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专题训练九 解答题突破——几何综合题
1．如图1、AB是⊙O的直径、AB＝6、过点O作OH⊥AB交圆于点H、点C是弧AH上异于A、B的动点、过点C作CD⊥OA、CE⊥OH、垂足分别为D、E、过点C的直线交OA的延长线于点G、且∠GCD＝∠CED．
图1
(1)求证：GC是⊙O的切线； (2)求DE的长；
(3)过点C作CF⊥DE于点F、若∠CED＝30°、求CF的长．
2．如图2、已知△ABC内接于⊙O、且AB＝AC、直径AD交BC于点E、F是OE上的一点、使CF∥BD．
图2
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状、并说明理由； (3)若BC＝8、AD＝10、求CD的长．
3．(2016·丹东模拟)如图3、AB是⊙O的直径、点C在⊙O上、∠ABC的平分线与AC相交于点D、与⊙O过点A的切线相交于点E.
图3
(1)∠ACB＝__________°、理由是：________________________； (2)猜想△EAD的形状、并证明你的猜想； (3)若AB＝8、AD＝6、求BD．
4．(2016·临沂模拟)如图4、正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上、连接AD、
CF、此时AD＝CF、AD⊥CF成立．
(1)正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度、如图5、试判断AD与CF还相等吗？若
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成立、请证明；若不成立、请说明理由．
(2)正方形ODEF绕O点逆时针旋转、使点E旋转至直线l上、AD与OC的交点为G、如图6、求证：AD⊥CF.
(3)在(2)小题的条件下、当AO＝3、OD＝2时、求线段CG的长．
图4 图5 图6
5．如图7、现有一张边长为4的正方形纸片ABCD、点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合)、将正方形纸片折叠、使点B落在P处、点C落在G处、PG交DC于H、折痕为
EF、连接BP、BH.
图7
(1)求证：∠APB＝∠BPH； (2)求证：AP＋HC＝PH； (3)当AP＝1时、求PH的长．
参：
1．(1)证明：连接OC、交DE于M、如图3所示：
图3
∵OH⊥AB、CD⊥OA、CE⊥OH、 ∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°. ∴四边形ODCE是矩形．
∴∠DCE＝90°、DE＝OC、MC＝MD. ∴∠CED＋∠MDC＝90°、 ∠MDC＝∠MCD.
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∵∠GCD＝∠CED、∴∠GCD＋∠MCD＝90°、即∠OCG＝90°. ∴GC⊥OC、点C是⊙O上一点、∴GC是⊙O的切线； 1
(2)解：由(1)得：DE＝OC＝AB＝3；
2(3)解：∵∠DCE＝90°、∠CED＝30°、 ∴CE＝DE·cos∠CED＝3×
33 313 3＝.∴CF＝CE＝. 2224
1．(1)证明：连接OD、BD、
图1
∵AB是⊙O的直径、 ∴AB⊥BC、即∠ABO＝90°、 ∵AB＝AD、 ∴∠ABD＝∠ADB、 ∵OB＝OD、 ∴∠DBO＝∠BDO、
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO、 ∴∠ADO＝∠ABO＝90°、 ∴AD是半圆O的切线；
(2)证明：由(1)知、∠ADO＝∠ABO＝90°、
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD、 ∵AD是半圆O的切线、 ∴∠ODE＝90°、 ∴∠ODC＋∠CDE＝90°、 ∵BC是⊙O的直径、 ∴∠ODC＋∠BDO＝90°、 ∴∠BDO＝∠CDE、 ∵∠BDO＝∠OBD、 ∴∠DOC＝2∠BDO、 ∴∠DOC＝2∠CDE、 ∴∠A＝∠CDE； (3)解：∵∠CDE＝27°、
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∴∠DOC＝2∠CDE＝54°、 ∴∠BOD＝180°－54°＝126°、 ∵OB＝2、
126·π×27
∴BD的长＝＝π.
1805
2．(1)证明：∵AD是直径、∴∠ABD＝∠ACD＝90°.
AB＝AC，
在Rt△ABD和Rt△ACD中、
AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD.
∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC、∴BE＝CE. (2)解：四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径、AB＝AC、∴AD⊥BC、BE＝CE. ∵CF∥BD、∴∠FCE＝∠DBE.
∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中、BE＝CE，
∠BED＝∠CEF＝90°，∴△BED≌△CEF、∴CF＝BD. ∴四边形BFCD是平行四边形． ∵∠BAD＝∠CAD、∴BD＝CD. ∴四边形BFCD是菱形．
(3)解：∵AD是直径、AD⊥BC、BD＝CD、 ∴∠AEC＝∠CED＝90°、∠CAE＝∠DCE. ∴△AEC∽△CED.∴＝.∴CE＝DE·AE、 设DE＝x、∵BC＝8、AD＝10、∴4＝x(10－x)、 解得：x＝2或x＝8(舍去)
在Rt△CED中、CD＝CE＋DE＝4＋2＝2 5. 3．解：(1)∵AB是⊙O的直径、点C在⊙O上、 ∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)． (2)△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D、∴∠CBD＝∠ABE. ∵AE是⊙O的切线、∴∠EAB＝90°. ∴∠AEB＋∠EBA＝90°.
∵∠EDA＝∠CDB、∠CDB＋∠CBD＝90°、
2
2
2
2
2
ECAEEDCE2
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∵∠CBE＝∠ABE、∴∠AED＝∠EDA.∴AE＝AD. ∴△EAD是等腰三角形．
(3)解：∵AE＝AD、AD＝6、∴AE＝AD＝6. ∵AB＝8、∴在直角三角形AEB中、EB＝10. ∵∠CDB＝∠E、∠CBD＝∠ABE、∴△CDB∽△AEB.
AEDC63∴＝＝＝. ABBC84
∴设CB＝4x、CD＝3x、则BD＝5x、∴CA＝CD＋DA＝3x＋6、 在直角三角形ACB中、AC＋BC＝AB.
14222
即：(3x＋6)＋(4x)＝8、解得：x＝－2(舍去)或x＝.
2514
∴BD＝5x＝.
5
4．(1)解：AD＝CF.理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中、
2
2
2
AO＝CO、OD＝OF、∠AOC＝∠DOF＝90°、
∴∠AOC＋∠COD＝∠DOF＋∠COD. 即∠AOD＝∠COF、
AO＝CO，
在△AOD和△COF中、∠AOD＝∠COF，
OD＝OF，
∴△AOD≌△COF(SAS)．∴AD＝CF.
(2)证明：如图2、设AD与CF交于点H、CO与AD交于点G.
图2
∵△AOD≌△COF、 ∴∠OCF＝∠GAO. ∵∠CGH＝∠AGO、 ∴∠CHG＝∠GOA＝90°. ∴AD⊥CF.
(3)解：如图3、连接DF交OE于M、
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图3
1
则DF⊥OE、DM＝OM＝OE、
2∵正方形ODEF的边长为2、 由勾股定理得 ∴OE＝2
2
＋2
2
＝2.
1
∴DM＝OM＝OE×＝1.
2∴AM＝AO＋OM＝3＋1＝4. 在Rt△ADM中、tan∠DAM＝
DM1＝. AM4
1OG∴tan∠GAO＝tan∠DAM＝＝. 4OA1339∴OG＝OA＝.∴CG＝OC－OG＝3－＝.
44445．(1)证明：∵PE＝BE、∴∠EPB＝∠EBP.
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°、∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP. 即∠BPH＝∠PBC.
又∵四边形ABCD为正方形、∴AD∥BC.∴∠APB＝∠PBC. ∴∠APB＝∠BPH.
图4
(2)证明：过B作BQ⊥PH、垂足为Q、 由(1)知、∠APB＝∠BPH、 在△ABP与△QBP中、 ∠A＝∠BQP＝90°，
∠APB＝∠QPB，BP＝BP，
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∴△ABP≌△QBP(AAS)． ∴AP＝QP、BA＝BQ. 又∵AB＝BC、∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°、∴△BCH和△BQH是直角三角形． 在Rt△BCH与Rt△BQH中、
BC＝BQ，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL)．∴CH＝QH.∴AP＋HC＝PH. (3)解：由(2)知、AP＝PQ＝1、AD＝4、∴PD＝3.
设QH＝HC＝x、则DH＝4－x.在Rt△PDH中、PD＋DH＝PH、 即3＋(4－x)＝(x＋1)、解得x＝2.4、∴PH＝3.4.
2
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