行程问题专题训练（环形道路上的行程问题）
一、知识梳理
1．行程问题中的基本数量关系式: 速度×时间=路程； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间．
2．相遇问题中的数量关系式: 速度和×相遇时间=相遇路程； 相遇路程÷速度和=相遇时间; 相遇路程÷相遇时间=速度和． 3．追及问题中的数量关系式: 速度差×追及时间=追及距离； 追及距离÷速度差=追及时间； 追及距离÷追及时间=速度差． 4．流水问题中的数量关系式： 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速-水速；
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2； 水速=(顺水速度—逆水速度）÷2． 5．应该注意到:
（1)顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；
（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似。因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．
二、例题精讲
例1、李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林
每分钟所跑路程的人才能相遇?
．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两
分析：由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差=追及时间”． 解：追及距离=400米；
追及时的速度差．由公式列出
追及时间
（分)．
答：至少经过16分钟两人才能相遇．
例2、如图所示,A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B,他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．
分析：第一次相遇,两人合起来走了半圈,第二次相遇，两个人合起来又走了一圈,所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．可知,第二次相遇时两人合起来的行程是第一次相遇时合起来的行程的3倍,可知，每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以第二次相遇时亮亮走的行程（A→c→B→D)应该是第一次相遇时走的行程（A直接到C)的3倍。
解：第二次相遇时亮亮走的距离：100×3=300(米）． 半个圆圈长：300—80=220（米）． 整个圆圈长:220×2=440（米）． 答：这个圆的周长是440米．
例3、如图所示，沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发,每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？
解：设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有 解得
,
在这段时间内乙走了
（米）．
由于正方形边长为90米，共四条边，所以由
的AD边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的AD边上。
三、专题特训
，可以推算出这时甲和乙应在正方形
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次．问乙跑完一圈用多少秒?
2．甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后,问第一次相遇在离起点多少米处？
3．有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇;如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米？
4．甲、乙两人同时从A点背向出发,沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇?
5．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？
6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米,平时逆行与顺行所用时间的比为2:1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米?
7．两只小爬虫甲和乙，从图上A点同时出发,沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，问长方形的边AB长多少厘米？
8．周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点（如图所示）．甲、乙两人分别在A、B两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A地时，乙恰好又跑到B地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米?
9．一个圆的周长为1。44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发,沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3。5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇?再次相遇需要多少时间？
10．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇,问爬虫乙原来的速度是多少？
参
1．解：设乙路完一圈用x秒，则
，解得（秒）。
2．解：360÷（305—275)=12(分）．305×12=3660（米）．
3660+360=(圈）+10（圈)+60(米）
答:第一次相遇在离起点60米处.
3．解：500÷1=500（米)(速度和);500÷10=50(米）（速度差),利用和倍、差倍问题的解题方法可求出两个速度:
(500+50)÷2=275（米／分)； （500-50)÷2=225(米／分）.
答：甲每分钟跑275米;乙每分钟跑225米．
4．解：甲走完一圈需要400÷80＝5（分钟)，乙走完一圈需要400÷50＝5(分钟）.8和5的最小公倍数是40，40分钟后甲和乙在A点处相遇。
5．解:设跑一圈需x秒，
列得方程 ，解得 （秒)。
前一半路程用:180÷5=36（秒)，所以，后一半路程用了80—36=44(秒)
6．解：设甲、乙两港相距x千米,且原来水速为a千米／时
根据题意得
解得 ．
而 ，
把 解得
代入，得
，
答：甲、乙两港相距20千米
7．解:爬虫甲从A→G→B→E所用时间，与从F→D→A→G所用时间相等．如果在AD上取一点H，使A至H与B至E一样长． 就有F→D→H与G→B一样．所以 GB=FD+DH=FD+CE=16+32=48(厘米）， AB=AG+GB=16+48=（厘米) 答：长方形的边AB长厘米
8．解:设C为相遇点、由题意知，甲从C跑至A的路程为：400÷2=200（米）,乙从C折返跑至B的路程为400÷2—100=100(米)．故甲追及乙的距离为400—100=300(米)．甲、乙速度比为200：100=2：1,所以，甲追上乙时，甲跑600米，乙跑300米，因此，甲从出发开始共跑了400+600=1000(米)
9．解：半圆的周长是1。44÷2=0.72（米）=72（厘米)．先不考虑往返的情况,那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为72÷(5。5+3.5)=8(分） ． 再考虑往返的情况，则有下表如示．
经过时间（分） 在上半圆爬行时间 在下半圆爬行时间 1 3 5 7 9 11 13 15 16 1 3 5 7 8 2 4 6 8 所以在15分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是8分钟．由此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间.由题意可知，它们从出发到初次相遇经过时=1+3+5+7+9+11+13+15=（分）．
第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同）,爬行在上半圆的时间应为9(=17—8)分钟，但在上半圆(相向）爬行8分钟就会相遇,此时总时间又用去了16（=8+8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟(从总时间计算则为+16=80(分))．此时，相遇位置在上半圆。
答：它们经过分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇．
10．解：根据题意画出示意图．
甲共行了70—30=40(厘米)，所需时间是40÷4=10（秒)．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15+30=45（厘米),假如全按原速走,乙10秒共走15+45÷2=37.5(厘米),由此可求出乙原来的速度． （70-30)÷4 =40÷4 =10（秒）, [（30+15)÷2+15]÷10 =37.5÷10 =3.75(厘米/秒)．
答:爬虫乙原来的速度是每秒爬3.75厘米．
