根据我国法律的相关规定，当事人敲诈勒索一千元的行为是可以构成犯罪，可能要承担一定的刑事责任。敲诈勒索一千元至三千元以上，属于数额较大的情况，处拘役、管制或者最高三年有期徒刑，并处或者单处罚金。敲诈勒索一万元至三万元以上，属于数额巨大的情况，处最低三年、最高十年有期徒刑，并处罚金。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国刑法》
第二百七十四条 敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。
