【压轴必考】2023学年七年级数学上册压轴题攻略(人教版)-线段上动点问题的三种考法(解析版)

类型一、求值问题

例.数轴上有A B C三点 A B表示的数分别为m nmn 点C在B的右侧

ACAB2．

37m(1)如图1 若多项式n1x2x3x1是关于x的二次三项式 请直接写出m n的值：

(2)如图2 在（1）的条件下 长度为1的线段EF（E在F的左侧）在A B之间沿数轴水平滑动（不与A B重合） 点M是EC的中点 N是BF的中点 在EF滑动过程中 线段

MN的长度是否发生变化 请判断并说明理由；

(3)若点D是AC的中点．

①直接写出点D表示的数____________（用含m n的式子表示）； ②若AD2BD4 试求线段AB的长．

【答案】(1)m5 n1；(2)不变化 理由见解析；(3)①【解析】(1)解：由题可知 n-1=0 7+m=2 ∴n1 m5

故答案为：m5 n1

(2)解：MN的长不发生变化 理由如下： 由题意 得点C表示的数为3

设点E表示的数为x 则点F表示的数为x1

∴AB6 BC2 AEx5 AFx6 EC3x BFx ∴点M是EC的中点 N是BF的中点 ∴MCME3xx3xx11 NF 即MNMEEFFN2222210mn1；② 23

(3)解：①∴A B表示的数分别为m nmn 又点C在B的右侧 ∴AB=n-m ∴ACAB2 ∴AC= n-m+2

11∴点D是AC的中点 ∴AD=AC= （n-m+2）

22∴D表示的数为：m+

mn11 （n-m+2）=22②依题意 点C表示的数分别为n2 ∴ABnm AD∴BDmnnm1m1 22mnmnmn1n1 2BD21mn2 222∴AD2BD4 即当mn20时．

nm1mn24 2nm1mn24 mn2 2∴mn ∴mn2不符合题意 舍去 当mn20时．

nm101mn24 nm 23综上所述 线段AB的长为

10. 3

【变式训练1】如图1 点C在线段AB上 图有三条线段AB AC和BC 若其中有一

条线段的长度是另外一条线段长度的2倍 则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；

（2）如图2 已知AB＝15cm．动点P从点A出发 以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发 以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动 点P Q同时出发 当其中一点到达终点时 运动停止．设移动的时间为t（s） 当t＝__s时 Q为A P的“巧点”．

【答案】是 7.5或

45 7【解析】（1）若线段中点为C点 AB＝2AC 所以中点是这条线段“巧点”

t最大＝7.5 A：0 P：0+2t＝2t Q：（2）设A点为数轴原点 作数轴 设运动时间为t秒；

15﹣t

①Q为AP中点 15t2t0 ∴t＝7.5； 2②AQ＝2PQ AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15 ∴AQ＝2PQ ∴15﹣t＝2（3t﹣15） ∴t45； 745． 7③PQ＝2AQ 得3t﹣15＝2（15﹣t） ∴t＝97.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或故答案为：（1）是；（2）7.5或

45． 7【变式训练2】已知：如图1 M是定长线段AB上一定点 C、D两点分别从M、B出发以

1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动 运动方向如箭头所示（C在线段AM上 D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm 当点C、D运动了1s 求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时 总有MD＝3AC 直接填空：AM＝ BM． (3)在（2）的条件下 N是直线AB上一点 且AN﹣BN＝MN 求

2MN的值． 3AB211【答案】(1)7cm；(2)；(3)或

333【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时 CM＝1cm BD＝3cm ∴AB＝11cm CM＝1cm BD＝3cm

∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：设运动时间为t 则CM＝t BD＝3t ∴AC＝AM﹣t MD＝BM﹣3t

1又MD＝3AC ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t 即BM＝3AM ∴AM=BM

31故答案为：．

3(3)解：由（2）可得：

1∴BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM ∴AM＝AB

4①当点N在线段AB上时 如图

∴AN﹣BN＝MN

12MN11=． 又∴AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB ∴MN＝2AB 即

43AB3②当点N在线段AB的延长线上时 如图

∴AN﹣BN＝MN

又∴AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB ∴综上所述

2MN2MN=1,即=．

3AB3AB2MN12＝或 33AB3【变式训练3】如图 数轴上有两点A,B 点C从原点O出发 以每秒1cm的速度在线段

OA上运动 点D从点B出发 以每秒4cm的速度在线段OB上运动．在运动过程中满足OD4AC 若点M为直线OA上一点 且AMBMOM 则

AB 的值为_______．

OM

【答案】1或

5 3【解析】设运动的时间为t秒 点M表示的数为m

则OC=t BD=4t 即点C在数轴上表示的数为-t 点D在数轴上表示的数为b-4t ∴AC=-t-a OD=b-4t

由OD=4AC得 b-4t=4（-t-a） 即：b=-4a ①若点M在点B的右侧时 如图1所示：

由AM-BM=OM得 m-a-（m-b）=m 即：m=b-a； ∴

ABbam=1 OMmm②若点M在线段BO上时 如图2所示：

由AM-BM=OM得 m-a-（b-m）=m 即：m=a+b； ∴

ABbaba4aa5= OMmaba4a3③若点M在线段OA上时 如图3所示：

由AM-BM=OM得 m-a-（b-m）=-m 即：maba4aa 33∴此时m＜0 a＜0 ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时 如图4所示：

由AM-BM=OM得 a-m-（b-m）=-m 即：m=b-a=-5a；而m＜0 b-a＞0 因此 不符合题意舍去 综上所述

AB5的值为1或． OM3类型二、证明定值问题

例.如图 已知线段ABm CDn 线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧

点C在点D的左侧） 若m126n0． （1）求线段AB CD的长；

（2）若点M N分别为线段AC BD的中点 BC4 求线段MN的长；

（3）当CD运动到某一时刻时 点D与点B重合 点P是线段AB的延长线上任意一点 下列两个结论：①以说明．

2PAPBPAPB是定值 ②是定值 请选择你认为正确的一个并加PCPC

【答案】（1）AB12 CD6；（2）9；（3）②正确

2PAPB2 见解析 PC2【解析】（1）由m126n0 m120，6n=0 6n0 m12=0，得m12 n6 所以AB12 CD6； （2）当点C在点B的右侧时 如图

因为点M N分别为线段AC BD的中点 BC4 所以AM111ACABBC1248 222DN111BDCDBC645 222又因为ADABBCCD124622 所以MNADAMDN22859 当点C在点B的左侧时 如图

因为点M N分别为线段AC BD的中点 所以AMMC111ACABBC1244 222BNND111BDCDBC641 222所以ADABCDBC126414 所以MNADAMDN14419． 综上 线段MN的长为9； （3）②正确 且

PAPB2．理由如下： PC因为点D与点B重合 所以BCDC

所以ACABBCABDC6 所以ACBC 所以

PAPBPCACPCBC2PCACBC2PC2．

PCPCPCPC

【变式训练1】已知线段AB＝m CD＝n 线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧 C在

D的左侧） 且m n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ n＝ ；

（2）点D与点B重合时 线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．

①如图1 点C在线段AB上 若M是线段AC的中点 N是线段BD的中点 求线段MN

的长；

②P是直线AB上A点左侧一点 线段CD运动的同时 点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动 点E是线段BC的中点 若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中 FC－5DE是否为定值 若是 请求出该定值；若不是 请说明理由．

2

∴|m－12|＋12；【解析】（1）（n－4）＝0 ∴m－12=0 n－4=0 ∴m=12 n=4；故答案为：

4．

（2）由题意 ①∴AB=12 CD=4

∴M是线段AC的中点 N是线段BD的中点 ∴AM=CM=∴MN=CM+CD+DN=(AB +CD)=8；

②如图 设PA=a 则PC=8+a PE=10+a

依题意有：

11AC DN=BN=BD 22111111111AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=222222222a8a101 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t BC=4+2t

32311BC=2+t； 2∴E是线段BC的中点 ∴CE= BE=

∴．如图1 F C相遇 即t=2时

F C重合 D E重合 则FC=0 DE=0 ∴FC-5 DE =0； ∴．如图2 F C相遇前 即t<2时

FC =10-5t DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； ∴．如图3 F C相遇后 即t＞2时

FC =5t-10 DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中 FC-5 DE的值为定值 且定值为0．

【变式训练2】如图 数轴上点A B表示的有理数分别为6 3 点P是射线AB上的一

M是线段AP靠近点A的三等分点 N是线段BP靠近点B的个动点（不与点A B重合）三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0 那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6 那么

MN的长为________；

（2）点P在射线AB上运动（不与点A B重合）的过程中 MN的长是否发生改变？若不改变 请写出求MN的长的过程；若改变 请说明理由． 【答案】（1）6；6；（2）不发生改变 MN为定值6 过程见解析 【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1） 则AP=6 BP=3．

∴M是线段AP靠近点A的三等分点 N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=4 NP=BP=2 ∴MN=MP+NP=6；

若点P表示的有理数是6（如图2） 则AP=12 BP=3．

∴M是线段AP靠近点A的三等分点 N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=8 NP=BP=2 ∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6． （2）MN的长不会发生改变 理由如下： 设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）． 当-6＜a＜3时（如图1） AP=a+6 BP=3-a．

∴M是线段AP靠近点A的三等分点 N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=（a+6） NP=BP=（3-a） ∴MN=MP+NP=6； 当a＞3时（如图2） AP=a+6 BP=a-3．

∴M是线段AP靠近点A的三等分点 N是线段BP靠近点B的三等分点．

2323232323232323∴MP=AP=（a+6） NP=BP=（a-3） ∴MN=MP-NP=6．

综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A B重合）的过程中 MN的长为定值6．

23232323【变式训练3】(1)如图1 在直线AB上 点P在A、B两点之间 点M为线段PB的中点

点N为线段AP的中点 若ABn 且使关于x的方程n4x6n无解. ①求线段AB的长；

②线段MN的长与点P在线段AB上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2 点C为线段AB的中点 点P在线段CB的延长线上 试说明

PAPB的值不变. PC

【答案】（1）①AB=4；②线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关 理由见解析；（2）见解析.

【详解】解：（1）①∴关于x的方程n4x6n无解．∴n4=0 解得：n=4．故AB=4．②线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关 理由如下： ∴M为线段PB的中点 ∴PM= 同理：PN=

1212PB．

AP．．

12∴MN=PN+PM= （PB+AP）=

12AB=

12×4=2．

∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关． （2）设AB=a BP=b 则PA+PB=a+b+b=a+2b． ∴C是AB的中点 BC11ABa 221PCPBBCab

2PAPBa2b21 PCab2所以

PAPB的值不变. PC类型三、数量关系 例.数轴上A、B两点对应的数分别是4,12 线段CE在数轴上运动 点C在点E的左边

且CE8,点F是AE的中点．

（1）如图1 当线段CE运动到点C,E均在A,B之间时 若CF1 则AB_________ 点C对应的数为________

BE________；

（2）如图2 当线段CE运动到点A在C、E之间时 画出草图并求BE与CF的数量关系．

【答案】（1）16；2；2；（2）BE2CF 画图见解析． 【解析】（1）

数轴上A、B两点对应的数分别是4,12 AB12(4)16

CE8,CF1EFCECF7

点F是AE的中点 AFEF7 ACAFCF6

ACAOCO6 CO2 C对应的数是2 BEABAFEF2

故答案为：16；2；2； （2）

BEABAE,CFCEEF

点F是AE的中点 AE2EF

BEABAE162EF,CFCEEF8EF BE2CF

故答案为：（1）16；2；2；（2）BE2CF 画图见解析．

4【变式训练1】如图 已知线段AB 延长线段BA至C 使CB＝AB．

3

（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出

AC＝ _______； AB（2）设AB ＝ 9cm 点D从点B出发 点E从点A出发 分别以3cm/s 1cm/s的速度沿直线AB向左运动．

①当点D在线段AB上运动 求

AD的值； CE②在点D E沿直线AB向左运动的过程中 M N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时 求MN的长． 1【答案】（1） （2）3 （3）12cm或24cm．

3【详解】解：（1）图形补充完整如图

41AC11 故答案为：； ∵CB＝AB ∴CA＝BCABAB

333AB3（2）①AB ＝ 9cm 由（1）得 CA1AB3（cm） 设运动的时间为t秒 3DA(93t)cm CE(3t)cm

AD93t=3 CE3t

②当BD3CD时 ∴AB ＝ 9cm CA3cm ∴CB2CD12cm ∴CD6cm BD3CD18cm

运动时间为：18÷3=6（秒） 则AE6cm

BEBAAE15cm EDBDBE3cm

∴M N分别是线段DE、AB的中点．∴DM1.5cm BN4.5cm

MNBDDMBN12cm

当BD3CB时 ∴AB ＝ 9cm CA3cm ∴CB12cm ∴BD3CB36cm

36÷3=12运动时间为：（秒） 则AE12cm BEBAAE21cm EDBDBE15cm ∴M N分别是线段DE、AB的中点．∴DM7.5cm BN4.5cm

MNBDDMBN24cm

综上 MN的长是12cm或24cm．

【变式训练2】已知点C在线段AB上 AC＝2BC 点D、E在直线AB上 点D在点E的

左侧

（1）若AB＝18 DE＝8 线段DE在线段AB上移动 ①如图1 当E为BC中点时 求AD的长； ②当点C是线段DE的三等分点时 求AD的长；

（2）若AB＝2DE 线段DE在直线上移动 且满足关系式＝ ． 【答案】（1）①AD＝7；②AD＝

20281711或；（2）或 33426CDADEC3 则BE2AB【详解】解：（1）∴AC＝2BC AB＝18 ∴BC＝6 AC＝12 ①∴E为BC中点 ∴CE＝3

∴DE＝8 ∴CD＝5 ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7； ②∴点C是线段DE的三等分点 DE＝8

16182∴CE＝DE＝或CE＝DE＝

3333∴CD＝

168或CD＝

33∴AD＝AC﹣CD＝12﹣

1620828＝或12-=；

3333（2）当点E在线段BC之间时 如图

设BC＝x 则AC＝2BC＝2x ∴AB＝3x ∴AB＝2DE ∴DE＝1.5x

设CE＝y ∴AE＝2x+y BE＝x﹣y ∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y ∴

0.5xyy3ADEC3 ∴y＝2x  ∴

7xy2BE217x217； ∴CD＝1.5x﹣x＝x ∴CD1471417AB3x42当点E在点A的左侧 如图

设BC＝x 则DE＝1.5x

设CE＝y ∴DC＝EC+DE＝y+1.5x ∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x ∴

y0.5xy3ADEC3  BE＝EC+BC＝x+y ∴

xy2BE2∴y＝4x ∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x ∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x

∴

CD5.5x11 AB3x6当点E在线段AC上及点E在点B右侧时 无解 综上所述

CD1711的值为或．

42AB61711或． 426故答案为：课后作业

1.已知有理数a b c在数轴上对应的点从左到右顺次为A B C 其中b是最小的正整数 a在最大的负整数左侧1个单位长度 BC=2AB． （1）填空：a= b= c=

（2）点D从点A开始 点E从点B开始 点F从点C开始 分别以每秒1个单位长度、14个单位长度的速度在数轴上同时向左运动 点F追上点D时停止动 设运动个单位长度、时间为t秒．试问：

①当三点开始运动以后 t为何值时 这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前 是否存在常数k 使得DFkEF的值与它们的运动时间无关 为定值．若存在 请求出k和这个定值；若不存在 请说明理由． 【答案】（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=

5；②k=-1 2【解析】（1）∴最小正数为1．最大的负整数为小-1 a在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A表示的数a为-1-1=-2 点B表示的数b为1 ∴AB=1-（-2）=3

∴BC2AB23=6 ∴点C表示的数为c=1+6=7 故答案为：-2 1 7；

（2）①依题意 点F的运动距离为4t 点D、E运动的距离为t,

∴点D、E、F分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,当点F追上点D时 必将超过点B ∴存在两种情况 即DE=EF和DF=EF 如图 当DE=EF 即E为DF的中点时

21t=2t+74t 解得 t=1

如图 当EF=DF 即F为DE中点时

5274t=2t1t 解得t=

2

综上所述 当ｔ=１秒和ｔ＝

5时 满足题意． 2②存在 理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,

如图 F在追上E点前 DF74t-2t=93t EF74t-1t=63t

DFkEF93tk63t96k33kt 当DFkEF与t无关时 需满足3+3k=0 即k=-1时 满足条件．

故答案为：（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=

5；②k=-1 22．已知点C在线段AB上 AC2BC 点D、E在直线AB上 点D在点E的左侧．若AB18 DE8 线段DE在线段AB上移动．

(1)如图1 当E为BC中点时 求AD的长；

(2)点F（异于A B C点）在线段AB上 AF3AD CEEF3 求AD的长． 【答案】(1)7；(2)3或5

【解析】(1)AC2BC AB18 BC6 AC12 如图1

E为BC中点 CEBE3

DE8 ∴BDDEBE8311 ∴ADABDB18117

(2)Ⅰ、当点E在点F的左侧 如图2

或

∵CEEF3 BC6 点F是BC的中点 ∴CFBF3 ∴AFABBF18315 ∴AD1AF5 3∵CEEF3 故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3 当点E在点F的右侧

或

AC12 CEEFCF3 ∴AFACCF9

∴AF3AD9

AD3．

∵CEEF3 故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：AD的长为3或5．

3.已知线段AB 点C在直线AB上 D为线段BC的中点．

(1)若AB8 AC2 求线段CD的长．

(2)若点E是线段AC的中点 请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5

(2)AB2DE 理由见解析

【解析】(1)解：如图1 当C在点A右侧时

∴AB8 AC2 ∴BCABAC6 ∴D是线段BC的中点 ：∴CD如图2 当C在点A左侧时

∴AB8 AC2 ∴BCABAC10 ∴D是线段BC的中点 ∴CD(2)解：AB2DE．

理由是：如图3 当C在点A和点B之间时

1BC3； 21BC5；综上所述 CD3或5； 2

∴E是AC的中点 D是BC的中点 ∴AC2EC BC2CD ∴ABACBC2EC2CD2DE； 如图4 当C在点A左侧时

同理可得：ABBCAC2CD2CE2CDCE2DE； 如图5 当C在点B右侧时

同理可得：ABACBC2EC2CD2ECCD2DE．

4.已知：如图1 M是定长线段AB上一定点 C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动 运动方向如箭头所示（C在线段AM上 D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm 当点C、D运动了1s 求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时 总有MD＝3AC 直接填空：AM＝ BM． (3)在（2）的条件下 N是直线AB上一点 且AN﹣BN＝MN 求

2MN

的值． 3AB

211【答案】(1)7cm；(2)；(3)或

333【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时 CM＝1cm BD＝3cm ∴AB＝11cm CM＝1cm BD＝3cm

∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．

(2)解：设运动时间为t 则CM＝t BD＝3t ∴AC＝AM﹣t MD＝BM﹣3t 11又MD＝3AC ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t 即BM＝3AM ∴AM=BM 故答案为：．

33(3)解：由（2）可得：

1∴BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM ∴AM＝AB

4①当点N在线段AB上时 如图

∴AN﹣BN＝MN

12MN11=． 又∴AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB ∴MN＝2AB 即

43AB3②当点N在线段AB的延长线上时 如图

∴AN﹣BN＝MN

又∴AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB ∴

5．如图 在数轴上A点表示的数为a B点表示的数为b C点表示的数为c b是最大的

2负整数 且a c满足a3c90．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左

2MN22MN12MN=1,即=．综上所述＝或

33AB33AB3AB运动 到达点A后立刻返回到点C 到达点C后再返回到点A并停止．

（1）a________ b________ c________．

（2）点P从点B离开后 在点P第二次到达点B的过程中 经过x秒钟 PAPBPC13 求x的值．

（3）点P从点B出发的同时 数轴上的动点M N分别从点A和点C同时出发 相向而行 速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 假设t秒钟时 P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点 请直接写出所有满足条件的t的值．

23152616 8 12 【答案】（1）3 1 9；（2）x或x1或x或x；（3）t 1

7331732【详解】解：（1）∴b是最大的负整数 且a c满足a3c90

∴b=-1 a+3=0 c-9=0 ∴a=-3 c=9．

故答案为：-3；-1；9．

（2）由题意知 此过程中 当点P在AB上时． ∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2． ∴PC13-PAPB=13-2=11． 又∴BC=c-b=9-(-1)=10．

∴PB=PC-BC=11-10=1． 当P从B到A时 如图所示： ∴PB=1 可以列方程为：3x=1 解得：x=1；

当P从A到C时 分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时 如图所示：

可以列方程为：3x=3, 解得：x=1

②当P在线段BC之间时 如图所示：

∴PA+PB+PC=13 AB=2 BC=10 ∴PB+PC=10 ∴PA=13-10=3 ∴PB=PA-AB=3-2=1 可列方程为：3x=5 解得：x53．

当P从C到B时 如图所示：

可列方程为：3x=23 解得：x233． 综上所述 x13或x1或x5233或x3．

（3）当点从为PN中点时 当0（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t） 解得t=78 （舍去）．

422当≤t≤时 点P从A返回向B运动．此时 P=-3+3（t-）=3t-5． 33343t-5+9-5t=2（-3+4t） 解得t=1．当P为MN中点时 t>．

3（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5） 解得t=（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=

1 ．当点N为PM中点时 t>． 73162626．综上所述 t的值为1 或． 171776．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时 得到一个很有意思的结论 请跟随他们一起思考. （1）发现：

如图1 线段AB12 点C,E,F在线段AB上 当点E,F是线段AC和线段BC的中点时 线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上 其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整） 得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.

（2）应用：

如图3 现有长为40米的拔河比赛专用绳AB 其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了 磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳

AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小

明所在学习小组认为此法可行 于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF 请你尝试着“复原”他们的做法：

①在图中标出点E、点F的位置 并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E,F点的理由.

【答案】（1）6；补图见解析 EF1AB （2）①见解析（答案不唯一）②见解析. 2【详解】解：（1）点C,E,F在线段AB上时 因为点E是线段AC的中点 所以CE=2AC 因为点F是线段BC的中点 所以CF=2BC 所以EF=CE+CF=2AC+2BC=2AB 又AB=12 所以EF=6．

11111当点C在线段AB的延长线上时 如图2

此时 EF=EC-FC∴2AC-2BC=2AB. 答案为：6；EF=2AB. （2）①

图3

如图 在CD上取一点M 使CMCA F为BM的中点 点E与点C重合. （答案不唯一）②因为F为BM的中点 所以MFBF. 因为ABACCMMFBF,CMCA 所以AB2CM2MF2(CMMF)2EF. 因为AB40米 所以EF20米.

因为ACBD20米 ABACBDCD40米 所以CD20米.

因为点E与点C重合 EF20米 所以CF20米 所以点F落在线段CD上. 所以EF满足条件. 7．问题背景

整体思想就是从问题的整体性质出发 突出对问题的整体结构的分析 把握它们之间的关联 进行有目的、有意识的整体处理 整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．

1111

(1)如图1 A、B、O三点在同一直线上 射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC 则∴DOE的度数为 （直接写出答案）．

(2)当x＝1时 代数式ax3+bx+2021的值为2020 当x＝﹣1时 求代数式ax3+bx+2021的值．

(3)①如图2 点C是线段AB上一定点 点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动 若点E的运动速度是点D运动速度的3倍 且整个运动过程中始终满足CE＝3CD 求

AC的值； ABE运动②如图3 在①的条件下 若点E沿直线AB向左运动 其它条件均不变．在点D、Q分别是AE、CE的中点 若运动到某一时刻 恰好CE＝4PQ 求此时过程中 点P、的值．

ADAB151【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①；②或

12124【解析】(1)解：如图1 ∴射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC

∴∴DOC =112∴AOC ∴COE=2∴BOC ∴∴DOE=∴DOC+∴COE

∴∴DOE=1112∴AOC+2∴BOC=2(∴AOC+∴BOC) ∴∴AOC+∴BOC=180° ∴∴DOE=12×180°=90° 故答案为：90°．

(2)∴当x＝1时 代数式ax3+bx+2021的值为2020 ∴a +b+2021=2020 ∴a+b=-1 ∴-a-b=1

当x＝﹣1时 ax3+bx+2021= -a-b+2021=1+2021=2022． (3)①如图2

设点D运动的路程为x 则点E运动的路程为3x ∴CE＝BC+BE=BC+3x CD=CA+AD=CA+x ∴CE＝3CD ∴BC+3x= 3CA+3x ∴CB=3AC ∴AB=CB+AC=4AC ∴

ACAB=14． ②根据① 设AC=m 则CB=3m AB=4m 设点D运动的路程为AD=x 程为EB=3x

当点E在C点的右侧时 如图3

则点E运动的路 ∴CE＝BC-BE=3m-3x CD=CA+AD=m+x ∴点P、Q分别是AE、CE的中点 ∴PE=∴PQ=PE-QE=

11AE QE=CE 221111mAE-CE=(AECE)AC 22222mm 解得x=

32∴CE＝4PQ ∴3m-3x=4×

ADm1． =3故AD= ∴

3ABm4m12当点E在C点的左侧 且在点A的右侧时 如图4

∴CE＝BE-BC=3x-3m CD=CA+AD=m+x ∴点P、Q分别是AE、CE的中点 ∴PE=∴PQ=PE+QE=

11AE QE=CE 221111mAE+CE=(AECE)AC 22222m5m5mADm5． ∴CE＝4PQ ∴3x-3m=4× 解得x= 故AD= ∴=32AB334m12当点E在A点的左侧时 如图5

∴CE＝BE-BC=3x-3m CD=CA+AD=m+x ∴点P、Q分别是AE、CE的中点 ∴PE=∴PQ=PE+QE=

11AE QE=CE 221111mAE+CE=(AECE)AC 222225mm 解得x= 23∴CE＝4PQ ∴3x-3m=4×

5m5mAD5． ∴=3故AD=

AB34m12综上所述

51AD的值为或． AB12128．已知：如图1 点M是线段AB上一定点 AB＝12cm C、D两点分别从M、B出发以

1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动 运动方向如箭头所示（C在线段AM上 D在线段BM上）

D运动了2s 此时AC＝ DM＝ ；（1）若AM＝4cm 当点C、（直接填空） （2）当点C、D运动了2s 求AC+MD的值．

（3）若点C、D运动时 总有MD＝2AC 则AM＝ （填空） （4）在（3）的条件下 N是直线AB上一点 且AN﹣BN＝MN 求【答案】（1）2 4；（2）6 cm；（3）4；（4）

MN1或1． AB3MN的值． AB【详解】（1）根据题意知 CM＝2cm BD＝4cm ∴AB＝12cm AM＝4cm ∴BM＝8cm

∴AC＝AM﹣CM＝2cm DM＝BM﹣BD＝4cm 故答案为：2cm 4cm； （2）当点C、D运动了2 s时 CM＝2 cm BD＝4 cm ∴AB＝12 cm CM＝2 cm BD＝4 cm

∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC

∴MD＝2AC ∴BD+MD＝2（MC+AC） 即MB＝2AM

1∴AM+BM＝AB ∴AM+2AM＝AB ∴AM＝AB＝4 故答案为：4；

3（4）①当点N在线段AB上时 如图1

∴AN﹣BN＝MN

又∴AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝4 ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4 ∴

MN1； AB3②当点N在线段AB的延长线上时 如图2

∴AN﹣BN＝MN

又∴AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB＝12 ∴综上所述

MN1或1 AB3MN1； AB故答案为

MN1或1． AB39．如图 数轴正半轴上的A B两点分别表示有理数a b O为原点 若a3 线段OB5OA.

（1）a______ b______；

（2）若点P从点A出发 以每秒2个单位长度向x轴正半轴运动 求运动时间为多少时；点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍；

（3）数轴上还有一点C表示的数为32 若点P和点Q同时从点A和点B出发 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动 P点到达C点后 再立刻以同样的速度返回 运动到终点A 求点P和点Q运动多少秒时 P、Q两点之间的距离为4. 509【答案】（1）a3 b15；（2）9或；（3）8或

32【详解】解：（1）∴数轴正半轴上的A B两点分别表示有理数a b |a|=3 线段OB=5OA ∴a=3 b=15 故答案为：3 15；

（2）设运动时间为t秒时 点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍． 由题意得：AB=15-3=12 当点P在A、B之间时 有 92t=3（12-2t） 解得：t=；

2当点P在B的右边时 有 2t=3（2t-12） 解得t=9；

9即运动时间为或9秒时 点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；

2（3）根据题意 由点C为32 则 AC=32-3=29 BC=32-15=17 ∴点P运动到点C所需要的时间为：t点Q运动到点C所需要的时间为：t则可分为两种情况进行分析： ①当点P还没有追上点Q时 有：

2914.5秒 21717秒 1t122t4

解得：t8；

②当点P运动到点C返回时 与点Q相遇后 与点Q相距4 则有：

2tt124292

解得：t50. 310．已知数轴上三点M O N对应的数分别为－3 0 1 点P为数轴上任意一点 其对应的数为x．

(1)如果点P到点M 点N的距离相等 那么x的值是______；

(2)数轴上是否存在点P 使点P到点M 点N的距离之和是5？若存在 请直接写出x的值；若不存在 请说明理由．

(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时 点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动 且三点同时出发 那么几分钟时点P到点M 点N的距离相等.（直接写出答案） 【答案】（1）1；（2）x=3.5或1.5；（3）t离相等．

【详解】解：（1）∴M O N对应的数分别为-3 0 1 点P到点M 点N的距离相等 ∴x的值是1．故答案为1； （2）存在符合题意的点P；

∴点M为-3 点N为1 则点P分为两种情况 ①点P在N点右侧 则

4分钟或t=2分钟时点P到点M 点N的距3(x1)(x3)5 解得：x1.5； ②点P在M点左侧 则

(3x)(1x)5 解得：x3.5； ∴x3.5或=1.5.

（3）设运动t分钟时 点P对应的数是-3t 点M对应的数是-3-t 点N对应的数是1-4t． ①当点M和点N在点P同侧时 因为PM=PN 所以点M和点N重合 所以：-3-t=1-4t

4解得t＝ 符合题意．

3②当点M和点N在点P两侧时 有两种情况．

情况1：如果点M在点N左侧 PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t． 因为PM=PN 所以3-2t=1-t 解得t=2．

此时点M对应的数是-5 点N对应的数是-7 点M在点N右侧 不符合题意 舍去．

情况2：如果点M在点N右侧 PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1． 因为PM=PN 所以2t-3=t-1 解得t=2．

此时点M对应的数是-5 点N对应的数是-7 点M在点N右侧 符合题意． 综上所述 三点同时出发

4分钟或2分钟时点P到点M 点N的距离相等． 311．如图 P是定长线段AB上一点 C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上 D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时 总有PD＝2AC 请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下 Q是直线AB上一点 且AQ﹣BQ＝PQ 求

1（3）在（1）的条件下 若C、D运动5秒后 恰好有CDAB 此时C点停止运动 D

2PQ的值． AB点继续运动（D点在线段PB上） M、N分别是CD、PD的中点 下列结论：①PM﹣PN的值不变；②求值．

MN的值不变 可以说明 只有一个结论是正确的 请你找出正确的结论并ABMN11【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变.

33AB【详解】解：（1）由题意：BD=2PC

1∴PD=2AC ∴BD+PD=2（PC+AC） 即PB=2AP ∴点P在线段AB上的处；

3（2）如图：

∴AQ-BQ=PQ ∴AQ=PQ+BQ

PQ11 ∴AQ=AP+PQ ∴AP=BQ ∴PQ=AB ∴

3AB3（3）②

MN的值不变. AB理由：如图

1当点C停止运动时 有CD=AB

211∴CM=AB ∴PM=CM-CP=AB-5

442121∴PD=AB-10 ∴PN=（AB-10）=AB-5

3323∴MN=PN-PM=

1AB 12当点C停止运动 D点继续运动时 MN的值不变

1所以MNAB1. AB12AB12