2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（5分）已知

=2+i，则复数z=（ ）

A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i 3．（5分）不等式

＜1的解集为（ ）

A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}

D．{x|x＜0}

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线

4．（5分）已知双曲线

y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ） A．

B．2 C．

D．

5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 6．（5分）设、、是单位向量，且小值为（ ） A．﹣2

B．

﹣2 C．﹣1

D．1﹣

，则

•

的最

7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在

底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C．

D．

，0）中心对

8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（称，那么|φ|的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．﹣1

D．﹣2

10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为

，Q到α的距离为

，则P、Q两点之间距离的

最小值为（ ）

A．1 B．2 C．

D．4

11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）

A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）=f（x+2） D．f

（x+3）是奇函数 12．（5分）已知椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈

l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ） A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．

14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ． 15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ． 16．（5分）若

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．

18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=

，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°

，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．

B．2 C．

D．3

（I）证明：M是侧棱SC的中点； （Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．

19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互，已知前2局中，甲、乙各胜1局．

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

20．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=

，求数列{bn}的通项公式；

．

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点． （Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．

（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域； （2）证明：

．

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．

【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}， A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A． 也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB） 故选A

2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i

【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z． 【解答】解：故选B

3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式

＜1的解集为（ ）

，∴

=2+i，则复数z=（ ）

A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}

D．{x|x＜0}

【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值． 【解答】解：∵∴|x+1|＜|x﹣1|， ∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1． ∴x＜0．

∴不等式的解集为{x|x＜0}． 故选D

4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的

＜1，

渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ） A．

B．2 C．

D．

【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得． 【解答】解：由题双曲线

，

代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0， 即

，

的一条渐近线方程为

故选择C．

5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种

【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．

【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；

（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法． 故选D

6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且

•

A．﹣2

B．

的最小值为（ ） ﹣2 C．﹣1

= cos

D．1﹣

﹣（

），，则

【分析】由题意可得 •+

=1﹣

，故要求的式子即

=1﹣

cos

再由余弦函数的值域求出它的最小值． 【解答】解：∵、、 是单位向量，∴

•

=

﹣（

）•+

，∴=0﹣（

，

=

．

）•+1=1﹣

cos

=1﹣

cos

≥

．

故选项为D

7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C．

D．

【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之． 【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；

并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=|A1D|=，|A1B|=

，

=．

，

由余弦定理，得cosθ=故选D．

8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点

（A．

，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） B．

C．

D．

中心对称，

【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点令x=

代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．

中心对称． ．

【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点∴故选A

∴

由此易得

9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．﹣1

D．﹣2

【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．

【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a）， 又∵∴x0+a=1 ∴y0=0，x0=﹣1 ∴a=2． 故选项为B

10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为

，Q到α的距离为

，则P、

Q两点之间距离的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．

D．4

【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可． 【解答】解：如图

分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D， 连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，∴AC=PD=2 又∵

，

当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值． 故答案选C．

11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）

A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数

【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．

【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数， ∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称， ∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0， 故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），

函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数． ∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4）， f（﹣x+3）=﹣f（x+3）， f（x+3）是奇函数． 故选D

12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，

右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ） A．

B．2 C．

D．3

【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据|AF|．

，求出BM，AN，进而可得

【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M， 并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1． 由题意

，

故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为± 即BM=， 故AN=1， ∴故选A

．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 ．

【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an﹣1b1+Cn2an﹣

22

b++Cnran﹣rbr++Cnna0bn，各项的通项公式为：Tr+1=Cnran﹣rbr．然后根据

题目已知求解即可．

【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，

含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7． 由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240． 故答案为﹣240．

14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ． 【分析】由s9解得a5即可． 【解答】解：∵∴a5=9

∴a2+a5+a8=3a5=27 故答案是27

15．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．

【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得

由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2， 设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中， 易得球半径

，

故此球的表面积为4πR2=20π 故答案为：20π

16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若最大值为 ﹣8 ．

【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决． 【解答】解：令tanx=t，∵∴

，

，则函数y=tan2xtan3x的

故填：﹣8．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b． 【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．

【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC， 则由正弦定理及余弦定理有：

，

化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2． 又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2． 解得b=4或b=0（舍）；

法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA． 又a2﹣c2=2b，b≠0．

所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，

∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC， 即sinB=4cosAsinC由正弦定理得故b=4ccosA②由①，②解得b=4．

18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=ABM=60°

（I）证明：M是侧棱SC的中点； （Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．

，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠

，

【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，

设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进

而得到M为侧棱SC的中点；

法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；

法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．

（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．

【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E， 连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x， 在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴

．

在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2 解得x=1，从而

∴M为侧棱SC的中点M．

（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则

设M（0，a，b）（a＞0，b＞0）， 则

，

由题得

，

，．

即

解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1） 所以M是侧棱SC的中点．

（I）证法三：设则又故即

，

，

，

解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点． （Ⅱ）由（Ⅰ）得

，

又设量， 则即分别令即∴

且

，，

分别是平面SAM、MAB的法向

， 且

得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，

，

．

二面角S﹣AM﹣B的大小

19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互，已知前2局中，甲、乙各胜1局．

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互，根据相互事件的概率公式得到结果．

（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互，得到变量的分布列，求出期望．

【解答】解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5） Bi表示第j局乙获胜，j=3、4

（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利， ∵前2局中，甲、乙各胜1局，

∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局， ∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5 由于各局比赛结果相互，

∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5） =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.8

（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3

由于各局相互，得到ξ的分布列 P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48 ∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．

20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=

，求数列{bn}的通项公式；

．

（2）求数列{an}的前n项和Sn． 【分析】（1）由已知得所求的通项公式．

（2）由题设知an=2n﹣（1++

+

+…+

），设Tn=1+

，故Sn=（2+4+…+2n）﹣+

+

+…+

，由错位相减

=

+

，即bn+1=bn+

，由此能够推导出

法能求出Tn=4﹣．从而导出数列{an}的前n项和Sn．

=

+

，

【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且即bn+1=bn+b3=b2+bn=bn﹣1+

，

（n≥2）．

+…+

=2﹣

，从而b2=b1+，

于是bn=b1++又b1=1，

（n≥2）．

故所求的通项公式为bn=2﹣（2）由（1）知an=2n﹣

，

．

故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++设Tn=1+Tn=+

++

++…+

+…+

+

++…+），

，① ，②

①﹣②得，

Tn=1++++…+﹣

=﹣=2﹣．

﹣，

∴Tn=4﹣

∴Sn=n（n+1）+

﹣4．

21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点． （Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围． （2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r

＞0）的方程，

消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）

抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是： 方程（1）有两个不相等的正根 ∴

即

解这个方程组得

．

，

．

（II）设四个交点的坐标分别为

、

则直线AC、BD的方程分别为y﹣y+

=

（x﹣x1），

，0），

，

=

•（x﹣x1），

、

、

．

解得点P的坐标为（

则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令

则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．

由三次均值有：

当且仅当7+2t=14﹣4t，即经检验此时

故所求的点P的坐标为

22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．

（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域； （2）证明：

．

时取最大值．

满足题意．

．

【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可； （2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）

依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]

等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．

由此得b，c满足的约束条件为（4分）

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）

（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0， 则故

，

．（8分）

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0， 故

．

又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分） 所以

．