【数学】向量积-法向量的叉乘求法

技能加点 向量叉乘的巧记

向量叉乘的巧算方法

ab=(ax， ay， az)(bx， by， bz)

ax ay az ax ay azbx by bz bx by bzaybzazbyaybzazbyaybzazby

【两次排列，掐头去尾，主副相减，顺次而写】

知识精核 向量积，数学中又称为外积、叉积，武力值称矢积（矢量的积）、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算. 与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量. 并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直. 基本概念

两个向量a和b的叉积写作ab（有时也被写成a^b，避免和字母x混淆） 定义

向量积可以被定义为：

模长：（在这里表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤≤108°），它位于这两个矢量所定义的平面上.）

|ab|=|a||b|sin

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则.（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若

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数学是对事物抽象结构与模式严格描述的一种手段

坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖直的大拇指指向是c的方向） 也可以这样定义（等效）：

向量积：|c|=|ab|=|a||b|sina， b. 即c的长度在数值上等于以a，b， 夹角为组成的平行四边形的面积.

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定. （运算结果c是一个伪向量，这是因为在不同的坐标系中c可能不同） 推导：法向量的叉乘法

由向量积的定义可知，c的方向垂直于a与b所决定的平面，故c是a与b所决定的平面的法向量，故可以用n代替c，故n=ab..

a×bn b×aa=a×bbθ大小n=ab，|n|=|ab|=|a||b|sin，

方向建立单位向量坐标系：

kii=0 (|ii|=|i||i|sin=0)， 同理：jj=0，kk=0.

iOjij=k，ji=−k，（右手定则判断正负） ik=−j，ki=j， jk=i，kj=−i.

ay， az)，b=(bx， by， bz)，可在单位向量坐标系中表示为： 设a=(ax，a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk， a与b所确定平面的法向量n=ab，

ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)

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=axi(bxi+byj+bzk)+ayj(bxi+byj+bzk)+azk(bxi+byj+bzk) =axbxii+axbyij+axbzik+aybxji+aybyjj+aybzjk +azbxki+azbykj+azbzkk

=axbyi−axbzj−aybxk+aybzi+azbxj−azbyi

=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(azby−aybx)k

n=(aybz−azby， azbx−axbz， axby−aybx). 故得法向量的坐标. 推广至常用坐标模型，即

a=(x1，， z1x2−z2x1， y2， y1 z1)，b=(x2， x1y2−x2y1). z2)，则n=(y1z2−y2z1，外积与内积的区别

注：向量积向量的积（向量的积一般指点乘） 一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）

向量积（矢积）与数量积（标积）的区别

名称 标积/内积/数量积/点积 矢积/外积/向量积/叉积 运算式 ab=|a||b|cos 向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积 ab=c，其中|c|=|a||b|sin，c的方向遵守右手定则 几何意义 c是垂直a，b所在平面，且以|b|sin为高，|a|为底的平行四边形的面积 矢量（常用于物理） 向量（常用于数学） 运算结果的区别 标量（常用于物理） 数量（常用语数学） 性质

几何意义及其运用

叉积的长度|ab|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积. 据此有：混合机[abc]=(ab)c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积. 代数规则：

1. 反交换律：ab=−ba；

2. 加法的分配律：a(b+c)=ab+ac；

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3. 与标量乘法兼容：(ra)b=a(rb)=r(ab)；

4. 不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a(bc)+b(ca)+c(ab)=0. 5. 两个非零向量a和b平行，当且仅当ab=0. 拉格朗日公式

(ab)c=b(ac)−a(bc) a(bc)=b(ac)−c(ab)

典例分析 法向量的叉乘求法

例题：已知a=(1 5 6)，求a，b所在平面的一个法向量. ，， 2 3)，b=(4，，

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