2020-2021学年湖南省湘中部分学校高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖南省湘中部分学校高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥>1}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}，则𝐴∪𝐵=( )

A. {𝑥|−1<𝑥<2} C. {𝑥|−1<𝑥<1}

1

1

B. {𝑥|𝑥>−1} D. {𝑥|1<𝑥<2}

2. 若𝑎<𝑏<0，则下列不等式成立的是( )

A. 𝑎−𝑏>𝑎𝑏 B. 𝑎−𝑏<𝑎𝑏

𝜋

C. 𝑏−𝑎>𝑎𝑏 D. 𝑏−𝑎<𝑎𝑏

3. 将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象向左平移6个单位长度后得到曲线𝐶1，再将𝐶1上所有点的横

坐标伸长到原来的2倍得到曲线𝐶2，则𝐶2的解析式为( )

A. 𝑦=sin(𝑥+3) C. 𝑦=sin(𝑥−3)

𝜋

𝜋

B. 𝑦=sin(𝑥+6) D. 𝑦=sin(4𝑥+3)

𝜋

𝜋

4. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=1，

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D是BC边上一点，且⃗⃗⃗⃗⃗ 则⃗𝐶𝐷=2⃗𝐷𝐵𝐴𝐷𝐵𝐶的值为( )

A. 2 B. 1 C. −2 D. −1

5. 已知复数𝑧=1+𝑖，则|𝑧2−1|=( )

A. 5 B. 2√5 C. √5 D. 2

6. 如图，已知等腰三角形△𝑂′𝐴′𝐵′，𝑂′𝐴′=𝐴′𝐵′是一

个平面图形的直观图，斜边𝑂′𝐵′=2，则这个平面图形的面积是( )

2

A. √2

B. 1 C. √2 D. 2√2

7. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地

了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

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则下面结论中不正确的是( )

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，点D在线段BC的延长线上，若𝐵𝐶点O在线段CD上，8. 已知在△𝐴𝐵𝐶中，

⃗⃗⃗ ，则实数t的取值范围是( ) 若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑂=𝑡⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+(1−𝑡)⃗⃗𝐴𝐶

A. −3≤𝑡≤0

1

B. 1≤𝑡≤3

4

C. −3≤𝑡≤3

11

D. 0≤𝑡≤3

1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )

A. 𝑦=−𝑥

1

B. 𝑦=𝑥 C. 𝑦=𝑥2

D. 𝑦=(2)𝑥

1

1

𝑓(𝑥)的零点为−2，函数𝑓(𝑥)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，则( ) 10. 如图，

A. 函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓(4)⋅lg2有3个零点 B. 𝑓(|𝑥|)≥log84恒成立 C. 函数ℎ(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−

25

𝑓(4)4

3

有4个零点

D. 𝑓(𝑥+12)≥𝑓(𝑥)恒成立 11. 下列说法中正确的是( )

A. 若事件A与事件B是互斥事件，则𝑃(𝐴∩𝐵)=0 B. 若事件A与事件B是对立事件：则𝑃(𝐴∪𝐵)=1

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C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”

是对立事件

D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲

分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件

12. 点M是正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中侧面正方形𝐴𝐷𝐷1𝐴1内的一个动点，则下面结论

正确的是( )

A. 满足𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1的点M的轨迹为线段

B. 点M存在无数个位置满足直线𝐵1𝑀//平面𝐵𝐶1𝐷

C. 在线段𝐴𝐷1上存在点M，使异面直线𝐵1𝑀与CD所成的角是30° D. 若正方体的棱长为1，三棱锥𝐵−𝐶1𝑀𝐷的体积的最大值为3

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

1

13. 若关于x的不等式𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2<0的解集是(1,𝑚)，则𝑚=______． 14. 若幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象经过点(9,3)，则𝑓(25)的值是______．

3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是______． 15. 从2个男生、

1

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3√2，∠𝐵𝐴𝐶=135°，M是△𝐴𝐵𝐶所在平面上的动点，

则𝑤=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

⃗ |=4，|⃗ 17. 已知|𝑎𝑏|=3，(2𝑎⃗ −3⃗ 𝑏)(2𝑎⃗ −⃗ 𝑏)=43．

⃗ 的夹角𝜃； (1)求𝑎⃗ 与𝑏(2)求|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|．

18. 在△𝐴𝐵𝐶中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知

(1)求角B的值；

(2)若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，且𝑐=2，求△𝐴𝐵𝐶的面积S的取值范围．

𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶

=𝑎+𝑏．

𝑎−𝑐

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19. 已知关于x的方程𝑥2−𝑝𝑥+25=0(𝑝∈𝑅)在复数范围内的两根为𝑥1、𝑥2．

(1)若𝑝=8，求𝑥1、𝑥2； (2)若𝑥1=3+4𝑖，求p的值．

高中学生1200人．为了解全校学生本学期开学以来(6020. 某中学有初中学生1800人，

天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，得其频率分布直方图如图所示．

(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少；

(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

(3)国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

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21. 如图1，在直角梯形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，且𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐶𝐷=1.现以

AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使𝐸𝐷⊥𝐷𝐶，如图2．

1

(1)求证：𝐵𝐶⊥平面BDE；

(2)若多面体ABCDEF的体积为3，求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．

2

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⃗ =(𝑠𝑖𝑛𝑥,1)，⃗ 22. 已知向量𝑎𝑏=(1,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑥∈𝑅，设𝑓(𝑥)=𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏．

(1)求函数𝑓(𝑥)的增区间；

𝜋2(2)若𝑓(𝜃+)=√，𝜃∈(0,2)，求𝑓(𝜃−4)的值．

43

𝜋

𝜋

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵集合𝐴={𝑥|𝑥>1}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}}， 作图可得，

由图可得𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥>−1} 故选：B．

根据并集的求法，结合已知中集合A，B，做出数轴协助分析，即可得到答案． 本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解．

2.【答案】D

【解析】解：由𝑎<𝑏<0，

B，𝑏<0，𝑎>𝑏，𝑎−𝑏>0，对于A、因为𝑎<𝑏<0，则𝑎<0，从而𝑎𝑏>0，即𝑎𝑏>0，则可取𝑎𝑏=1，即𝑎−𝑏=𝑎𝑏，故A、B错误，

对于C、D，因为𝑎<𝑏<0，则𝑎<0，𝑏<0，从而𝑎𝑏>0.又𝑏−𝑎>0，即𝑎𝑏>0，则𝑎−𝑏>0，所以𝑏−𝑎<0<𝑎𝑏，故D正确，C错误． 故选：D．

根据不等式的性质即可判断．

本题考查了不等式的性质，属于基础题．

1

1

1

1

𝑎−𝑏

𝑎−𝑏

1

1

𝑎−𝑏

1

1

3.【答案】A

𝑦=sin(2𝑥+【解析】解：将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象向左平移6个单位长度后得到曲线𝐶1：

𝜋3

𝜋

)的图象；

𝜋

再将𝐶1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线𝐶2：𝑦=sin(𝑥+3)的图象， 故选：A．

由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．

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本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．

4.【答案】C

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +1(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷𝐵𝐶=(𝐴𝐵𝐵𝐷𝐵𝐶=(𝐴𝐵𝐵𝐶)⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=[𝐴𝐵𝐴𝐵)]⋅【解析】解：⃗33

11

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )=1(1−8+(𝐴𝐶𝐴𝐵)=3(𝐴𝐶𝐴𝐵)⋅(𝐴𝐶𝐴𝐵)=3(𝐴𝐶𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶3

2

2

2𝑐𝑜𝑠60°)=−2， 故选：C．

利用平面向量的加减法结合平面向量的数量积定义计算即可．

本题考查平面向量加减运算及数量积运算，考查数算能力，属于中档题．

5.【答案】C

【解析】解：由复数𝑧=1+𝑖， 得𝑧2−1=(1+𝑖)2−1=2𝑖−1． ∴|𝑧2−1|=√22+(−1)2=√5， 故选：C．

把𝑧=1+𝑖代入𝑧2−1计算可得答案．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

6.【答案】D

【解析】解：∵𝑅𝑡△𝑂′𝐴′𝐵′是一平面图形的直观图，斜边𝑂′𝐵′=2， ∴直角三角形的直角边长是√2， ∴直角三角形的面积是2×√2×√2=1， ∴原平面图形的面积是1×2√2=2√2， 故选：D．

根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2√2倍，得到结果．

本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角

1

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形的面积，是一个基础题．

7.【答案】A

【解析】 【分析】

本题主要考查扇形图的应用，数据的推断与分析，考查发现问题解决问题的能力，属于基础题．

设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，通过选项逐一分析，即可推出结果． 【解答】

解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入增长37%×2𝑎−60%𝑎=14%𝑎>0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2𝑎=10%𝑎， 建设前，其他收入为4%𝑎， 故10%𝑎÷4%𝑎=2.5>2， 故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×2𝑎=60%𝑎， 建设前，养殖收入为30%𝑎， 故60%𝑎÷30%𝑎=2， 故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 (30%+28%)×2𝑎=58%×2𝑎， 经济收入为2a，

故(58%×2𝑎)÷2𝑎=58%>50%， 故D项正确．

因为是选择不正确的一项， 故选A．

8.【答案】A

【解析】

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【分析】

本题考查平面向量的基本定理，考查向量的线性运算，属于基础题．

根据点O在线段CD上，所以存在实数y使得⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑂=𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷，0≤𝑦≤1，然后由向量的加

𝑦𝑦

⃗⃗⃗ ，再结合题意可得𝑡=−𝑦，即可得解． 𝐴𝑂=−3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+(1+3)⃗⃗𝐴𝐶减运算可得⃗⃗⃗⃗⃗ 3

【解答】

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑦𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤𝑦≤1， 解：因为点O在线段CD上，所以存在实数y使得𝐶𝑂

⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ +𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ ∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑂=⃗⃗𝐴𝐶𝐶𝑂=⃗⃗𝐴𝐶𝐶𝐷 𝑦⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗𝐴𝐶𝐵𝐶

3𝑦⃗⃗⃗ +(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐵)

3𝑦𝑦

⃗ ， =−3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+(1+3)⃗⃗⃗⃗𝐴𝐶

⃗⃗⃗ ， ∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑂=𝑡⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+(1−𝑡)⃗⃗𝐴𝐶∴𝑡=−3∈[−3,0]． 故选：A．

𝑦

1

9.【答案】ABC

【解析】 【分析】

本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，属于基础题． 根据常见函数的性质分别判断即可． 【解答】

解：对于A：函数在(0,+∞)单调递增，符合题意； 对于B：函数在R单调递增，符合题意； 对于C：函数在(0,+∞)单调递增，符合题意； 对于D：函数在R单调递减，不合题意； 故选：ABC．

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10.【答案】BCD

【解析】解：由题意可得𝑓(−2)=0，𝑓(1)=2，可得𝑥≤1时，𝑓(𝑥)=

2−0

11+2

1

(𝑥+)=𝑥+，

233

142

当𝑥>1时，由图象可得𝑓(2)=1，可设𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−2)2+1，再由𝑓(1)=2，解得𝑎=1，则𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+5．

4

3即𝑓(𝑥)={3．

2

𝑥−4𝑥+5,𝑥>1

𝑥+,𝑥≤1

2

由𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓(4)⋅lg2=0，可得𝑓(𝑥)=𝑓(4)⋅lg2=5𝑙𝑔2=lg得𝑔(𝑥)=0只有一个零点，故A错误；

33324332

<1，由图象可

由𝑦=𝑓(|𝑥|)为偶函数，可得𝑥≥0时，𝑓(𝑥)≥𝑓(0)=3，又log84=𝑙𝑔8=3𝑙𝑔2=3，即有𝑓(|𝑥|)≥log84恒成立，故B正确； 由函数ℎ(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−

5

𝑓(4)4

2𝑙𝑔42𝑙𝑔22

=0，可得|𝑓(𝑥)|=

5

𝑓(4)4

=， 4

5

由𝑓(𝑥)=4，可得有三个实根；由𝑓(𝑥)=−4，可得有一个实根，则ℎ(𝑥)有四个零点，故C正确；

当𝑥≤1时，𝑓(𝑥)递增，𝑥+12>𝑥，可得𝑓(𝑥+12)>𝑓(𝑥)； 当𝑥≥2时，𝑓(𝑥)递增，𝑥+12>𝑥，可得𝑓(𝑥+12)>𝑓(𝑥)；

>2，𝑥+∈(,)在(3,5)内， 𝑓(1)=𝑓(3)=2，当1<𝑥<2时，所以𝑥∈(1,2)时，12121212由𝑓(3)=𝑓(1)=2，所以𝑓(𝑥+12)>2，而𝑓(𝑥)∈(1,2)， 所以𝑓(𝑥+12)>𝑓(𝑥)．

综上可得，𝑓(𝑥+12)≥𝑓(𝑥)恒成立．故D正确． 故选：BCD．

求得分段函数𝑓(𝑥)的解析式，由𝑔(𝑥)=0，结合对数的运算性质和𝑓(𝑥)的图像，可判断A；由偶函数的性质和𝑥≥0时的𝑓(𝑥)的值域，可判断B；由ℎ(𝑥)=0，结合𝑓(𝑥)的图像，可判断C；分别讨论当𝑥≤1时，当𝑥≥2时，当1<𝑥<2时，𝑓(𝑥)的单调性，结合恒成立思想，可判断D．

本题考查分段函数的图像和性质，以及函数的零点和恒成立问题解法，考查分类讨论思

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25

25

2525

25

3749

25

25

25

25

想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．

11.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，事件A与事件B互斥，则不可能同时发生，∴𝑃(𝐴∩𝐵)=0，A正确； 对于B，事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件𝐴，∴𝑃(𝐴∪𝐵)=1，B正确； 对于C，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，C正确；

对于D，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，D错误． 故选：ABC．

根据题意，由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项，综合可得答案． 本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题．

−

12.【答案】ABD

【解析】解：对于A：如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，𝐴𝐷1⊂平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1， 所以𝐶𝐷⊥𝐴𝐷1，

因为𝐴1𝐷⊥𝐴𝐷1，𝐴1𝐷∩𝐷𝐶=𝐷， 所以𝐴𝐷1⊥平面𝐴1𝐷𝐶，

所以当点M在线段𝐴1𝐷上时，有𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1， 所以点M的轨迹为线段，所以A正确； 对于B：在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，

因为𝐵1𝐷1//𝐵𝐷，𝐵𝐷⊂平面𝐵𝐶1𝐷，𝐵1𝐷1⊄平面𝐵𝐶1𝐷， 所以𝐵1𝐷1//平面𝐵𝐶1𝐷， 同理𝐴𝐷1//平面𝐵𝐶1𝐷， 而𝐴𝐷1∩𝐵𝐷1=𝐷，

所以平面𝐴𝐷1𝐵1//平面𝐵𝐶1𝐷，

所以当点M在𝐴𝐷1上是，均有𝐵1𝑀//平面𝐵𝐶1𝐷，

所以点M存在无数个位置满足直线𝐵1𝑀//平面𝐵𝐶1𝐷，所以B正确；

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对于C：异面直线𝐵1𝑀与CD所成的角为∠𝐴1𝐵1𝑀，

当M在线段𝐴𝐷1上运动时，点M取𝐴𝐷1的中点时，∠𝐴1𝐵1𝑀最小， 所以正切值为√>√，

23

所以不存在点M，使异面直线𝐵1𝑀与CD所成的角为30°，所以C错误； 对于D：由正方体的性质得，𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐶1𝐷， 若正方体的棱长为1，则点M与𝐴1重合时，

三棱锥𝐵−𝐶1𝑀𝐷的体积取得最大，其值为××√2×√2×√×

322故选：ABD．

对于A：由正方体的性质可知𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1，可得𝐴𝐷1⊥平面𝐴1𝐷𝐶，从而可得点M在线段𝐴1𝐷上时，有𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1，即可判断A是否正确；

对于B：由正方体的性质可得平面𝐴𝐷1𝐵1//平面𝐵𝐶1𝐷，则当点M在𝐴𝐷1上是，均有𝐵1𝑀//平面𝐵𝐶1𝐷，即可判断B是否正确；

对于C：异面直线𝐵1𝑀与CD所成的角为∠𝐴1𝐵1𝑀，当M在线段𝐴𝐷1上运动时，点M取𝐴𝐷1的中点时，∠𝐴1𝐵1𝑀最小，即正切值为√>√，即可判断C是否正确；

2

3231

1

32√33

23所以D正确． =3，

1

对于D：由正方体的性质得，𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐶1𝐷，若正方体的棱长为1，则点M与𝐴1重合时，三棱锥𝐵−𝐶1𝑀𝐷的体积取得最大，从而可得三棱锥𝐵−𝐶1𝑀𝐷的体积最大，即可判断D是否正确．

本题考查正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，属于中档题．

13.【答案】2

【解析】解：∵𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2<0的解集是(1,𝑚)， ∴𝑎>0，

1，m是相应方程𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2=0的两根， 解得𝑚=2； 故答案为：2．

由二次不等式的解集形式，判断出1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值．

本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．

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14.【答案】5

【解析】解：∵幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象经过点(9,3)，设幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，𝛼为常数， ∴9𝛼=3，∴𝛼=−2，故𝑓(𝑥)=𝑥−2，∴𝑓(25)=(25)−2=1，

5故答案为：5．

设出幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，𝛼为常数，把点(9,3)代入，求出待定系数𝛼的值，得到幂函数的解析式，进而可 求𝑓(25)的值．

本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．

1

11

1

1

1

1

1

15.【答案】10

【解析】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，

2

基本事件总数𝑛=𝐶5=10，

211抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数𝑚=𝐶2+𝐶2𝐶3=7，

7

∴抽中的2人不全是女生的概率𝑝=故答案为：10．

7

𝑚𝑛

=10．

7

22基本事件总数𝑛=𝐶5=10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数𝑚=𝐶2+11𝐶2𝐶3=7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．

本题考查抽中的2人不全是女生的概率，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】−3

【解析】解：以A为坐标原点，AC为x轴建立平面直角坐标系如图所示，

28

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因为𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3√2，∠𝐵𝐴𝐶=135°， 所以𝐴(0,0)，𝐵(−√2,√2),𝐶(3√2,0)，

M是△𝐴𝐵𝐶所在平面上的动点，设𝑀(𝑥,𝑦)，其中x，𝑦∈𝑅， 则⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴=(−𝑥,−𝑦),⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=(−√2−𝑥,√2−𝑦),⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶=(3√2−𝑥,−𝑦)， 故𝑤=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶+⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴

=(−𝑥)⋅(−√2−𝑥)+(−𝑦)⋅(√2−𝑦)+(−√2−𝑥)⋅(3√2−𝑥)+(√2−𝑦)⋅(−𝑦)

+(−𝑥)⋅(3√2−𝑥)+(−𝑦)⋅(−𝑦)

=3𝑥2−4√2𝑥+3𝑦2−2√2𝑦−6 =3(𝑥−

2√22

)3

+3(𝑦−=

√22

)3

−

283

，

所以当𝑥=

2√2,𝑦328

28√2时，w取得最小值−3． 3

故答案为：−3．

以A为坐标原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，求出所需各点的坐标，设𝑀(𝑥,𝑦)，然后利用平面向量的数量积的坐标表示求出w，再利用二次函数求最值即可． 本题考查了平面向量数量积最值的求解，涉及了利用配方法求二次函数的最值，解题的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为坐标进行求解．

⃗ |=4，|⃗ 17.【答案】解：(1)|𝑎𝑏|=3，(2𝑎⃗ −3⃗ 𝑏)(2𝑎⃗ −⃗ 𝑏)=43．

22⃗ +3𝑏⃗ =48，所以𝑎可得4𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=6， ⃗ −8𝑎⃗ ⋅𝑏

所以|𝑎⃗ ||⃗ 𝑏|cos<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>=6，

1

⃗ ,⃗ 𝑏>=2， 所以cos<𝑎𝜋⃗ ,⃗ 𝑏>=． 可得<𝑎3

22

(2)|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|=√𝑎⃗ +2𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏+⃗ 𝑏=√16+12+9=√37．

【解析】(1)利用已知条件求出向量的数量积，然后求解向量的夹角． (2)利用向量的模的运算法则，转化求解即可．

本题考查平面向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．

18.【答案】解：(1)由已知及正弦定理，得

𝑎−𝑏𝑐

=𝑎+𝑏，即(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑐(𝑎−𝑐)，

𝑎−𝑐

即𝑎2−𝑏2=𝑎𝑐−𝑐2，即𝑎2+𝑐2−𝑏2=𝑎𝑐．

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由余弦定理，得𝑐𝑜𝑠𝐵=因为𝐵∈(0°,180°)， 所以𝐵=60°．

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

=，

2

1

(2)因为𝐴+𝐶=120°，𝑐=2，由正弦定理，得𝑎=

√3𝑡𝑎𝑛𝐶

𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶

=

2𝑠𝑖𝑛(120°−𝐶)

𝑠𝑖𝑛𝐶

=

√3𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶

=

+1．

1

33所以𝑆=𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛60°=√(√+1)．

22𝑡𝑎𝑛𝐶

因为△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，则30°<𝐶<90°，从而𝑡𝑎𝑛𝐶∈(√,+∞)，

33所以𝑆∈(√,2√3)．

2

3

【解析】(1)利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角B的值； (2)由于𝐴+𝐶=120°，𝑐=2，利用正弦定理，可得𝑎=

√3√3(2𝑡𝑎𝑛𝐶

√3𝑡𝑎𝑛𝐶

+1，以及△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=

+1)，利用△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，可得面积的取值范围．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由题意得，𝛥=𝑝2−100=−36<0，

∴𝑥=

8±√−362

=

8±√36𝑖22

=

8±6𝑖2

=4±3𝑖，

∴𝑥1=4+3𝑖，𝑥2=4−3𝑖．

(2)已知关于x的方程𝑥2−𝑝𝑥+25=0(𝑝∈𝑅)的一根为𝑥1=3+4𝑖， 所以(3+4𝑖)2−𝑝(3+4𝑖)+25=(18−3𝑝)+(24−4𝑝)𝑖=0， 所以18−3𝑝=24−4𝑝=0，解得𝑝=6．

【解析】(1)利用求根公式即可求解． (2)将𝑥1=3+4𝑖代入方程即可求解．

本题考查了实系数一元二次方程的复数根的求解与应用，复数相等的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

20.【答案】解：(1)由分层抽样知，抽取的初中生有100×1800+1200=60人，高中生有

100−60=40人．

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1800

初中生中，课外阅读时间在[30,40)小时内的频率为1−(0.005+0.03+0.04+0.005)×10=0.20，学生人数为0.2×1800=360人．

高中生中，课外阅读时间在[30,40)小时内的频率为1−(0.005+0.025+0.035+0.005)×10=0.3，学生人数约有0.3×1200=360人，

∴全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内学生总人数为360+360=720人． (2)记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件A，

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为0.005×10×60=3人， 高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为0.005×10×40=2人． 记这3名初中生为A，B，C，这2名高中生为d，e，

则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，即ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde，

而事件A的结果有7种，它们是：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe， ∴至少抽到2名初中生的概率为𝑃(𝐴)=10．

(3)样本中的所有初中生平均每天阅读时间为5×0.05+15×0.3+25×0.4+35×0.2+45×0.05=24(小时)，而60×0.5=30(小时)， ∵24<30，∴该校需要增加初中学生课外阅读时间．

7

【解析】(1)由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在[30,40)小时内的频率，然后由频数=样本容量×频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在[30,40)小时内的样本学生数，最后将两者相加即可．

(2)记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件A，由频数=样本容量×频率/组距×频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件A的结果，从而得𝑃(𝐴)．

(3)同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加． 本题考查频率分布直方图及其数字特征、古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．

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21.【答案】(1)证明：∵矩形ADEF，∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐷，

又𝐸𝐷⊥𝐷𝐶，𝐴𝐷∩𝐷𝐶=𝐷，AD、𝐷𝐶⊂平面ABCD， ∴𝐷𝐸⊥平面ABCD， ∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，

在直角梯形ABCD中，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐶𝐷=1，∴𝐵𝐷=√2，𝐵𝐶=√2， ∴𝐵𝐷2+𝐵𝐶2=𝐶𝐷2，即𝐵𝐷⊥𝐵𝐶， 又𝐷𝐸∩𝐵𝐷=𝐷，DE、𝐵𝐷⊂平面BDE， ∴𝐵𝐶⊥平面BDE．

1

(2)解：∵𝐵𝐶⊥平面BDE，

∴𝑉𝐶−𝐵𝐷𝐸=3𝐵𝐶⋅𝑆△𝐵𝐷𝐸=3×√2×2×√2×𝐷𝐸=3𝐷𝐸， 由(1)知，𝐷𝐸⊥平面ABCD，

∵𝐴𝐹//𝐷𝐸，∴𝐴𝐹⊥平面ABCD，∴𝐴𝐹⊥𝐴𝐵， 又𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐹∩𝐴𝐷=𝐴，AF、𝐴𝐷⊂平面ADEF， ∴𝐴𝐵⊥平面ADEF，

∴𝑉𝐵−𝐴𝐷𝐸𝐹=3𝐴𝐵⋅𝑆矩形𝐴𝐷𝐸𝐹=3×1×1×𝐷𝐸=3𝐷𝐸， ∵多面体ABCDEF的体积为3，

∴=𝑉𝐶−𝐵𝐷𝐸+𝑉𝐵−𝐴𝐷𝐸𝐹=𝐷𝐸+𝐷𝐸=𝐷𝐸，∴𝐷𝐸=1， 3333过点D作𝐷𝐺⊥𝐵𝐸于G，连接CG， 由(1)知，𝐵𝐶⊥平面BDE， ∵𝐷𝐺⊂平面BDE，∴𝐵𝐶⊥𝐷𝐺， ∵𝐵𝐸∩𝐵𝐶=𝐵，BE、𝐵𝐶⊂平面BCE， ∴𝐷𝐺⊥平面BCE，

∴∠𝐷𝐶𝐺为直线CD与平面BCE所成角，

在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷⋅𝐷𝐸=𝐷𝐺⋅𝐵𝐸，即𝐵𝐷⋅𝐷𝐸=𝐷𝐺⋅√𝐵𝐷2+𝐷𝐸2， ∴√2×1=𝐷𝐺×√(√2)2+12， ∴𝐷𝐺=

√6， 3

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

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在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐺中，sin∠𝐷𝐶𝐺==𝐶𝐷

𝐷𝐺

√632

=

√6， 6

6故直线CD与平面BCE所成角的正弦值为√．

6

【解析】(1)由𝐷𝐸⊥𝐴𝐷，𝐸𝐷⊥𝐷𝐶，知𝐷𝐸⊥平面ABCD，有𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，再利用勾股定理的逆定理证明𝐵𝐷⊥𝐵𝐶，然后由线面垂直的判定定理，得证；

(2)由3=𝑉𝐶−𝐵𝐷𝐸+𝑉𝐵−𝐴𝐷𝐸𝐹可求得𝐷𝐸=1，过点D作𝐷𝐺⊥𝐵𝐸于G，连接CG，结合𝐵𝐶⊥𝐷𝐺，证得𝐷𝐺⊥平面BCE，从而知∠𝐷𝐶𝐺即为所求，再在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中，由𝐵𝐷⋅𝐷𝐸=𝐷𝐺⋅𝐵𝐸，求得DG的长，然后在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐺中，由sin∠𝐷𝐶𝐺=𝐶𝐷，得解．

本题考查空间中线与面的垂直关系，线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．

𝐷𝐺

2

√2√222.【答案】解：(1)由题意，函数𝑓(𝑥)=𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2(2𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥)=

√2sin(𝑥+4)，

令−2+2𝑘𝜋≤𝑥+4≤2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得−所以函数𝑓(𝑥)的增区间为[−

3𝜋4

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

3𝜋4

𝜋

+2𝑘𝜋≤𝑥≤+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，

4

𝜋

+2𝑘𝜋,4+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍．

𝜋

𝜋4

23

(2)由(1)可知𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+4)，因为𝑓(𝜃+)=√，

可得𝑓(𝜃+)=√2sin(𝜃++)=√2sin(𝜃+)=√2𝑐𝑜𝑠𝜃=√，

44423

22解得𝑐𝑜𝑠𝜃=3，因为𝜃∈(0,2)，所以𝑠𝑖𝑛𝜃=√1−cos2𝜃=√，

3

1

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

2所以𝑓(𝜃−)=√2sin(𝜃−+)=√2𝑠𝑖𝑛𝜃=√2×

444

𝜋𝜋𝜋

2√23

=3．

4

(1)由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，【解析】得到𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+4)，再结合三角函数的性质，即可求解．

𝜋2(2)由(1)知𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+4)，根据因为𝑓(𝜃+)=√，求得𝑐𝑜𝑠𝜃=3，进而求得𝑓(𝜃−

4

3

𝜋4

𝜋

1

𝜋

)的值．

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与

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性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

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