第１６卷第１期 高等数学研究 Ｖｏ１．１６。ＮＯ．１ ２０１３年１月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊａｎ．，２Ｏ１３ 抓阄问题与全概率公式 任燕，王洪涛 （河南理工大学数学与信息科学学院，河南焦作４５４０００） 毒 摘要 以抓阄问题为例，通过对其进行逐步深入的分析，循序渐进的展现全概率公式的基本思想和基本形 式；讨论事件复杂性的来源和寻找完备事件组的自然方法。 关键词 全概率公式；抓阄问题；摸球模型；完备事件组 中图分类号 Ｏ２１１；Ｇ６４＂２．１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１３）０１—０１０６—０３ 全概率公式是概率论与数理统计课程中一个很 对于Ａ。及第二个人抓到有字阄，我们应注意到它与 重要的公式，在概率论的计算中起着很重要的作用， Ａ 的位置关系，因为只有一个有字阄，Ａ 和Ａ 不可 而且有着广泛的应用［１ ］．按照课本的顺序，通常的 能同时发生，于是有Ａ。ｃＡ ，所以 讲授方法是直接给出定理及公式，然后套用公式去 Ａ２一Ａ２Ａ一１． 做题，学生接受起来比较困难，也很难完全理解全概 把Ａ 转化成两个事件的乘积，其实际含义是，第二 率公式的精髓。全概率公式本身是用来解决实际问 个人抓到有字阄一定伴随着第一个人没有抓到有字 题的，应用的背景尤为重要，如果对公式的应用背景 阄。利用乘法公式得 不理解，很难掌握公式的基本思想，灵活运用。通过 Ｐ（Ａ２）＝Ｐ（Ａ２Ａ１）一 几年来对概率论与数理统计这门课的教学研究，我 １ Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ａ。Ｉ Ａ ）一÷． 们发现从实例人手，引导学生去发现和应用全概率 ０ 公式，对理解和应用全概率公式有着巨大的效果。通 对于Ａ。即第三个人抓到有字阄，我们同样注意它与 过多年的教学实践，我们从学生非常熟悉的抓阄问 Ａ 和Ａ。的位置关系，三者任意两个不能同时发生， 题开始，由浅入深，一步一步让学生理解并最终自己 所以它们两两互斥，这样就有 写出全概率公式。 Ａ３一Ａ３Ａ２Ａ１， 把Ａ。转化成三个事件的乘积，其实际含义是，第三 １ 抓阄问题 个人抓到有字阄一定伴随着第一个人和第二个都没 问题１ ５个阄，其中１个阄内写着“有”字，４个 有抓到有字阄。利用乘法公式可得 阄内不写字，５人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的 Ｐ（Ａ３）一Ｐ（Ａ３ＡｚＡ１） １ 概率是否相同？ Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ａ ｌ Ａ ）Ｐ（Ａ。Ｉ Ａ Ａ ）一÷． 这个问题提出之后，学生们会异口同声的回答： １ １ 对于Ａ 和Ａ 的概率可以用同样的方法计算。 是÷。问及 是怎么算出来的就有不同的声音，于 ０ 问题２ ５个阄，其中２个阄内写着“有”字，３ 是我们引导学生用如下的方法来计算。 个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字 解 设Ａ （ 一１，２，３，４，５）表示“第ｉ个人抽到 阄的概率是否相同？ 有字阄”，则易知 这个问题提出之后，许多学生是有些迟疑的，于 １ 是，我们利用问题１的解法来引导学生解题。 Ｐ（Ａ ）一喜，Ｐ（Ａ ）一÷． 解 设Ａ（ 一１，２，３，４，５）表示“第ｉ个人抽到 有字阄”则易知 收稿日期：２０１ｌ－０５—１６；修改日期：２０１２－１２—１４ ９ ０ 基金项目：河南省高等教育教学改革研究项目（２００９ＳＪＧＬＸ１３７）；河 Ｐ（Ａ］）一÷，Ｐ（Ａ】）一善．０ ０ 南理工大学校级教改重点基金资助项目（２００７ＪＧ０４６） 对于Ａ。即第二个人抓到有字阄，我们应注意到此时 作者简介：任燕（１９７６－－），女，河南焦作人，硕士，讲师，从事模糊系统 与模糊推理研究。Ｅｍａｉｌ：ｒｅｎｙａｎ＠ｈｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ａ 与Ａ 并非不相容的，因为有两个有字阄，Ａ 和 王洪涛（１９７６－－），男，天津蓟县人，硕士，讲师，从事智能计 Ａ。是有可能同时发生韵．不过，由于 算研究。Ｅｍａｉｌ：ｔｊｗｈｔ＠ｈｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ａ Ｕ 一 ，Ａ ｎ Ａ一 ＝＝＝ ， （１） 第１６卷第１期 任燕，王洪涛：抓阄问题与全概率公式 １Ｏ７ 也就是说，Ａ 和 把样本空间ｎ分割成不相交的 两部分，既然如此，当然也可以把样本空间上的某个 事件，比如Ａ。，分割成不相交的两部分，即有 Ａ２＝Ａ２ｎ—Ａ２（Ａ１ Ｕ Ａ１）一Ａ２Ａ１＋Ａ２Ａ卜 本问题并不是完全明白。 模型１ 一盒子装有５只产品，其中３只一等 品，２只二等品。从中取产品两次，每次任取＿只，作 不放回抽样。设事件Ａ为“第一次取到一等品”，事件 这个式子的含义是第二个人抓到有字阄一定伴随着 第一个人抓到有字阄或第一个人没有抓到有字阄， 即Ａ 一定伴随着Ａ 或 之一同时发生，于是 Ｐ（Ａ２）：Ｐ（ＡｚＡ１＋Ａ２Ａ ）一 Ｐ（Ａ２Ａ１）＋Ｐ（Ａ２Ａ１）一 Ｂ为“第二次取到一等品”，求概率Ｐ（Ｂ）。 有学生不假思索地给出答案÷ 此后经过分析 ‘士 才意识到÷是在Ａ发生的前提下Ｂ发生的概率，即 吐 ９ Ｊ＿ Ｐ（Ｂ ｌ Ａ）．对于如何求解Ｐ（Ｂ），老师应引导学生利 用前面解题思路，分析并解决问题。 从试验的过程出发，先考虑第一次取产品的结 Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ Ｉ Ａ ）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ。ｌ Ａ ）一号． 即第二个人抓到有字阄的概率与第一个人抓到有字 阄的概率相等，用同样的分析方法进行下去可以得 知，每一个人抓到有字阄的概率都相等。这就是我们 通常所说的抓阄的结果与次序无关。 通过上述由浅人深一步一步的分析，学生能逐 果Ａ或 ，它们构成了样本空间的一个分划，也就是 完备事件组，这时考虑事件Ｂ（试验的第二步上的一 个事件）的概率，就可以应用全概率公式 Ｐ（Ｂ）一Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｌ Ａ）＋Ｐ（Ａ一）Ｐ（Ｂ Ｉ ）， 步认识到把复杂事件转化为积事件，进而把复杂事 件转化为多个积事件的和这一过程，自然而然的写 出最简单的全概率公式，同时，也对全概率公式的 “分割求和”的主题思想有了全局的认识。 ’至此，许多学生才发现这是一个变了形的抓阄试验。 模型２ 一盒子装有９只产品，其中４只一等 品，３只二等品，２只三等品。从中取产品两次，每次 任取一只，作不放回抽样。设事件Ａ （ 一１，２，３）为 “第一次取到ｉ等品”，事件Ｂ为“第二次取到一等 品”，求概率Ｐ（Ｂ）。 利用前面的方法，这个问题的解答就比较简单 而且显得比较自然。试验的第一步取产品的结果 Ａ ，Ａ ，Ａ。构成了样本空间的一个分划，也就是完 ２ 全概率公式 ， 将在问题２中计算Ｐ（Ａ ）所用的方法推广到一 般的情形，就能得到在概率计算中常用的全概率公 式。全概率公式的基本思想就是把一个未知的复杂事 件分解为若干个已知的简单的两两互斥的事件再求 解。比如上述问题把Ａ。分解成Ａ。Ａ 和ＡｚＡ 。为 分 解Ａ。，我们首先找到了Ａ 和Ａ ，满足式（１）。Ａ 和Ａ 备事件组，试验的第二步上的某个事件Ｂ的概率，同 样要应用全概率公式 ３ Ｐ（Ｂ）一∑Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ｂ ｌ Ａ ）． ｆ盎１ 。 实际上把样本空间分解为互不相交的两部分，对每一 次试验Ａ 和Ａ 有且只有一个发生。既然Ａ 和Ａ 能 、４ 总结 全概率公式是计算复杂事件概率的重要工具。 够分解样本空间，也一定能分解样本空间中的任意事、 件，于是就有了我们计算Ａ 的全概率公式。 一般的，设ｎ为随机试验Ｅ的样本空间，Ｂ ， Ｂ Ｂ 一 （ ≠Ｊ）， 事件的复杂性主要体现在试验的复杂性上，这时的 试验一般都可以看成是分步骤或是分阶段进行的， 而其概率待求的事件往往处于试验进行多个步骤或 阶段之后，而此前的全部可能的结果将组成我们所 谓的完备事件组，来分割样本空间，进而分割概率待 求的事件。实际上。全概率公式的思想就是中学阶段 所接触的分情况讨论的思想的具体体现。若把事件 Ａ 的发生看成结果的话，那么导致事件Ａ发生有不 同的原因（或情况），在考虑各种原因或情况时，中学 的教师会多次强调，不重复（两个原因或两种情况间 Ｂ。，…，Ｂ 是Ｅ的一组事件，如果满足 Ｂ Ｕ Ｂ２ Ｕ…Ｕ Ｂ 一ｎ， 则称Ｂ ，Ｂ。，…，Ｂ 为完备事件组，或称之为样本空 间的一个分划（划分，分割）。若Ｐ（Ｂ ）＞０（ 一１，２， …， ），则对样本空间中的任一事件Ａ，有 ｎ ‘ ’ Ｐ（Ａ）一＞：Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ｆ Ｂｆ）． ３ 全概率公式在摸球模型中的应用 摸球模型是古典概型中最常见、最重要的基本 模型。多数学生在高中阶段有所接触，但对其中的基 两两不相容），不遗漏（即所有的原因或情况的并构 成样成空间），这样，所有的原因（或情况）就构成了 完备事件组。 （下持第１１７页） 第１６卷第１期 冯媛：逆矩阵教学与思维能力培养 １１７ 敛聚思维，会造成思维的贫乏和刻板，不利于从众多 方法中找到解决问题的最佳途径；而如果只重视发 Ｅ３］刘新文，王雪松．可逆分块矩阵的逆矩阵的求法ＥＪ］．衡 阳师范学院学报，２００８，２９（３）：２９—３１． 散思维，则可能由于得不到敛聚思维的帮助而使得 发散思维的成果成为一团乱麻，理不出头绪．所以教 师在教学过程中应引导学生交替使用发散思维和敛 Ｅ４］王莲花，张香伟，李战国，等．求逆矩阵方法的进一步 研究［Ｊ］．河南教育学院学报：自然科学版，２００２， １１（３）：９－１２． 聚思维，使学生的这两种思维结合起来均衡发展．如 此才能使学生的思维常常突破常规，不落俗套，进而 在处理问题的方法上能够常常另辟蹊径，标新立异． 参考文献 Ｅ５］刘，刘丽梅．浅析逆矩阵的多种求法与学生发散性 思维的培养ＥＪ］．长春师范学院学报，２００７，２６（３）： １０６－１０９． Ｅ６］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代 数［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００３：２９７． Ｅ７］孙红伟．关于求逆矩阵方法的探讨ＥＪ］．科技资讯，２００８ （２７）：２２６—２２７． ５版．北京：高等 Ｅｌ－Ｉ同济大学应用数学系．线性代数［Ｍ］． 教育出版社，２００７：４３；５０；６３． ［２］任宪林．求逆矩阵的一个新方法［Ｊ］． 职大学报，２００４ （２）：１９—２Ｏ． Ｅｓ］胡婉莹，王淼，康戈莉．发散思维、敛聚思维与科学创 新［Ｊ］．中国成人教育，２００７（６）：１２７—１２８． 、Ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ａｎｄ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ Ｔｈｉｎｋｉｎｇ ＦＥＮＧ Ｙｕａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｐｅｔｒｏ—ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０２６１７，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｖａｒｉｏｕｓ ｖｉｅｗｐｏｉｎｔｓ：ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ，ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍａｔｒｉｃｅｓ， ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｌｉｎｅａｒ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒｓ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ． Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｌｙ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｇｏａｌ ｉｓ ｔｏ ｔｒａｉｎ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｔｈｉｎｋｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒ￣： ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｘ，ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｔｈｉｎｋｉｎｇ，ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｏ●０●ｏ・ｏ・ｏ・＜＞・０・ｏ・ｏ・ｏ・０・ｏ・ｏ・ｏ・ｏ ：芝＇・ｏ・ｏ’ （上接第１０７页） Ｅ２］徐雅静．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：科学出版社， 参考文献 ２００９：１５—１８． 一 ［１］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．３版．北 ［３］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２００４：４２—４５． 京：高等教育出版社，２００８：２２—２６． Ｄｒａｗｉｎｇ Ｌｏｔｓ ａｎｄ Ｔｏｔａｌ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ＲＥＮ Ｙａｎ。 ＷＡＮＧ Ｈｏｎｇｔａｏ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｏｚｕｏ ４５４０００，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｄｒａｗｉｎｇ ｌｏｔｓ，ｔｈｅ ｉｄｅａ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ０ｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｒｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｇｒａｄｕａｌｌｙ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｏｆ ｅｖｅｎｔｓ ａｎｄ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｗａｙ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｅｖｅｎｔ ｇｒｏｕｐ ａｒｅ ａｌｓｏ ｄｉ１ １ ｓｃｕｓｓｅｄ．＇ 、 Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｄｒａｗｉｎｇ ｌｏｔｓ，ｂａｌｌ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌ，ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｅｖｅｎｔ ｇｒｏｕｐ
