第二节 换元积分法

第二节 换元积分法

要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。 重点：第一、二换元积分法。 难点：选择恰当的变量代换。

作业：习题4－2（P252）1,26)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32*)33*)35)36)38)39)40*)

问题提出： 利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如sin5xdx、2xexdx．为了求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算．按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法.

2一、第一换元积分法

复合函数的微分 已知函数yF(u),u(x)，则复合函数yf[(x)]， 因此导数 yf[(x)](x)，

微分 dyF[(x)](x)dxF(u)du．

如 函数ysinx2，令ux2，得ysinu， 导数

dydxdudududx2cosu2xcosx2x，

22微分 d(sinx)cosx2xdx， 上式两边积分得，

cosx2xdx(cosudusinuc)sinxC.

再如 ex22xu22xu22xdxedueceuux2C.

这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量u来化简运算. 定理1 设函数f(u)具有原函数F(u)，且u(x)可导，则函数F[(x)]是函数

f[(x)](x)的原函数，即有换元公式

f[(x)](x)dxF[(x)]C[f(u)du]u(u).

这个公式称第一换元公式（或凑微分法）.

证明思路，上式两边求导，得dF[(x)]f[(x)]'(x)dx.

计算方法

1

第四章 不定积分（§2换元积分法）

（1）分被积式为两部分(x)dxdu和f[(x)]f(u)，且f(u)的原函数易求； （2）对该积分求出的原函数F(u)中的u换为函数(x)，即u(x).

2xu如 2cos2xdxcosudusinuCsin2xC， 要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分：

adxd(axb)，xdx12dx，

21xdxdlnx，

1x21dxdxd()，2dxx11x2 x，

xxedxde，sinxdxdcosx，

11x2dxdarcsinx，dxdarctanx.

下列分类举例：

1．直接引入新变量（乘个常数或除个常数即可） 例1．求不定积分2dx32x2dx32xudu解 ln|u|Cln|32x|C.

32xu.

一般地 积分f(axb)dx例2．求不定积分dxx(12lnx)1aaxbuf(axb)d(axb)1af(u)du

dxx(12lnx)dlnxx.

解 12ln11212ln12d(2lnx)x

212d(12lnx)12lnx2ln|12lnx|C.

例3．求不定积分x1xdx.

2解 x1xdx1xd(x)322121xd(1x)

32212122 (1x)2c(1x)2C.

233e3x例4．求不定积分e3xdx. x解 xdx2e3xdx23e3xd3x23e3xC.

2．通过代数变形后再引入新变量

2

第四章 不定积分（§2换元积分法）

例5．求不定积分dxax22.

xxad()au11dudxa解 2 222xa1uax2a1()a11xarctanuCarctanC. aaadx1x即有公式 2=arctanC. 2aaaxdx例6．求不定积分x. xee解 dxeexxeedx2xx1(edex2x)1arctaneC.

x例7．求不定积分dxax22(a0).

解 dxax221adxx21()axadxaarcsinxaC

x21()a即有公式 dxax22arcsinC

利用上述公式计算不定积分dx32xx2dx32xx2.

解 dx2dx32xxd(x1)2(x1)222dx3(x2x1)1x12C.

2

arcsinxa1111()， 解 因为222axaxaxadx111(所以 22xaxa)dx 2axa1(ln|xa|ln|xa|)C 2a例8．求不定积分2.

3

第四章 不定积分（§2换元积分法）

即有公式 dxxa2212aln|12axaxaln||C.

|C.

xaxa3．利用三角公式变形的积分 常用的三角公式 sin2x12(1cos2x) ， cos2x12(1cos2x).

例9．求不定积分tanxdx. 解 tanxdxcosxsinxdxdcosxcosxln|cosx|C

即有公式 tanxdxln|cosx|C. 同理得公式 cotxdxln|sinx|C.

例10．求不定积分cscxdx. 解 cscxdx sinxsindxsinx2xdxdcosx1cosx212ln|1cosx1cosx|C

12ln|(1cosx)sinx22|Cln|1cosxsinx|C

ln|cscxcotx|C. 即有公式 cscxdxsindxxln|cscxcotx|C

利用互余关系可求不定积分secxdx.

dxd(xsin(x2) 解 secxdxcosx2 ) ln|csc(x2)cot(x2)|C

ln|secxtanx|C. 即有公式 secxdxln|secxtanx|C.

得到一些以后经常用到的需要记住的积分公式.

（16）tanxdxln|cosx|C； （17）cotxdxln|sinx|C； （18）secxdxln|secxtanx|C；（19）cscxdxln|cscxcotx|C；

4

第四章 不定积分（§2换元积分法）

（20）（22）dxax1xa2221aarctan12axaC； （21）|C.

dxax22arcsinxaC；

dx2ln|xaxa例11．求不定积分sin2xdx. 解 sin2xdx12(1cos2x)dx1212[dxx14cos2x]dx

例12．求不定积分cos4xdx.

sin2xC.

2解 cos4xdx[(1cos2x)]dx112(12cos2xcos4)dx1422x)dx

12cos4x)dx

 1438(12cos2x2k1cos4x2(322cos2x14sin2x2k132sin4xC.

对于被积函数是sincos2x或cosx时，均可利用公式 12(1cos2x)

x12(1cos2x)，sin2x将被积函数降为一次方，再积分.

例13．求不定积分sin3xdx.

解 sin3xdx(1cos2x)dcosxcosx对于被积函数是sin的一次方次，对于sin2k13cosxC.

2k32k1x或cos2k2k1x时，将其化为sin2x或cos22kx及sinx或cosxx（或cos，利用公式sinx）xcos对于sinx或cosx，x1，

利用sinxdxdcosx或cosxdxdsinx，把被积函数化为只含cosx(或sinx)的函数，再积分.

例14．求不定积分sec6xdx. 解 secxdx 6sec4xsec22xdx4(1tan2x)dtanx

2(12tan23xtan3x)dtanx

5 tanxtanx15tanxC.

例15．求不定积分sin2xcos5xdx.

5

第四章 不定积分（§2换元积分法）

解 sin2xcos5xdx sin2x(1sin2x)cosxdx

22sinx(12sin(sin1332xsin44x)dsinx

62x2sin255xsin17x)dsinx

7 sinxsinxsinxC.

例16．求不定积分tan5xsec3xdx. 解 tan5xsec3xdx  凡被积函数是tandtanxsec2ntan4xsec62xdsecx4(sec22x1)sec22xdsecx

(sec17x2sec25xsec13x)dsecx

3secxm7secx5secxC.

2x与secx类函数相乘时，均可用公式secxtan2x1与

xdx，dsecxtanxsecxdx变形后再积分.

例17．求不定积分cos3xcos2xdx. 解 cos3xcos2xdx12(cosxcos5x)dx12sinx110sin5xC

凡被积函数为sinmxsinnx;cosmxcosnx;sinmxcosnx时，需用积化和差公式化为两项和后再积分.

sinxsinycosxcosycosxsiny12[cos(xy)cos(xy)]，

1212[cos(xy)cos(xy)]， [sin(xy)sin(xy)].

说明

第一换元法在积分中常用，如何选择适当的变量代换，却没有一般的方法可循，这种方法的特点是凑微分.要掌握该方法，需要熟记一些函数的微分公式. 如几个典型的凑微分法

1a12f(axb)dxf(axb)d(axb)， f(x)xdx1x2f(x)dx， f(lnx)dlnx，

22f(e)edxxxxxf(e)de， f(lnx)dxf(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx， f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx，

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第四章 不定积分（§2换元积分法）

f(tanx)1cos2xdxf(tanx)dtanx， f(shx)chxdxf(shx)dshx，

f(arcsinx)11x2dxf(arcsinx)darcsinx，

f(arctanx)11x2dxf(arctanx)darctanx.

并善于根据这些公式，从被积式中凑出合适的微分因子.另外，还需熟悉一些典型的例子，并要多多练习，不断积累经验.

二、第二换元法

由第一换元法例题可以看出，它们的主要思想是通过适当选择新变量u(x)，使原不定积分的被积式化为f(u)du，而要容易求出原函数F(u)，使F(u)f(u).由此得出不定积分F[(x)]C，即

f[(x)](x)dxf(u)duF(u)CF[(x)]C.

但用第一换元法可以解决的不定积分的类型仍受到，它既要求积分式适当分解为

f[(x)]d(x)，又同时f(u)的原函数容易求，有些函数很难做到这一点.

例如 不定积分dx1x.

解 求这个积分的主要困难是x，所以令

dx1xxtxt，

11t则  1t2tdt2t111tdt2(1)dt2(tln|1t|)C

2(xln|1x|)C.

这就提示我们对一般不易用第一换元法求原函数的不定积分f(x)dx，能否用变量

x(t)代换，使原积分的被积式f(x)dxf[(t)](t)dt，并且f[(t)](t)的原函数G(t)易求出，这就是我们要介绍的第二换元法.

定理2 设x(t)是单调、可导函数，并且'(t)0，又设f[(t)]'(t)具有原函数(t)，则有换元公式



f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]t1(x)(t)C[1(x)]C.

7

第四章 不定积分（§2换元积分法）

其中1(x)是x(t)的反函数.

证明 设f[(t)]'(t)的原函数为(t)，记[1(x)]F(x)，利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式，得到

F'(x)ddtdtdxf[(t)]'(t)1f[(t)]f(x).

'(t)即F(x)是f(x)的原函数.所以有 f(x)dxF(x)C[下面举例说明公式的应用. 1．三角代换 例1．计算不定积分dxxa1xa22221(x)]C[f[(t)]'(t)dt]t1.

(x) (a0).

解 因为被积函数的定义域为|x|a，所以分区间讨论.

（1）当xa时，设xasect，则dxasecttantdt，

 为了保证反函数的单值、单调性，0t.则

2 于是 xa22asecta222a(sect1)a|tant|atant，

2dxxa22asecttantdtatantsectdt

ln|secttant|C1

ln|xaxaa2222|C1

ln|xxa|C1lna

ln|xxa|C

22 （2）当xa时，令xu，那么ua，由上面讨论，得 dxxa22duua2222ln(uua)C1

22 ln(xxa)C1ln1xax22C1

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第四章 不定积分（§2换元积分法）

lnxxaa222C1ln(xxa)C.

22综上所述，当xa及xa时，有公式 dxxa22ln|xxa|C.

22例2．计算不定积分dxxa22 (a0).

2 解 设xatant，则dxasec2tdt(|t|xa22)，则

2a1tanta|sect|asect，

所以 dxxa22asectdtasect22sectdtln|secttant|C1

又因为sectxaa2，且secttant0，

22所以 dxxa22ln(xaxaa)C1ln(xdxxa2222xa)C

由上两例可得公式 （23）、（24）dx4x92ln|xxa|C.

22例3．计算不定积分dx4x92.

解 12d(2x)(2x)322212ln|2x24x9|C

2例4．计算不定积分axdx(a0).

解 设xasint,dxacostdt, |t| axdx222，

2a2aasin222tacostdtacos2tdt

2a2(1cos2t)dtta2a22[t12sin2t]C

22sintcostC.

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第四章 不定积分（§2换元积分法）

又因为tarcsinxa，costaxaxa222，

于是 axdx22a22arcsina22xaaxa22C

x22ax2a222arcsinxaC.

一般被积函数含有xa，xa，ax因子，采用三角代换法.

22（1）当被积函数中含ax时，设xasint；

2222（2）当被积函数中含ax时，设xatant； （3）当被积函数中含xa时，设xasect. 另外，还可用公式ch2tsh2t1计算之. 如 dxxa22xasht2222achtdtdttCxaC1ln[xaacht1

arcshx2()1]C1 a ln(x22xa)C.

下面利用前面给出的24个公式计算下列各题.

例5．计算不定积分解 dxx2x32dxx2x32.

12x12 (x1)dxd(x1)2(2)2arctanC

例6．计算不定积分1xx2.

解 dx1xx2d(x12)arcsin(2x15C

52)(x212)2

2．倒代换（x1t）

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第四章 不定积分（§2换元积分法）

分母次方较高，主要消去被积函数分母中变量x的高次方，设xdxx3x2x1dtt21t.

例7．计算不定积分 解 设x1t2(x1).

，那么dx，于是 t1tdt32tt2xdx3x2x12dx31t22t(1)dt2



d(t1)4(t1)2arcsint12C

arcsin3．其它代换 例8．计算不定积分xdx12x1t1221x2xC.

. 解 令2x1t，则x，dxtdt.

t12于是 xdx12x12tdt11t2(tt)dt3211312[tt]C 232 dx1dt16(2x1)214(2x1)C.

例9．计算不定积分ex.

2 解 dx1exetxdt11t22(1ttt2tt1)dt2(lntln(t1))C

tt12lnC2lne1xxC

exx2ln(1e2)C.

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第四章 不定积分（§2换元积分法）

xxx另一个方法：dx1ex1e2e2xdxdxe2xdx

1e2x21e2 x2ln(1e)C

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