2014年上海市静安区中考数学一模试卷
菁优网
www.jyeoo.com
2014年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题：（本题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）（2014•青浦区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于（ ）
a•tanα a•cotα A． B． C． D．
2．（4分）（2014•青浦区一模）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m的值等于（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
3．（4分）（2014•青浦区一模）如图，已知平行四边形ABCD中，向量
在
，
方向上的分量分别是（ ）
A．
B．
C．
、
D．
、
4．（4分）（2014•青浦区一模）抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（ ） A． 向左平移3个单位再向下平移3个单位 B． 向左平移3个单位再向上平移3个单位 C． 向右平移3个单位再向下平移3个单位 D． 向右平移3个单位再向上平移3个单位 5．（4分）（2014•青浦区一模）在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=2，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（ ） A． B． C． D．
6．（4分）（2014•青浦区一模）如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（ ）
A． B． C． D． 60米 20米 30
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是 _________ ．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com 8．（4分）（2014•青浦区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=45°，AB=12，那么BC= _________ ． 9．（4分）（2014•青浦区一模）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 _________ cm． 10．（4分）（1999•南京）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是 _________ ．
11．（4分）（2014•青浦区一模）如图，在△ABC于△ADE中，一个条件，这个条件是 _________ ．
，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加
12．（4分）（2014•青浦区一模）已知点G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，那么AG= _________ ．
13．（4分）（2014•青浦区一模）已知向量与单位向量方向相反，且
，那么= _________ （用向量的
式子表示） 14．（4分）（2014•青浦区一模）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 _________ ． 15．（4分）（2014•青浦区一模）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为 _________ （备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6） 16．（4分）（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k= _________ ． 17．（4分）（2014•青浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 _________ 米．
18．（4分）（2014•青浦区一模）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放，使重叠的两边互相重合，我们称这样的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，△A1B1C是△ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形△A2B2C（点A2，B2分别与A、B对应）的边A2B2的长为 _________ ．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知在直角坐标系中，点A在第二象限内，点B和点C在x轴上，原点O为边BC的中点，BC=4，AO=AB，tan∠AOB=3，求图象经过A、B、C三点的二次函数解析式．
20．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，果（1）求
，
． （用向量
的式子表示）
（不要求写作法，但要指出所作图表中表示结论的向量）
，如
（2）求作向量
21．（10分）（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求： （1）
的值；
（2）线段GH的长．
22．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
23．（12分）（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2=BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：
．
24．（12分）（2014•青浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值； （3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
25．（14分）（2014•青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD=x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果y=
，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
2014年上海市静安区中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题：（本题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）（2014•青浦区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于（ ） A． a •tanα B．a •cotα C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 解答：
解：cot∠A=
，
∴AC=BC•cotA=a•cotA， 故选B．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 2．（4分）（2014•青浦区一模）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m的值等于（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 把原点坐标代入函数解析式，计算即可求出m的值． 解答： 解：∵抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，
∴﹣m+2=0， 解得m=2． 故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系式是解题
的关键．
3．（4分）（2014•青浦区一模）如图，已知平行四边形ABCD中，向量在，方向上的分量分别是（ ）
A．
B．
C．
、
D．
、
考点： *平面向量．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则求解即可求得答案． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
∴向量
在
，
方向上的分量分别是：﹣
，
．
故选C．
点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的
应用．
4．（4分）（2014•青浦区一模）抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（ ） A． 向左平移3个单位再向下平移3个单位 B． 向左平移3个单位再向上平移3个单位 C． 向右平移3个单位再向下平移3个单位 D． 向右平移3个单位再向上平移3个单位
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 解答： 解：∵抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴顶点由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位． 故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便． 5．（4分）（2014•青浦区一模）在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=2，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（ ） A． B． C． D．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可． 解答：
解：
∵AD=1，BD=2， ∴
=，
=时，DE∥BC，
=
=，∠A=∠A，
只有当
理由是：∵
∴△ADE≌△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC，
而其它选项都不能推出∠ADE=∠B或∠AED=∠C，即不能推出DE∥BC， 即选项A、B、C都错误，只有选项D正确； 故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com 6．（4分）（2014•青浦区一模）如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（ ）
A． B． C． D． 60米 20米 30
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 根据仰角为30°，BD=30米，在Rt△BDE中，可求得ED的长度，根据题意恰好能通过大楼CD的玻璃幕
墙看到大楼AB的顶部点A的像，可得AB=2ED．
解答： 解：在Rt△BDE中，
∵∠EBD=30°，BD=30米，
∴=tan30°，
解得：ED=10（米），
∵当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像， ∴AB=2DE=20（米）． 故选B．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直
角三角形．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是 向下 ．
考点： 二次函数的性质．
分析： 首先将二次函数化为一般形式，然后根据二次项系数的符号确定开口方向． 解答： 解：y=（x+5）（2﹣x）=﹣x2+3x+10，
∵a=﹣1＜0， ∴开口向下， 故答案为：向下．
点评： 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的化为一般形式． 8．（4分）（2014•青浦区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=45°，AB=12，那么BC= 6 ．
考点： 等腰直角三角形．
分析： 由题意可知，此三角形是等腰直角三角形，已知斜边的长，求直角边，可以根据勾股定理求得． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AC，
设BC=x，根据勾股定理可得
x2+x2=122
解得，x=6． 故答案为：
点评： 此题考查等腰直角三角形的判定．在等腰直角三角形中，已知任何一边，根据等腰三角形的性质和勾股定
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
理都可以求出另外两边．
9．（4分）（2014•青浦区一模）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2 cm．
考点： 比例线段．
分析： 根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解． 解答： 解：∵线段a=3cm，b=4cm，
∴线段a、b的比例中项==2cm． 故答案为：2．
点评： 本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 10．（4分）（1999•南京）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是 4：9 ．
考点： 相似三角形的性质．
分析： 相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解． 解答： 解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3； ∴它们的面积比为4：9．
点评： 本题重点考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
11．（4分）（2014•青浦区一模）如图，在△ABC于△ADE中，一个条件，这个条件是 ∠B=∠E ．
，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加
考点： 相似三角形的判定． 专题： 开放型．
分析： 根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E． 解答： 解：添加条件：∠B=∠E；
∵，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED， 故答案为：∠B=∠E．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理． 12．（4分）（2014•青浦区一模）已知点G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，那么AG= 2 ．
考点： 三角形的重心．
分析： 根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，再根据勾股定理
求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．
解答： 解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，
∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，
∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
∴AD=
=
=3，
∴AG=AD=×3=2． 故答案为：2．
点评： 本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关
键．
13．（4分）（2014•青浦区一模）已知向量与单位向量方向相反，且子表示）
考点： *平面向量． 分析：
由向量与单位向量方向相反，且
，那么= （用向量的式
，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．
，
解答：
解：∵向量与单位向量方向相反，且∴
=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义． 14．（4分）（2014•青浦区一模）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于
．
考点： 锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．
分析： 画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可． 解答：
解：过P作PA⊥x轴于A， ∵P（3，4）， ∴PA=4，OA=3，
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
由勾股定理得：OP=5，
∴α的余弦值是过答案为：．
点评： 本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 15．（4分）（2014•青浦区一模）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为 37° （备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：
做出图形，设坡角为α，根据=sinα，可求得α的度数．
=，
解答：
解：由题意得，即sinα=0.6， 则α=37°．
故答案为：37°．
=sinα，
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形． 16．（4分）（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k= ﹣3 ．
考点： 二次函数的性质．
分析： 直接利用对称轴公式求解即可．
解答： 解：∵二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，
∴对称轴为：x=﹣=3，
解得：k=﹣3， 故答案为：﹣3
点评： 本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴． 17．（4分）（2014•青浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米．
考点： 二次函数的应用．
分析： 直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com 解答：
解：∵函数解析式为：
，
∴y最值=
==2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键． 18．（4分）（2014•青浦区一模）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放，使重叠的两边互相重合，我们称这样的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，△A1B1C是△ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形△A2B2C（点A2，B2分别与A、B对应）的边A2B2的长为
．
考点： 旋转的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 新定义．
分析： 先根据条件证明△ABC∽△A1B1C就可以求出A1C中，再证明△ABC∽△A2B2C就可以求出结论． 解答： 解：∵△ABC∽△A1B1C，
∴．
∵AB=6，BC=7，AC=5， ∴∴A1C=
， ．
∵△ABC∽△A2B2C， ∴∴
， ，
∴A2B2=故答案为：
． ．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
点评： 本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似，运用相似三角
形的对应边成比例求解是关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知在直角坐标系中，点A在第二象限内，点B和点C在x轴上，原点O为边BC的中点，BC=4，AO=AB，tan∠AOB=3，求图象经过A、B、C三点的二次函数解析式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形． 专题： 计算题．
分析： 先确定B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（2，0），作AH⊥OB于H，根据等腰三角形的性质得到OH=BH=1，
再利用三角形函数得到tan∠AOB==3，则AH=3，所以A点坐标为（﹣1，3），设抛物线的交点式y=a
（x+2）（x﹣2），然后把A点坐标代入求出a即可． 解答： 解：∵原点O为边BC的中点，BC=4，
∴B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（2，0）， 作AH⊥OB于H，如图， ∵AO=AB， ∴OH=BH=1，
∵tan∠AOB=
=3，
∴AH=3，
∴A点坐标为（﹣1，3），
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣2）， 把A（﹣1，3）代入得a×1×（﹣3）=3， 解得a=﹣1，
∴经过A、B、C三点的二次函数解析式为y=﹣（x+2）（x﹣2）=﹣x2+4．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，果（1）求
，
． （用向量
的式子表示）
（不要求写作法，但要指出所作图表中表示结论的向量）
，如
（2）求作向量
考点： *平面向量． 分析：
（1）由DE∥BC，
，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE：AC=2：5，又由
，继而求得答案； =
，连接
，则
即为所求．
，，
利用三角形法则，即可求得（2）取点AB的中点M，作
解答： 解：（1）∵DE∥BC，
∴∵∴∴
==
=， ，+
， =+， =（+）=
+
；
（2）如图，取点AB的中点M，作=，连接，则即为所求．
点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com 21．（10分）（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求： （1）
的值；
（2）线段GH的长．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质． 分析：
（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出
的值；
（2）利用DF∥AB，则
解答： 解：（1）∵EF∥BD，
∴
=
，
==，进而得出==，求出GH即可．
∵BD=12，EF=8， ∴∴
=， =，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， ∴
=；
（2）∵DF∥AB， ∴∴
=
=，
=，
∵EF∥BD， ∴∴
=
=，
=，
∴GH=6．
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出
GH的长是解题关键．
22．（10分）（2014•青浦区一模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与5海里比较大小即可． 解答： 解：解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°， 在Rt△BCD中，
∵∠BDC=90°，∠CBD=60°， ∴∠BCD=30°， ∴∠ACB=∠BCD． ∴△CDB∽△ADC．
∴=
∵AB=CB=8
∴BD=4，AD=12． ∴
=
∴CD=4 ≈6.928＞6．
∴船继续向东航行无触礁危险．
点评： 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用
于实际生活的思想．
23．（12分）（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2=BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：
．
考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： （1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
答案；
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出
=
，再利用△ABG∽△DBA，得出
=
，则AB2=BG•BD，
进而得出答案．
解答： 证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBD， ∴△ACD∽△DBC，
∴
=
，
即CD2=BC×AD；
（2）方法一：
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF， ∵∠ABG=∠DBA， ∴△ABG∽△DBA， ∴∴
==，
，
又∵△ABG∽△DBA， ∴
=
，
∴AB2=BG•BD， ∴
=
=
=
，
方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF， ∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF， ∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA， ∴
=（
）2=
，
而=，∴=．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABG∽△DBA是解题关键． 24．（12分）（2014•青浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值； （3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
考点： 二次函数综合题．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com 专题： 压轴题．
分析： （1）把点A、B的坐标代入函数解析式计算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出与x轴的交点D的坐标，过点A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；
（3）方法一：求出
=
，然后根据平行线分线段成比例定理解答；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，分别求出∠BAO和∠COP的正切值，根据正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根据同位角相等，两直线平行解答．
解答：
解：（1）由题意得，解得
，
，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣2x2﹣4x+6；
（2）∵y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8， ∴函数y=2x2﹣4x+6的顶点坐标为（﹣1，8）， ∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8）， 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则
，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=x+6， 令y=0，则x+6=0，
解得x=﹣12，
∴点D的坐标为（﹣12，0）， 过点A作AH⊥BD于H， OD=12，BD=
=
=6
，
AD=﹣3﹣（﹣12）=﹣3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°， ∴△ADH∽△BDO， ∴即
==
， ， ，
=
=3
，
解得AH=∵AB=
∴sin∠ABD===；
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6∴
=
=3，
，BC=
=2
，AD=9，AO=3，
∴AB∥OC；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，
由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6， ∴tan∠COP=tan∠BAO=
==2， ==2，
∴tan∠COP=tan∠BAO， ∴∠BAO=∠COP， ∴AB∥OC．
点评： 本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，锐角
三角函数，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
25．（14分）（2014•青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD=x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果y=
，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
考点： 相似形综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）在直角三角形ABC中，由AB与tanA的值，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出BC与AC的长，
由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD=5，可得出
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
∠DCB=∠DBC，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到△EDC与△ACB相似，由相似得比例，即可求出DE的长； （2）分两种情况考虑：
（i）当E在BC边上时，由△BDE为等腰三角形且∠BED为钝角，得到DE=BE，利用等边对等角得到∠EBD=∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA=∠A，利用等角对等边得到CD=AC，作CH垂直于AB，利用三线合一得到AD=2AH，由cosA的值求出AH的长，进而求出AD的长，即为x的值； （ii）当E为BC延长线上时，与∠DBE为钝角得到DB=BE，同理求出x的值； （3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB﹣AD=10﹣x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求出x的范围即可．
解答：
解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA=，
∴BC=8，AC=6，
∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=BD=5， ∴∠DCB=∠DBC， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴△EDC∽△ACB， ∴
=
，即；
=，
则DE=
（2）分两种情况情况： （i）当E在BC边长时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角， ∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴∠CDA=∠A， ∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为H，那么AD=2AH， ∴
=，即AH=
，即x=
， ；
∴AD=
（ii）当E在CB延长线上时，
∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角， ∴BD=DE，
∴∠BED=∠BDE， ∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°， ∴∠BCD=∠BDC， ∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB﹣BD=10﹣8=2；
（3）作DM⊥BC，垂足为M， ∵DM∥AC，
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
∴
=
=
，
∴DM=（10﹣x），BM=（10﹣x）， ∴CM=8﹣（10﹣x）=x，CD=∵△DEM∽△CDM， ∴
=
，即DE=
=
，
，
∴y==，
（0＜x＜10）．
整理得：y=
点评： 此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角
三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
©2010-2014 菁优网
菁优网
www.jyeoo.com
参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；sd2011；sjzx；Linaliu；MMCH；lf2-9；caicl；zjx111；zhjh；hdq123；zcx；gsls；ZJX；sks（排名不分先后） 菁优网
2014年3月14日
©2010-2014 菁优网
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- cepb.cn 版权所有 湘ICP备2022005869号-7
违法及侵权请联系：TEL:199 18 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务