判别式法求值域

在数学中，我们经常需要求出某个函数的值域。值域指的是函数所有可能的输出值的集合。对于一些简单的函数，我们可以通过手工计算或者画图来确定其值域，但对于复杂的函数，这种方法往往不太可行。因此，我们需要一些更加高效的方法来求解函数的值域。

判别式法就是一种常用的求解函数值域的方法。它适用于一些特定类型的函数，例如二次函数和分式函数等。下面我们就来详细介绍一下判别式法的具体思路和步骤。

一、二次函数的值域

二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。我们知道，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为 ( -b/2a , c - b^2/4a )。根据抛物线的性质，我们可以得到以下结论：

1. 当 a > 0 时，函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。

2. 当 a < 0 时，函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。

这个结论可以通过以下步骤来证明：

1. 当 a > 0 时，函数的图像开口向上，顶点为最小值。因此，函数的最小值为 c - b^2/4a。又因为二次函数的值域是连续的，所以函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。

2. 当 a < 0 时，函数的图像开口向下，顶点为最大值。因此，函数的最大值为 c -

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b^2/4a。同理可得函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。

二、分式函数的值域

分式函数是形如 y = f(x) / g(x) 的函数，其中 f(x) 和 g(x) 都是多项式函数，且 g(x) ≠ 0。分式函数的值域比较复杂，但我们可以通过以下步骤来求解：

1. 求出分式函数的零点。即求出方程 g(x) = 0 的解。这些解将构成分式函数的不可定义点和间断点。

2. 求出分式函数在不可定义点和间断点附近的极限。这些极限将决定分式函数的值域的边界。

3. 求出分式函数在定义域内的最大值和最小值。这些值将决定分式函数的值域的范围。

4. 根据以上结果，确定分式函数的值域。

下面我们通过一个具体的例子来演示一下如何使用判别式法求解分式函数的值域。

例：求解函数 y = (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) 的值域。

1. 求出不可定义点和间断点。

令分母为零，得到 x = 2。因此，函数在 x = 2 处不可定义。

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2. 求出极限。

当 x → 2+ 时，分子趋近于 0，分母趋近于 0+，因此函数的极限为 +∞。

当 x → 2- 时，分子趋近于 0，分母趋近于 0-，因此函数的极限为 -∞。

3. 求出最大值和最小值。

对于定义域内的 x，有：

y = (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)

= (x - 1)(x - 2) / (x - 2)

= x - 1

因此，函数的最大值为 +∞，最小值为 -∞。

4. 确定值域。

根据以上结果，我们可以得到函数的值域为 ( -∞ , -1 ] ∪ [ 2 , +∞ )。

总结

判别式法是一种常用的求解函数值域的方法。对于二次函数和分式函数等特定类型的函数，判别式法可以帮助我们快速而准确地求解其值域。当然，对于其他类型的函数，我

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们也可以使用其他方法来求解其值域。因此，我们需要不断学习和掌握各种求解函数值域的方法，以便更好地应对各种数学问题。

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