北京市延庆县2013届高三数学3月一模统考试题 理

数学（理科）

本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A{1,3,m}，B{1,m}，ABA，则m

A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3

log4x,x01f(x)xf[f()]3,x0162.已知函数，则

11A. 9 B.9 C.9 D.9

3. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是

A．420 B．560 C．840 D．20160

2C:4sin30的圆心坐标为 4.在极坐标系下，圆

(2,)(2,)(2,0)(2,)2 2A. B. C. D.

x2y221(a0,b0)22y16x的焦点ab25.已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线

相同，则双曲线的渐近线方程为

333yxyxyx3 D．y3x 2 C．2 B．A．

6.已知直线l1:ax(a1)y10，l2:xay20，则“a2”是“l1l2” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A.2 B. 22 C.3 D. 23

8.已知函数f(x)axbx2(a0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则 A．当a0时，x1x20，x1x20 B. 当a0时，x1x20，x1x20

32（7题图）

1

C. 当a0时，x1x20，x1x20 D. 当a0时，x1x20，x1x20 第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知|a|1，|b|2，向量a与b的夹角为60，则|ab| .

2z(mm2)(m1)i（为虚数单位）为纯虚数， 10. 若复数

其中mR，则m .

11. 执行如图的程序框图，如果输入p6，则输出的S . 12.在ABC中，a,b,c依次是角A,B,C的对边，且bc.

a2,c23,A若

6，则角C .

13.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O， 交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.

BEBC则 .

（13题图）

2 ] 4 0 [0,414. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线（14题段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后(n1)，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f(n)，

则f(3) ；f(n) .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）

2f(x)3sin2x2sinx. 已知

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

x[0,]6，求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值． （Ⅱ）若

2

16.（本小题满分14分）

P  如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，ABC60，侧面PAB是边长为2的

正三角形，侧面PAB底面ABCD.

(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD； （Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角

MA Q B D

C CMMBDC的大小为60，求CP的值.

17. （本小题满分13分）

空气质量指数PM2.5 (单位:g/m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

甲城市 乙城市

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均

3 0 2 2 4 3 2 0 4

浓度指数数据如茎叶图所示:

4 8 9 6 5 5

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内

6 1 5 1 6 4

哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)

7 8 7 6 9 7

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 8 8 0 7 8 2 3 0 空气质量类别均为优或良的概率；

9 8 9 1 8 0 9

, (Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数求X的分布列及数学期望. 18. （本小题满分13分）

3f(x)2a2lnx已知函数

12xax(aR). 2(Ⅰ) 讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)在区间[1,e]的最小值. 19. （本小题满分14分）

1已知动点P(x,y)与一定点F(1,0)的距离和它到一定直线l:x4的距离之比为2.

3

(Ⅰ) 求动点P(x,y)的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知直线l:xmy1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l:x4的垂线，垂足依次为点D、E.连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 20. （本小题满分13分）

A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：

(1)对任意x[1,2]，都有(2x)(1,2) ；

(2)存在常数L(0L1)，使得对任意的x1,x2[1,2]，都有|(2x1)(2x2)|

L|x1x2|.

3(x)1x,x[2,4]，证明：(x)A； (Ⅰ)设

(Ⅱ)设(x)A，如果存在(Ⅲ)设(x)A，任取

x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么这样的x0是唯一的；

xn(1,2)，令xn1(2xn),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意Lk1xk||x2x1|1L成立.

的正整数p,不等式

|xkp

高三数学（理科答案） 2013年3月

一、选择题：(5840)

B B C D D A D B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

31171203229. 10. 11. 12. 13.2 1357j,,,nn2j[1,2]中的所有奇数） 2222214.； （这里为三、解答题：(5630)

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3sin2xcos2x1

4

2sin(2x

6)1 „„„„4分

T22，f(x)最小正周期为. „„„„5分

 由

22k2x622k(kZ)，得 „„„„6分



22k2x2k33 „„„„7分



3kx6k „„„„8分

f(x)单调递增区间为

[3k,6k](kZ). „„„„9分

x[0,]2x[,]6时，662， „„„„10分 （Ⅱ）当

[0,]

f(x)在区间6单调递增， „„„„11分

[f(x)]minf(0)0，对应的x的取值为0. „„„„13分

16.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，所以PQAB，

因为侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，PQ侧面PAB， 所以PQ平面ABCD. „„„3分（Ⅱ）连结AC，设ACBDO，建立空间直角坐标系Oxyz，

则O(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(3,0,0)，

P(31,,3)22，„„„5分

PD(331,,3)mABCD22,平面的法向量(0,0,1)，

设斜线PD与平面ABCD所成角的为，

5

m·PDsin|cosm,PD||||m||PD|则

33010271344. „„„8分

（Ⅲ）设CMtCP(3333t,t,3t)(t,t1,3t)222，则M2，

BM(33t3,t1,3t)22，DB23(1,0,0)， „„„10分

n(x,y,z)nDBn·DB0x0， MBD设平面的法向量为，则

33(t3)x(t1)y3tz0nMBn·MB022，

6tn(0,,3)mz3ABCD3t2取，得，又平面的法向量(0,0,1)„„„12分

31m·n6t22|||cosm,n||cos60|3()|m|n|3t2所以，所以，

解得t2（舍去）或

t2CM25.所以，此时CP5. „„„14分

17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. „„„2分

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优

102153， 或良的概率为

„„„4分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的

51概率为153，

„„„6分

212339. 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

„„„8分

(Ⅲ)X的取值为0,1,2，

„„„9分

6

2011C50C10C52C10C5C101032P(X0)P(X1)P(X0)222C1521，7，21 C15C15X的分布列为：

X P

0

37 1021 2 221

„„„13分

31022EX012721213 数学期望

18. （本小题满分13分）

解：函数f(x)的定义域为(0,)，

„„„1分

x2ax2a2(x2a)(xa)f(x)xx(Ⅰ)， „„„4分

（1）当a0时，f(x)x0，所以f(x)在定义域为(0,)上单调递增； „5分

（2）当a0时，令f(x)0，得x12a（舍去），x2a， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：

此时，f(x)在区间(0,a)单调递减， 在区间(a,)上单调递增；

„„„7分

（3）当a0时，令f(x)0，得x12a，x2a（舍去）， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：

此时，f(x)在区间(0,2a)单调递减， 在区间(2a,)上单调递增.

„„„9分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知当a0时，f(x)在区间(0,2a)单调递减，在区间(2a,)上单调递增.

„„„10分

（1）当2ae，即

ae2时，f(x)在区间[1,e]单调递减，

7

1[f(x)]minf(e)2a2eae22； „„„11分 所以，

e1a2时，f(x)在区间(1,2a)单调递减， （2）当12ae，即22[f(x)]f(2a)2aln(2a)，„„„12分 (2a,e)min在区间单调递增，所以

1a02a12（3）当，即时，f(x)在区间[1,e]单调递增，

[f(x)]minf(1)a12.

所以

„„„13分

19. （本小题满分14分）

22(x1)2y21xy1|x4|23解：(Ⅰ)由题意得，化简并整理，得 4.

x2y21P(x,y)C43所以动点的轨迹的方程为椭圆. „„„3分

3333A(1,)B(1,)D(4,)E(4,)2、2 2、2，（Ⅱ）当m0时，

直线AE的方程为：2x2y50，直线BD的方程为：2x2y50，

55x,y0(,0)2方程联立解得，直线AE、BD相交于一点2. 5(,0)假设直线AE、BD相交于一定点N2. „„„5分

证明：设A(my11,y1)，B(my21,y2)，则D(4,y1)，E(4,y2)，

xmy12xy2122(3m4)y6my90，显然0， 43x由消去并整理得

y1y26m9yy123m24. „„„7分 3m24，

由韦达定理得

33NA(my1,y1)NE(,y2)22因为，，

8

333(my1)y2y1my1y2(y1y2)222所以 9m36m3m2423m24 0 „„„11分

所以，NA//NE，所以A、N、E三点共线， „„„12分

5(,0)同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N2.14分

20. （本小题满分13分）

3解：(Ⅰ)对任意x[1,2]，(2x)12x,x[1,2]，

33(2x)35，133352，所以(2x)(1,2).

对任意的x1,x2[1,2]，

|(2x1)(2x2)||x1x2|32312x12312x11x231x2，

2312x123312x11x231x2，

22所以0＜

12x12312x11x231x222223，

令

312x1312x11x21x23＝L，0L1，

|(2x1)(2x2)|L|x1x2|，所以(x)A. „„„5分

(Ⅱ)反证法:设存在两个

(1,2),x0x0(2x0)x0,x0x(2x0)，x0使得0则

//|(2x0)(2x0)|L|x0x0|，得|x0x0|L|x0x0|，所以L1，

由

矛盾，故结论成立. (Ⅲ)

，

„„„8分

//x3x2(2x2)(2x1)Lx2x1|xn1xn||(2xn)(2xn1|

所以

n1L|xnxn1|L2|xn1xn2|L|x2x1| „„

|xkpxk||(xkpxkp1)(xkp1xkp2)„„

(xk1xk)|

9

xkpxkp1xkp1xkp2xk1xk

kp2kp3k1LxxLxxLx2x12121＋„+

Lk1(1Lp)Lk1|x2x1||x2x1|1L1L. „„„13分

10