含绝对值的函数专题

已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1, a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

【考点】二次函数的性质．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由条件利用二次函数的性质可得a≥2．故只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即 （a﹣1）2≤4，求得a的范围．

【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象的对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+5在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴a≥2．

故在区间∈上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即 （a﹣1）2≤4，求得﹣1≤a≤3．

再结合 a≥2，可得2≤a≤3，

故a的取值范围为：．

【点评】本题主要二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．

已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．

（1）指出f（x）=|x+|﹣|x﹣|的基本性质（两条即可，结论不要求证明），并作出函数f（x）的图象；

（2）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求m的取值范围．

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

【考点】分段函数的应用．

【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】（1）化简f（x）=，判断函数的性质，再作其图象即可；

（2）结合右图可知方程x2+mx+n=0有两个不同的根x1，x2，且x1=2，x2∈（0，2）；从而可得故x2+mx+n=（x﹣2）（x﹣x2），从而解得．

【解答】解：（1）化简可得f（x）=，

故f（x）是偶函数，且最大值为2；

作其图象如右图，

（2）∵关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，

∴结合右图可知，

方程x2+mx+n=0有两个不同的根x1，x2，

且x1=2，x2∈（0，2）；

故x2+mx+n=（x﹣2）（x﹣x2）

=x2﹣（2+x2）x+2x2，

故m=﹣（2+x2），

故﹣4＜m＜﹣2．

【点评】本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用

设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是( )

A．（﹣∞，0） B．（0，4） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

D

【考点】指数型复合函数的性质及应用．

【专题】整体思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】先利用偶函数的图象关于y轴对称得出f（x）＞0的解集，再运用整体思想求f（x﹣2）＞0的解集．

【解答】解：根据题意，当x≥0时．f（x）=2x﹣4，

令f（x）=2x﹣4＞0，解得x＞2，

又∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x），其图象关于y轴对称，

∴不等式f（x）＞0在x∈R的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

因此，不等式f（x﹣2）＞0等价为：x﹣2∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

解得x∈（﹣∞，0）∪（4，+∞），

故选D．

【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质，涉及函数的奇偶性和不等式的解法，属于中档题．

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=（

x﹣1，若关于

）

x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（﹣2，6）内恰

有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )

A．（，1） B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）

【试题来源】山西省太原市2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

D

【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1），在区间（﹣2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=loga（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=loga（x+2）的图象，由图象解出答案．

【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，

且f（2+x）=f（2﹣x），

即为f（x+4）=f（﹣x）=f（x），

则f（x）为周期为4的函数．

当x∈时，f（x）=（）x﹣1，

可得x∈时，f（x）=f（﹣x）=（）﹣x﹣1，

又∵f（x）=loga（x+2）（a＞0且a≠1），

当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；

在0＜x＜6时，f（x）＞0，loga（x+2）＜0，则没有交点，

故a＞1，作出它们在区间（﹣2，6）内图象如右图：

当x=6时，f（6）=f（2）=1，loga（6+2）=1，解得a=8，

由于﹣2＜x＜6，即有a＞8，

y=f（x）和y=loga（x+2）有四个交点．

故选：D．

【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．

偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ． 【试题来源】陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

3

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．

【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，

所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），

即f（x+4）=f（x），

则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，

法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，

所以f（1）=f（3）=3，

因为f（x）是偶函数，

所以f（﹣1）=f（1）=3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础

函数f（x）=lgx2的单调递减区间是 ．

【试题来源】陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

（﹣∞，0）

【考点】复合函数的单调性．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由性，根据“同増异减”再来判断．

复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调

【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，

∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；

当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．

∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．

故答案为：（﹣∞，0）．

方法二：原函数是由复合而成，

∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；

又y=lgt在其定义域上为增函数，

∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，

∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．

故答案为：（﹣∞，0）．

【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．

已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为( )

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

【试题来源】陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

A

【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．

【解答】解：由设f（x）=xa，图象过点（，），

∴（）a=，解得a=，

∴log4f（2）=log42=．

故选A．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当为 （ ）

时, ,则的值

A．-3 B. C. D. 3

【试题来源】河北定州中学2016届高三上学期月考一数学（文理）试题

【答案解析】

B

：因为时, ,所以时，，即，所以

，故选B。

（本题15分）已知函数 ，其中a＞0

（1）a=2时，求函数在x∈(-1,6)上的值域

（2）若函数在x∈(-1,6)上既有最大值又有最小值，求a的范围

【试题来源】浙江省杭州市2016届高三上学期七校模拟质量检测数学（理）试题

【答案解析】

（1），时，

时，，值域

（2）

，

即

（如图）

要使函数f(x)在区间(-1,6)内既有最大值又有最小值，

则最小值一定在x=a时取得，最大值在时取得……10分

而f(a)=－a2,

所以 ………13分

解得4≤a＜6 ………15分

设函数f（x）=值范围是．

（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）⊆S，则a的取

A．（﹣∞，） B．[1，]∪（，2] C．（﹣∞，）∪[1，2] D．（，+∞）

【试题来源】四川省资阳市2016届高三上学期第一次诊断数学（理）试题

【答案解析】

C

【考点】函数的值域．

【专题】综合题；分类讨论；函数思想；集合思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】对a=0，a＞，a＜0分类求出分段函数的值域S，结合[1，+∞）⊆S，由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围．

【解答】解：a=0，函数f（x）=+∞），满足[1，+∞）⊆S，

=，函数的值域为S=（0，

a＞0，当x≥0时，f（x）=asinx+2∈[2﹣a，2+a]；当x＜0时，f（x）=x2+2a∈（2a，+∞）．

若0，f（x）的值域为（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴0；

若，即，f（x）的值域为[2﹣a，+∞），由[1， +∞）⊆S，得2﹣a

≤1，∴1≤a≤2；

若2+a＜2a，即a＞2，f（x）的值域为[2﹣a，2+a]∪（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴a∈∅；

a＜0，当x＜0，f（x）=x2+2a＞2a，此时一定有[1，+∞）⊆S．

综上，满足[1，+∞）⊆S的a的取值范围是（﹣∞，）∪[1，2]．

故选：C．

【点评】本题考查函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了集合间的关系，是中档题．

设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为 ． 【试题来源】四川省绵阳市南山中学2016学年高三上学期零诊数学（理）试题

【答案解析】

{﹣1，}

【考点】分段函数的应用；函数的零点．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．

【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．

若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，

由log2x=，解得x=．

由log2x=﹣，解得x==．

故方程的解集为{﹣1，}．

故答案为：{﹣1，}．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是 解决本题的关键．

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题号:1572457 难度:一般 作者:mty126@126.com 更新:02-13

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已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，

使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为

已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，

使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为

【试题来源】四川省绵阳市南山中学2016学年高三上学期零诊数学（理）试题

【答案解析】

[﹣1,3]

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．

【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，

∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，

∵y=2a2﹣4a，a∈R，

∴当a=1时，y最小值=﹣2，

∵函数f（x）=，

f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，

∴值域为

∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，

∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，

即﹣1≤a≤3，

【点评】本题综合考查了函数的性质，图象，对数学问题的阅读分析转化能力，数形结合的能力，属于中档题．

已知

成立，求a的取值范围．

，如果存在x1，x2∈使得

【试题来源】重庆市巴蜀中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

【考点】函数恒成立问题．

【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由题意转化为在x∈上，f（x）max﹣f（x）min≥（t）=at+

，即原题函数模型变为g

﹣2，t∈，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出a的范围．

【解答】解：首先存在x1，x2∈使得成立的意思是：

在x∈上，f（x）max﹣f（x）min≥，

f（x）==a•2x+﹣2

令，原题函数模型变为g（t）=at+﹣2，t∈，

1°当a≤0时，g（t）在单调递减，所以

等价于，所以a≤0

2°当0＜a＜1时，，

g（t）在上单调递减，在上单调递增

所以需要比较的位置与的关系，从而得到分类标准：

①时，时，g（t）在单调递增，

∵，

∴g（2）﹣g（）≥，解得a≥，

∴≤a＜1，

②当时，时，g（t）在单调递减，

∵，

∴g（）﹣g（2）≥，解得a≤，

∴

③大者，作差比较

时，，最大值在

，得到分类讨论标准：

中取较

（1）当时，，此时

由

得到g（）﹣g（）≥，

∴32a2﹣40a+9≥0，解得a≥，或a≤

∴，

（2）当≤a＜时，g（）﹣g（2）=3a﹣＞0，此时g（t）max=g（2），

由，

∴g（2）﹣g（）≥，

∴a≥2，解得a≥，

∴此时a∈∅，

在此分类讨论中，a∈（0，]∪上单调递增，

由，

∴g（2）﹣g（）≥，解得a≥，

∴a≥1，

综上三大类情况，可得a的范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．

【点评】本题考查二次函数的图象和性质的运用，主要考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于难题．

已知函数f（x）=|2x|，现将y=f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h（x）的图象．

（1）求函数h（x）的解析式；

（2）函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在求实数k的取值范围．

上至少有一个交点，

【试题来源】重庆市巴蜀中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

【考点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（1）根据图象的平移即可得到函数的解析式，

（2）方法一，采取分离参数，转化为在x∈上有解或者在

上有解，根据函数的性质即可求出k的范围

方法二，采用根的分布，原题等价于kx2﹣2（x﹣1）﹣1=0在x∈上有解或者kx2﹣2（1﹣x）﹣1=0在

上有解，分别根据根与系数的关系即可求出k的范围．

【解答】解：（1）由图象的平移，h（x）=2|x﹣1|+1

（2）解：函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在交点，等价于h（x）﹣g（x）=0在

上有解，

上至少有一个

即2|x﹣1|+1﹣kx2=0在上有解，

解法一：用分离参数处理：kx2=2|x﹣1|+1在上有解，

上有解，在

等价于在x∈上有解或者在上有解，

因为

综上，．

解法二：用实根分布：

原题等价于kx2﹣2（x﹣1）﹣1=0在x∈上有解或者kx2﹣2（1﹣x）﹣1=0在上有解，

（1）kx2﹣2（x﹣1）﹣1=0在x∈上有解

令g（x）=kx2﹣2（x﹣1）﹣1，k=0时显然无解．

当k＜0时，（舍）

当k＞0，或者

所以

（2）kx2﹣2（1﹣x）﹣1=0在上有解：

令h（x）=kx2+2x﹣3，k=0时显然无解．

当k＞0时，，所以1≤k≤8

当k＜0时，（舍）或者

所以1≤k≤8

综上，．

【点评】本题考查了函数解析式的求法和根的分布问题，关键是分类讨论，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

函数的值域为( )

A． B． C． D．

函数y=的图象可能是( )

A． B． C． D．

【试题来源】江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一上学期期中数学（平行班）试题

【答案解析】

B

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】当x＞0时，作出函数图象为B．

，当x＜0时，，

【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．

当x＞0时，，

当x＜0时，

的图象关于原点对称．

，此时函数图象与当x＞0时函数

故选B

【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．

定义在R上的奇函数f（x），满足＞0的解集为( )

，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）

A． B．

C． D．

【试题来源】江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一上学期期中数学（平行班）试题

【答案解析】

B

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由已知中f （）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集

【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，

∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，

∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0

当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0

综上xf（x）＞0的解集为

故选B

【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键．

已知函数f（x）=|log2x|，当0＜m＜n时，有f（n）=f（m）=2f（）．

（1）求mn的值；

（2）求证：1＜（n﹣2）2＜2．

【试题来源】辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】（1）由题意可得，﹣log2m=log2n，化简可得 mn=1，

（2）先根据均值定理得论．

＞1，由题意2=n，化简，再根据mn=1，得到结

【解答】解：（1）∵f（x）=|log2x|，当0＜m＜n时，有f（n）=f（m），

∴﹣log2m=log2n，

∴log2mn=0，

∴mn=1，

（2）根据均值定理得＞1，

∵f（n）=f（m）=2f（）．

∴2f（）=2log2=log2=log2n，

∴2=n，

∴m2+n2+2mn=4n，

即 n2﹣4n=﹣m2﹣2，

∴（n﹣2）2＜2﹣m2，

∵0＜m＜1，

∴0＜m2＜1，

∴1＜2﹣m2＜2，

即1＜（n﹣2）2＜2．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质和不等式的证明，属于中档题．

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有

，则

的值是 ．

【试题来源】辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

6

【考点】函数单调性的性质；函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，知f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣=n，f（n）=2，所以n+=2，解得n=1，由此能求出f（）=6．

【解答】解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，

∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）=n+，且f（n）=2．

再令x=n可得 n+=2，解得n=1，因此f（x）=1+，所以f（）=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．

已知函数f（x）=﹣|x|，则f（x）是( )

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇函数非偶函数

【试题来源】云南省昭通市水富一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

B

【考点】函数奇偶性的判断．

【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．

【分析】直接根据偶函数的定义判断即可

【解答】解：∵f（x）=﹣|x|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x）|

∴f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数

答案选：B

【点评】本题考查函数奇偶性，属于基础题．

已知函数f（x）=1+log2x，则的值为( )

A． B． C．0 D．﹣1

【试题来源】云南省昭通市水富一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

C

【考点】对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】把代入函数式利用对数运算法则即可求得．

【解答】解：由f（x）=1+log2x，

得=1+

=1+

=1﹣1=0．

故选C．

【点评】本题考查对数的运算法则，考查运算能力，熟记运算法则及其使用条件是解决该类题目的基础．

函数y=|lg（x+1）|的图象是（ ）

A． B． C．

D．

【试题来源】浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

A

【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】数形结合．

【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y=|lg（x+1）|的图象可由函数y=lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y=lg

（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项

【解答】解：由于函数y=lg（x+1）的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与X轴的交点是（1，0），

故函数y=lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y=|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），

考察四个选项中的图象只有A选项符合题意

故选A

【点评】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化 规律，由这些规律得出函数y=|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个

已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ）

A．f（x）=﹣x（x+2） B．f（x）=x（x﹣2） C．f（x）=﹣x（x﹣2） D．f（x）=x（x+2）

【试题来源】浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

D

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，设x＜0时则﹣x＞0，转化为已知求解．

【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，

设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]=x2+2x，

故选：D

【点评】本题考查了运用奇偶性求解析式，注意自变量的转化．

已知函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），则函数f（x+1）的定义域为（ ）

A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（0，3）

【试题来源】浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

A

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），求出2x+1的范围，再得出函数f（x）的定义域，最后求出函数f（x+1）的定义域．

【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），∴1＜2x﹣1＜3，

即函数f（x）的定义域为（1，3）．

∴函数f（x+1）的定义域需满足1＜x+1＜3，

即0＜x＜2，

函数f（x+1）的定义域为（0，2）

故选：A

【点评】本题考查了函数的概念，符合函数定义域的求解方法思路，要求对函数要素的理解非常好．

函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=lgx2，那么，f（﹣10）=（ ）

A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．10

【试题来源】山东省菏泽市2015-2016学年高一上学期期中考数学试题（B卷）

【答案解析】

B

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】先利用奇函数的定义，将所求函数值转换为求f（10），再利用已知函数解析式，求得f（10），进而得所求函数值

【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣10）=﹣f（10），

∵x∈（0，+∞）时，f（x）=lgx2，

∴f（10）=2，

∴f（﹣1）=﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查了奇函数的定义及其应用，利用函数的对称性求函数值的方法，转化化归的思想方法．

函数的零点所在的大致区间是（ ）

A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）

【试题来源】吉林省辽源市田家炳高中友好学校联考2015-2016学年高一上学期期末考数学试题

【答案解析】

C

【考点】函数的零点．

【专题】计算题．

【分析】根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符合相反，得到结果．

【解答】解：∵在（0，+∞）单调递增

∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，

∴f（1）f（2）＜0

∴函数的零点在（1，2）之间，

故选：C．

【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题．

已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）．

（1）求函数|f（x）|的单调区间；

（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得求b﹣a的取值范围．

与能同时成立，

【试题来源】浙江省二中2016届高三上学期期中数学试卷

【答案解析】

解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2

∴①当a2﹣b≥0时，单调区间为：（﹣∞，﹣a]上为减，[﹣a，+∞）上为增；

②当a2﹣b＜0时，单调区间为：减，

增，减，增，

（2）①当时，由方程，解得，

此时，

此时满足存在实数m，使得与能同时成立．

此时，a2≤b≤a2+，

∴对一切a∈[0，1]都成立，

解得b﹣a∈[﹣，]．

②当时，

由方程，解得

此时，

不满足存在实数m，使得与能同时成立；

③当时，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，

解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，

此时由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），

|x3﹣x4|=﹣=≤＜1

∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此时a2﹣b≤，

b，b﹣a≥对一切a∈[0，1]都成立，

解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．

综上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]

考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．

专题：综合题；压轴题．

分析：（1）f（x）=（x+a）2+a2﹣b开口向上，但a2﹣b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．

（2）存在实数m，使得同时成立，即为两变量对应的函

，的大小分情况讨论，

数值都小于等于的两变量之间间隔不超过1，故须对a2﹣b和求出a2﹣b的取值范围，进而求得b﹣a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2

∴①当a2﹣b≥0时，单调区间为：（﹣∞，﹣a]上为减，[﹣a，+∞）上为增；

②当a2﹣b＜0时，单调区间为：减，

增，减，增，

（2）①当时，由方程，解得，

此时，

此时满足存在实数m，使得与能同时成立．

此时，a2≤b≤a2+，

∴对一切a∈[0，1]都成立，

解得b﹣a∈[﹣，]．

②当时，

由方程，解得

此时，

不满足存在实数m，使得与能同时成立；

③当时，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，

解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，

此时由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），

|x3﹣x4|=﹣=≤＜1

∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此时a2﹣b≤，

b，b﹣a≥对一切a∈[0，1]都成立，

解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．

综上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．

点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破

已知函数y=x2﹣6x+8在[1，a]为减函数，则a的取值范围是( )

A．a≤3 B．1＜a≤3 C．a≥3 D．0≤a≤3

【试题来源】河南省信阳市2015-2016学年高一上学期期中数学试题

【答案解析】

B

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由二次函数在[1，a]为减函数可知[1，a]在对称轴左侧．

【解答】解：y=x2﹣6x+8图象开口向上，对称轴为x=3，

∵y=x2﹣6x+8在[1，a]为减函数，

∴1＜a≤3．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，是基础题．

若关于x的方程|3x﹣1|=k（k为常数且k∈R）有两个不同的根，则实数k的取值范围为 ．

【试题来源】河北省邢台一中2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试题

【答案解析】

（0，1）

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】作函数y=|3x﹣1|与y=k的图象，从而由题意可得函数y=|3x﹣1|与y=k的图象有两个不同的交点，从而解得．

【解答】解：作函数y=|3x﹣1|与y=k的图象如下，

，

∵方程|3x﹣1|=k有两个不同的根，

∴函数y=|3x﹣1|与y=k的图象有两个不同的交点，

∴0＜k＜1；

故答案为：（0，1）．

【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．