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专题强化一 运动学图象 追及相遇问题
专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题.
2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力.
3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.
一、运动学图象 1.直线运动的x－t图象 (1)图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小 ②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向. (3)交点
两图线交点，表示两物体相遇. 2.直线运动的v－t图象 (1)图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小. ②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向. (3)两种特殊的v－t图象
①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线. ②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线. (4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1)
图1
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①图象与时间轴围成的面积表示位移.
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负. (5)交点
两图线交点表示此时两物体速度相同.
自测1 甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图2所示，由图象可以看出在0～4 s内( )
图2
A.甲、乙两物体始终同向运动
B.第4 s末时，甲、乙两物体间的距离最大 C.甲的平均速度等于乙的平均速度 D.乙物体一直做匀加速直线运动 答案 C
解析 由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内两者反向运动，选项A错误；第4 s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误.
自测2 如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知( )
图3
A.前1 s物体的位移大小为1 m B.前2 s末物体的瞬时速度大小为2 m/s C.前3 s内物体的加速度大小为3 m/s D.前3 s物体做匀变速直线运动 答案 A
解析 在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1 s内物体1Δv的位移大小x＝×1×2 m＝1 m，选项A正确；在1～3 s内由题图得，物体的加速度a＝
2Δt精品K12教育教学资料
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0－2 m/s2＝＝－1 m/s，第2 s末物体的瞬时速度v＝v0＋at＝2 m/s－1 m/s×1 s＝1 m/s，3 s－1 s
选项B、C错误；第1 s内物体做匀加速直线运动，1～3 s内物体做匀减速直线运动，选项D错误.
二、追及与相遇问题 1.概述
当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2.两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近. 3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离. (2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离. 自测3 平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则( )
A.乙车追上甲车所用的时间为10 s B.乙车追上甲车所用的时间为20 s C.乙追上甲时，乙的速度是15 m/s D.乙追上甲时，乙的速度是10 m/s 答案 B
解析 设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲
2
t＝at2，解得t＝20 s，选项A错误，B
1
2
正确；由v＝at得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20 m/s，选项C、D错误.
命题点一 运动学图象的理解和应用
1.x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象 v－t图象 精品K12教育教学资料
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图象 举例 意义 特别处 运动 情况 位移 平均 速度 2.三点说明
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 两条图线的交点表示相遇 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动 图线与时间轴所围面积表示位移 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度 (1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹； (2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系； (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.
例1 (多选)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知( )
图4
A.在时刻t1，a车追上b车
B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加 D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大 答案 BC
解析 由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于
t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的
变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.
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例2 (2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v—t图象如图5所示.在这段时间内( )
图5
A.汽车甲的平均速度比乙的大 B.汽车乙的平均速度等于
v1＋v2
2
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案 A
解析 根据v—t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于
xtv1＋v2
2
，选项B错误；根据v—t图象的斜率反映了加速度
的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误.
变式1 甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处.则下列说法正确的是( )
图6
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0＝60 m处 C.乙车的加速度大小为1.6 m/s 精品K12教育教学资料
2
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D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大 答案 C
Δx20
解析 由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s.故A错；由题图可
Δt512
知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝at.由题图可知，
2122
当其反向运动5 s时，位移为20 m.则有20＝a·5，得加速度大小a＝1.6 m/s.因其共运
212
动了10 s，可得x0＝×1.6×10 m＝80 m.C对，B错；t＝5 s时，两车相遇，但甲车速度
2
v甲＝4 m/s小于乙车速度v乙＝8 m/s，D错.
变式2 (2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是( )
图7
A.在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B.甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同 C.甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度 D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点 答案 A
解析 因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相0＋v0v0同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内
220＋v0v0
的平均速度等于＝，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点
22均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误. 拓展点1 非常规图象 1.三类图象
(1)a－t图象：由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图8甲所示；
x12x11
(2)－t图象：由x＝v0t＋at可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示. t2t22
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图8
(3)v－x图象：由v－v0＝2ax可知v＝v0＋2ax，图象斜率为2a. 2.解题技巧
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.
例3 一质点沿直线运动，如图9所示是从t＝0时刻开始的质点的－t图象(x为位移)，可以推知( )
2
2
2
2
2
xt
图9
A.质点做匀减速运动 C.t＝2 s时的速度是1 m/s 答案 B
B.加速度的大小是1 m/s D.t＝2 s时位移是3 m
2
x112
解析 由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t，又因为匀变速直线运动中
t22
122
位移公式为x＝v0t＋at，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s＞0，因此质点做匀加速运
2动，故A项错误，B项正确.当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C12
项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t，可得位移是4 m，故D项错误.
2
变式3 (2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动，其v－x图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是( )
2
图10
A.汽车的初速度为4 m/s B.汽车的加速度大小为0.5 m/s 精品K12教育教学资料
2
精品K12教育教学资料 C.汽车第4 s末的速度为2 m/s D.汽车前10 s内的位移为15 m 答案 D
解析 由题图可知初始时速度的平方为16 m/s，则汽车的初速度v0＝4 m/s，A项正确.由题图可知v与x的关系式为v－4＝－x，再与公式v－v0＝2ax对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5 m/s，B项正确．由v＝v0＋at，可得汽车第4 s末的速度为v40－v0
＝4 m/s－0.5×4 m/s＝2 m/s，C项正确.因＝8 s，则知第8 s末车停止，汽车前10
2
2
2
2
2
2
2
2
a0－v0s内位移x＝＝16 m，D项错误.
2a拓展点2 图象间的相互转化
例4 一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是( )
2
图11
答案 C
命题点二 追及相遇问题
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口. 2.能否追上的判断方法
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物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若
xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上.
3.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.三种方法
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇. (3)图象法.
①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.
②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
例5 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？ 答案 6 m/s
解析 方法一：临界法
设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，
2
2
v1＋vv2＋vt＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后
2
2
在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s. 方法二：函数法
1212
甲、乙运动的位移：x甲＝v1t－a1t，x乙＝v2t－a2t
22避免相撞的条件为x乙－x甲即(a2－a1)t＋(v1－v2)t＋x0>0 2代入数据有(a2－2)t－16t＋16>0不等式成立的条件是：Δ＝16－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0 解得a2>6 m/s.
变式4 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如精品K12教育教学资料
2
2
2
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图12所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
图12
A.在t＝1 s时，甲车在乙车后 B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案 BD
解析 由题中v－t图象得a甲＝10 m/s，a乙＝5 m/s，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x11112222＝at＝×10×3 m＝45 m，x＝vt＋at＝10×3 m＋×5×3 m＝52.5 m，所以t甲甲乙0乙
22221＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确.t＝1 s时，x甲′＝a甲t′2
212
＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排
2行驶的时刻为t＝1 s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙
2
2
′＝40 m，故D项正确.
变式5 (2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图13所示，则( )
图13
A.甲、乙两车同时从静止开始出发 B.在t＝2 s时乙车追上甲车 C.在t＝4 s时乙车追上甲车 D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次 答案 C
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