七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题练习题(含答案)

一、幂的运算易错压轴解答题 1．解答下列问题

（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值； （2）已知3m＝4，3n＝2，求 （3）若 2．我们约定 （1）试求 （2）想一想，

和

，求

，如: 的值; 是否与

相等，并说明理由.

的值；

的值．

.

3．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3， log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中， 3叫做以2为底8的对数，记为log2 8.一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则 叫做以a为底b的对数，记为logab ，即 logab＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：

（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________， （2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法： 设log1025=x， log104=y ∴ 10x=25 10y=4

∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102 ∴ x+y=2

∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想logaM+ logaN等于多少，请证明你的猜想. 4．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果ac＝b，那么a※b＝c． 例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0． （1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※ ＝________．

（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30． 5．整式乘法和乘法公式 （1）计算：（﹣x）2（2y）3

（2）化简：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2

（3）如果（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，求下面式子的值：（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2

（4）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ， 则（a﹣b）3＝________.

6．规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如

，

等．类比有理数的乘方，

记作

（

④ ， 读作“ 的圈4次方”，一般地，我们把

）记作 ⓝ ， 读作“a的圈n次方”．

④=________.

④=

=

（1）直接写出计算结果：2③= ________，

（2）有理数的除方可以转化为乘方幂的形式.如

=

形式：

=

，直接将下列的除方形式写成乘方幂的

④=________；5ⓝ=________．

．

（3）计算： 7．计算： （1）（2）

8． 算一算，填一填.

=________．

=________．

（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）2

﹣

= ，由上述计算，我

们发现（ ）2________（ ）2

﹣

（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与

之间的关系．

（3）我们可以发现：（ ）（4）计算：（ ）2 ．

﹣

﹣m

________

（ab≠0）．

9．我们规定：a*b=10a×10b ， 例如3*4=103×104=107 ． （1）试求12*3和2*5的值；

（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论． 10．阅读理解： 乘方的定义可知：

（ 个 相乘）．观察下列算式回答问题：

（7个3相乘） （7个4相乘）

（7个5相乘）

（1）（2）（3）计算： 11．综合题。

（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值． （2）若26=a2=4b ， 求a+b值．

12．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an ， 如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．

（1）计算下列各对数的值：log24=________；log216=________；log2=________． （2）观察（1）中三数4、16、之间满足怎样的关系式，log24、log216、log2之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义说明上述结论．

________； ________；

．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、幂的运算易错压轴解答题

1．（1）解：∵2x＝3，2y＝5， ∴2x+y=2x×2y =3×5 =15

（2）解：∵3m＝4，3n＝2， ∴ = = =16÷8×3 =6

（3）解： =

解析： （1）解：∵2x＝3，2y＝5， ∴2x+y=2x×2y =3×5 =15

（2）解：∵3m＝4，3n＝2， ∴ = =16÷8×3 =6 （3）解： = = = ∵ ∴

， ，

=

∴原式=2×2+29=33．

【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法、除法法则计算即可；（3）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再由

可得

，代入计算即可．

2．（1）解：根据题中的新定义得： 1012 脳 103=1015； （2）解：相等，理由如下： ∵ ∵ ∴ =

【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则 ，直接计算

解析： （1）解：根据题中的新定义得：

1012

103=1015；

（2）解：相等，理由如下： ∵ ∵ ∴

=

，直接计算可

【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则 得答案； （2）根据

，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案.

3．（1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N）， 证明：设logaM=x， logaN=y

∴ ax=M， ay=N ∴ ax+y=ax×a

解析： （1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N）， 证明：设logaM=x， logaN=y ∴ ax=M， ay=N ∴ ax+y=ax×ay=M·N ∴loga（M·N）= x+y

∴logaM+ logaN =x+y= loga（M·N） 【解析】【解答】解：（1）∵ 故答案为：0；5；6.

【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设logaM=x， logaN=y，根据对数的定义可得ax=M， ay=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得ax+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.

，

，

，

∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6

4．（1）3；-4

（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30，

4x×4y＝4x+y＝30，

∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【

解析： （1）3；-4

（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30， 4x×4y＝4x+y＝30，

∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3， 24＝ ，2※ ＝﹣4，

﹣

故答案为：3；﹣4

【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．

5．（1）解：（﹣x）2（2y）3

＝x2•8y3 ＝8x2y3

（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2 ＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1 ＝a2+

解析： （1）解：（﹣x）2（2y）3 ＝x2•8y3 ＝8x2y3

（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2 ＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1 ＝a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1 ＝4a2

（3）解：（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，

∵（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项， ∴

，得

，

当a＝﹣1，b＝1时， （a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2 ＝（﹣1+2×1）（﹣1+1）﹣2（﹣1+1）2 ＝1×0﹣2×02 ＝0﹣0 ＝0

（4）a3﹣3a2b+3ab2﹣b3

【解析】【解答】（4）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ，

∴[a+（﹣c）]3＝a3+3a2•（﹣c）+3a•（﹣c）2+（﹣c）3＝a3﹣3a2c+3ac2﹣c3 ， ∴（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 ， 故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.

【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方即可解答本题；（2）根据完全平方公式和平方差公式即可解答本题；（3）根据（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；（4）根据（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 ， 可以求得所求式子的结果.

6．（1）12；4 （2） 2； （3）.解：

【解析】【解答】2③=2÷2÷2=12；（-12）④=.

【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）根据乘方和除方是互逆运算即可解题；（3）利

解析： （1）；4 （2）

2；

（3）.解：

【解析】【解答】2③=2÷2÷2=；（-）④=.

【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）根据乘方和除方是互逆运算即可解题；（3）利用上一问结论直接代入解题即可.

7．（1）(x-y)5 （2）

【解析】【解答】（1）原式= = ； （2）原式= = ． 故答案为： ．

【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）将多

解析： （1）（2）

=

=

．

；

．

【解析】【解答】（1）原式= （2）原式= 故答案为：

【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）将多项式的每一项分别除以2x2即可.

8．（1）= （2）解： （3）=

（4）解：（ 715 ）﹣2=（ 157 ）2= 22549

【解析】【解答】解：（1）我们发现（ 23 ）2=（ 32 ）﹣2；故答案为：=；（3

解析： （1）= （2）解：

（3）=

（4）解：（ ）2=（ ）2=

﹣

﹣

【解析】【解答】解：（1）我们发现（ ）2=（ ）2；故答案为：=；（3）我们可以发现：（ ）

﹣m

=

（ab≠0）．故答案为：=；

【分析】本题为观察总结规律题型，细心运算即可.

9．（1）解：12*3=1012×103=1015 ， 2*5=102×105=107 （2）解：不相等．

∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= 1010a+b ×10c= 1

解析： （1）解：12*3=1012×103=1015 ， 2*5=102×105=107 （2）解：不相等．

∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= a*（b*c）=a*（10b×10c）=a*10b+c=10a× ∴（a*b）*c≠a*（b*c）

【解析】【分析】（1）依据定义列出算式，然后再依据同底数幂的乘法法则进行计算即可，最后，再进行比较即可；（2）首先依据定义进行进行计算，然后，依据计算结果进行判断即可.

×10c= =

， ，

10．（1）20177 （2）m7

（3）解：原式=（-2）2016+2017 ， =（-2）4033 ， =-24033.

【解析】【

解析： （1）

（2）

（3）解：原式=（-2）2016+2017 ， =（-2）4033 ， =-24033.

【解析】【解答】解：（1）原式=20172+5 ， =20177. （2）原式=m2+5 ， =m7.

【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案. （2）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案. （3）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案.

11．（1）解：（1）∵2x+5y﹣3=0， ∴2x+5y=3，

∴4x•32y=22x•25y=22x+5y=23=8；

（2）解：∵26=a2=4b ， ∴（23）2=a2=（22）b

解析： （1）解：（1）∵2x+5y﹣3=0， ∴2x+5y=3，

∴4x•32y=22x•25y=22x+5y=23=8； （2）解：∵26=a2=4b ， ∴（23）2=a2=（22）b=22b ， ∴a=±8，2b=6， 解得：a=±8，b=3， ∴a+b=11或﹣5．

【解析】【分析】（1）直接幂的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；（幂的乘方运算法则将原式变形进而求出答案．

12．（1）2；4；6 （2）解：∵4×16=， ∴log24+log216=log2

（3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵

解析： （1）2；4；6 （2）解：∵4×16=，

2）直接利用∴log24+log216=log2 （3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵

=m， =m+n，

∴ ∴

+ +

= =

， =n，

【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log2=6， 故答案为：2；4；6；

【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，之间满足的关系式为：log24+log216=log2．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M=am ， N=an ， 再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．