数理统计考试试卷
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体的容量分别为10，15的两样本均值差________； 2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；
3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;
4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;
5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。 1、； 2、0.01; 3、； 4、； 5、. 二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（ （A） (B) (C） (D)
2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（ ）。 （A） （B) （C） （D） 3、设是来自总体的样本，存在, ， 则( )。
(A）是的矩估计 （B）是的极大似然估计
（C）是的无偏估计和相合估计 （D）作为的估计其优良性与分布有关
4、设总体相互，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（ ）。
(A) （B)
（C） （D)
5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（ ）。
（A）不能确定 (B)接受 (C）拒绝 （D）条件不足无法检验 1、B； 2、D； 3、C； 4、A; 5、B。
三、（本题14分） 设随机变量X的概率密度为：，其中未知 参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。 解：(1) ,
令，得为参数的矩估计量。 （2)似然函数为：，
而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.
）。
四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，
(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。95的置信区间；(，)。 解:
（1)的置信水平为0。95的置信区间为,即为(0。9462,6.6667）； （2）=；
由于是的单调减少函数，置信区间为, 即为（0.3000，2。1137）。 五、（本题10分）设总体服从参数为的指数分布，其中未知，为取自总体的样本， 若已知，求：
（1)的置信水平为的单侧置信下限;
（2)某种元件的寿命(单位:h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本,测得样本均值为5010(h），试求元件的平均寿命的置信水平为0。90的单侧置信下限。。 解：(1）
即的单侧置信下限为；（2）。 六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？（） 解：
(1)检验假设H0：2=1,H1：2≠1; 取统计量：；
拒绝域为：2≤=2.70或2≥=19.023, 经计算：，由于2，
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。
（2）检验假设； 取统计量：～ ； 拒绝域为；<2.2622 ，所以接受，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。 七、（本题10分）设为取自总体的样本,对假设检验问题，（1)在显著性水平0。05下求拒绝域；(2)若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。 解：（1) 拒绝域为；
（2）由(1)解得接受域为(1。08，8.92)，当=6时，接受的概率为
。
八、（本题8分)设随机变量服从自由度为的分布，（1）证明:随机变量服从 自由度为的分布；（2）若，且，求的值。
证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互，所以.
当时，与服从自由度为的分布，故有， 从而 .
数理统计试卷参
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、; 2、0.01; 3、； 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分） 1、B； 2、D; 3、C; 4、A； 5、B.
三、（本题14分）解：(1） ，
令，得为参数的矩估计量。 （2)似然函数为：，
而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。 四、（本题14分)解：
(1）的置信水平为0。95的置信区间为，即为（0.9462，6。6667）； （2）=；
由于是的单调减少函数，置信区间为， 即为（0.3000，2.1137）。 五、（本题10分）解：（1）
即的单侧置信下限为；（2). 六、（本题14分）解： (1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1; 取统计量：；
拒绝域为:2≤=2.70或2≥=19。023， 经计算：，由于2，
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。 （2）检验假设； 取统计量:~ ； 拒绝域为；〈2.2622 ，所以接受，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。 七、（本题10分）解:(1） 拒绝域为；
（2）由(1）解得接受域为(1.08,8。92），当=6时，接受的概率为
.
八、(本题8分)证明：因为，由分布的定义可令，其中，与相互，所以。
当时,与服从自由度为的分布，故有, 从而 。
