题

1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．A 12．B 二、填空题 13．—

2 3

14．— 3 15．－ 16．（1）（3） 24

三、解答题 17．

4—33 13

18． sinα= ，tanα= 19．当a＜－4时，m=－a；当－4≤a≤41023

ππa2a

时，m= － +1；当a＞4时，m=0 20．α+β= 21．（1）y=3sin t+10；

16246（2）1时至5时，13时至17时 22． 1＜y≤2

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附：《平面向量》复习教案答案

第1课向量的基本运算

【课堂练习】

1．－2 a＋10 b. 2.－a－b 3.向北偏东60º走33km. 4.略 5. 提示：数形结合可知，当a与b共线且方向相同时，|a＋b|取最大值18；当a与b共线且方向相反时，|a＋b|取最小值2. 【课后反馈】

1．A 2. B 3. 22、2、0 4. x =

4323b＋a, y=a－b 5. k=－8 17171717→

6. A 7. 提示：可证一组对边对应向量相等. 8．A 提示：向量OP 是两个单位向量的→→→→→→

和. 9．提示: PA1 =PO +OA1 ,OA1 +OA2 +…＋OAn =0 证法参照例4.

222→→1→1→→

10．OP =a＋b, OQ =a＋c 提示：由PQ∶BC=2∶3 得AP =AB ,由OA 、

33333→→→→→→→→

OB 可求AB ，进而由AP 、OA 求得OP . 11．A 提示：PB 、PC 的和向量是PA 的相→→

反向量，且该向量经过 BC的中点，从而AP延长线过BC 中点. 12．提示：AE +DE =0 →→→→→→→→→→→→

BF +CF =0 EF =EA +AF =EA +AB +BF EF = ED +DC +CF 两式相加得证.

第 37 页共 41 页

第2课向量的坐标运算

【课堂练习】

1．（4，－2） 2．（－

3434，），（，－） 3. A 4. B 5.提示：（1）5555→→

证明 AB = DC . (2)共线.（可由平面几何知识证明AM∥CN，也可用学过的中点坐标公式及向量平行的充要条件证明）. 【课后反馈】

1．C 2. A 3. 2 4.（

525525，）（－，－） 5. D 6. D 7. B 5555→→→

8.（1，－2）. 提示：2AB =AC +DB 9．提示：β=（α+β）－α,2α+β=（α+β）→→

+α 将已知等式中的角进行变形，并证2tanα=tan（α+β）. 10.提示：PA 与PC 共线，→→→→PO 与OB 共线，可得关于x、y的方程组，解得P（3，3） 11．提示：（1）由OP = OA →→→→→→→

＋tAB 可得AP = tAB ，AP ∥AB ，又AP 、AB 都过A点，故A、P、B三点在同一条→

直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）OP =（1＋3t，2＋3t），若P在y轴上，则1＋3t=0，t=－

1.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可能为平3→→

行四边形，若用OA = PB 可列方程组，但方程组无解.

第3课平面向量的数量积

【课堂练习】

123，－）提示：由c·a=0得k= 5．提示：利

5555用模的性质，∣ka－2b∣2=（ka－2b）2=9k2－48k＋=169，解得k=7，或k=－.

31．B 2. C 3. B 4．（【课后反馈】

1. B 2. D 3. B 4. A 5. 2或73. 6.－ 7. 6 8. 0 9.

82第 38 页共 41 页

63 10. 略解： e12=4, e22=1, e1·e2=1,（2te1＋7e2）·（e1＋te2）=2t2＋15t＋7<0,651解得－72－

但 2te1＋7e2=λ（e1＋te2）（λ<0）时 t=－

14 此时两向量夹角为π 2∴t∈（－7,－

141421）∪（－,－） 11.略解：（1） a·b=cos45º= 222222 ,∣u∣min= 22（2） a2=1, b2=1, u2=t2＋2t＋1 t=－12. a=（2cos2

,2sincos）=2 cos（cos, sin） ∴θ1 = 2222222b=（2sin2,2sincos）=2 sin（sin, cos）∴θ2=－

222222221∵θ1－θ2= , ∴ －=－ ∴ sin=－

463222

第4课线段的定比分点、平移

【课堂练习】

1．C 2. A 3. C 4.（－【课后反馈】

148,0） 5.（1）（,）；（2）（8，－16） 255mm251

n）1．B 2. B 3.D 4.D 5.A 6.（, 7.y= －1 8．（1，）

x+22439．－

2141→→→→

10. 提示：设BC中点为D，则OD ∥OA ，且BC ⊥OA ，由此可解得C（,）.

55611. 提示：用待定系数法可解得a=2，b可取任意实数，即这样的一次函数不唯一，其共同特征是一次项系数为2，常数项可以是任意实数.

→→→→→→

12. BA λAC 即（1＋λ）OA =OB ＋λOC 将已知条件代入消去OA 得

→→→→→→

3（1＋λ）OB －2（1＋λ）OC =OB ＋λOC 因OB 、OC 不共线，故比较系数得

λ=－

2 3

第 39 页共 41 页

第5课平面向量的应用

【课堂练习】

1．①② 2．（1，－4） 3．6 km,向北偏东60º走33 km 4. 略 5.答：1

船的实际航行速度方向是北偏东arctan ，大小为25 km/h.

2【课后反馈】 1. A 2. FG2cos2； 0；θ=

2 提示：画示意图，用加法的平行四边形法则. 33. C 4. A 5. （2n＋1）i＋2nj 6. A 7.D 8.北偏东60º， 203 km/h. 9.

→→

2 10. 4.9N, f=p－ω , ,f′=－f=ω－p 11. 不能. 因AC ·BC =0 无解.

→→→→→→12. 提示：（1）由|AB |2=|OA |2+|OB |2－2OA ·OB 可得|AB |=7 km.（2）设th后，甲、

32→→

乙分别运动到P、Q，写出OP 、OQ ，并求得PQ =48t2－24t＋7.注意：要分0≤t与

4t>

31讨论.（3）利用配方法求最小值，得t=h时，两个质点之间相距最近 44单元练习（平面向量）

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B 11.C 12.A 二、填空题

365 13．－ 14．0 15.－ 16．－4，2，1 .

25三、解答题

17．答：船实际航行速度的大小为4 km/h, 方向与流速间的夹角为60º. →→

18.由 OF · FQ =1 ，得 OFFQ111 ，S=OFFQsintan cos22又由

31 < S < 得 1< tanθ <3 ,故  .

2432第 40 页共 41 页

19．设点M的坐标为(x,y)，则由PM得，（3，y3x得P（0，)，Q（，0），由HPPM0MQ，

322y3y（x，）=0，y2=4x. )·22 由点Q在x轴正半轴上，得x>0.所以动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.

→→→→

20. （1）AB =（3，1），AC =（2－m，－m），AB 与AC 不平行则m≠1 .

3→→

（2）AB · AC =0 m=

221．（1）只需证（a－b）·c=0

（2）将不等式两边平方得 k>2 或 k<0

22. 提示：（1）由 |c|≤10 ，及a·b = 0得－6≤ x ≤6 又由c⊥d 得 y =x3－3x

（2）单调增区间为[－6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1] 最大值为f（6）=36,最小值为f（－6）=－36 .

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