2.2 幂函数、指
数函数、对数函数及分段函数
高考命题规律
1.高考补充性考题.偶尔单独考查,主要考查大小比较及分段函数知识. 2.选择题,5分,中低档难度.
3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.
2014年 2015年 2016年 2019年高考必备 命题 角度1 命题 角度2 命题 角度3 2017年 2018年 ⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 幂、指数、对数的运算与大小比较 幂函数、指数函数与对数函数的图象与性质 分段函数问题 7 13 12 8 7 5 12
命题角度1幂、指数、对数的运算
与大小比较
高考真题体验·对方向
1.(2017天津·6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-f ,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小
关系为( )
A.aB.b∴a=-f =f - =f(log25). ∵log25>log24.1>log24=2,20.8<21=2, ∴log25>log24.1>20.8.又f(x)在R上是增函数,
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.故选C.
1
2.(2017北京·8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与 最接近的是( ) (参考数据:lg 3≈0.48) A.1033 答案 D 解析
设=x= ,两边取对数,得
B.1053 C.1073 D.1093
lg x=lg
=lg 3
361
-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与
最接近的是93 10.故选D.
3.(2016全国Ⅲ·7)已知a=
,b= ,c=2 ,则( ) A.b答案 A 解析 因为a=,c=2
,b=
,
且函数y=
在[0,+∞)内是增函数,
所以
,即
b4.(2018全国Ⅰ·13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= . 答案 -7解析 因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.
新题演练提能·刷高分
1.(2018四川南充二模)式子
-log32×log427+2 0180等于( )
A.0 B.
C.-1
D.
答案 A 解析 由题意
-log32×log427+2 0180=
-log32× log23+1= +1=0,故选A.
2.(2018重庆第二次质量调研)已知a=
,b=log23,c=log47,则a,b,c的大小关系为( A.aC.cD.a答案 D)
2
解析 由题意得a=
<
0
=1,b=log23=log49>log47>log44=1,所以a3.(2018河北衡水中学模拟)已知a=1 ,b=log16 ,c=log17 ,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c 答案 A 解析 由题易知故选A.4.(2018安徽宿州第一次质检)设a=A.a>b>c 答案 B 解析 由题意得a>0,b>0,c>0.
B.b>a>c
,b=,c=,则
a=1 >1,b=log16
B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a
log1617∈
,1
,c=log17 log1716∈0,
,∴a>b>c,
a,b,c三个数按从大到小的排列顺序为( ) D.c>a>b
C.b>c>a
∵ <1,∴b>a.
∵ >1,∴a>c.∴b>a>c.选B.
5.(2018广东揭阳学业水平考试)已知01,故A错误;∵0> ,∴- <- <0,∴- <- <0,∴( )
B. D.aa>bb
,B正确;又-ln a>-ln b>0,但-aln a与-bln b的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知
aa>ab,由幂函数的单调性可知abbb的大小关系不确定,故D错误.所以选B.命题角度2幂函数、指数函数与对
数函数的图象与性质 高考真题体验·对方向
1.(2018全国Ⅲ·7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x) C.y=ln(1+x)
B.y=ln(2-x) D.y=ln(2+x)
3
答案 B 解析 设所求函数的图象上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=ln x上,∴y=ln(2-x),故选B.
2.(2017全国Ⅱ·8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) C.(1,+∞) 答案 D 解析 由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 3.(2014天津·4)函数f(x)=lo (x2-4)的单调递增区间为( )
B.(-∞,1) D.(4,+∞)
A.(0,+∞) C.(2,+∞) 答案 D B.(-∞,0) D.(-∞,-2)
解析 由x2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).
令t=x2-4,当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo (x2-4)随x的
增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.
4.(2014福建·8)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )
答案 B 4
解析 由图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3
-x
= 为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B
选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上,可知选B.
新题演练提能·刷高分
1.(2018湖南张家界模拟)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为( )
答案 A 解析 由题意知,当a>0,函数f(x)=2-ax为单调递减函数,当02,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为单调递减函数;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点x0=<2,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为单调递增函数.观察各选项,选A.2.(2018安徽安庆二模)函数f(x)= loga|x|(0答案 C 解析f(x)= loga|x|= - -
- - -
C. 故选
3.(2018安徽宿州联考)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|05答案 A 解析 由函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0,b=f(ln π),c=f,则a,b,c
B.a<15.(2018河南濮阳二模)设x1,x2,x3均为实数,且 =log2(x1+1), =log3x2, =log2x3,则( ) A.x1x1,x2,x3分别是函数y=x
x
与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x图象的交点的横坐标,作出函数y=
,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图象如图所示,由图可得x16.(2018东北三省三校第二次模拟)函数f(x)=log3(8x+1)的值域为 . 答案 (0,+∞)6
解析 由指数函数的性质可知8x>0,所以8x+1>1,据此可知f(x)=log3(8x+1)>0,所以函数的值域为(0,+∞).
命题角度3分段函数问题 高考真题体验·对方向
-
1.(2018全国Ⅰ·12)设函数f(x)= 则满足f(x+1)A.(-∞,-1] C.(-1,0) 答案 D 解析 B.(0,+∞) D.(-∞,0)画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:
①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)2x,解得x<1.故x≤-1.综上所述,x的取值范围为(-∞,0). 2.(2017山东·9)设f(x)= A.2 答案 C 解析 f(x)的图象如图所示.
若f(a)=f(a+1),则f =( )
-
B.4 C.6 D.8
又f(a)=f(a+1),所以01, =2(a+1-1),所以a= . 所以f =f(4)=2×(4-1)=6.- 3.(2013全国Ⅰ·12)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] C.[-2,1]
B.(-∞,1] D.[-2,0]
7
答案 D 解析 可画出|f(x)|的图象如图所示.
当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C; 当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立. 若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,
得x2-(a+2)x=0. 由
-
∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.∴a∈[-2,0].故选D.
新题演练提能·刷高分
- 1.(2018乌鲁木齐二诊)已知函数f(x)= 若f(a)=2,则实数a=( )
A.-1 C. 或1 答案 D 解析 当a<0时,由f(a)=2得-=2,解得a=-1,符合题意;当a>0时,由f(a)=2得log2a=2,解得a=4,符合题意.综上可得a=-1或a=4.选D.
- 2.(2018陕西咸阳二模)已知函数f(x)= 则f(log212)+f(1)= .
- 答案 4 - 解析 由函数f(x)= 得f(1)=log22=1.
-
又log212=log23+2>2,所以f(log212)= - =3.所以f(log212)+f(1)=4.
- 3.(2018安徽马鞍山第二次监测)已知函数f(x)= 若f(x)=-1,则x= .
- 答案 或log36
解析 当x<1时,f(x)=log2(1-x)=-1,解得x= (满足条件);当x≥1时,f(x)=3x-7=-1,解得x=log36(满足条件).综上,x= 或x=log36.
B.4 D.-1或4
8
4.(2018吉林长春质量监测)已知函数f(x)= 若f(a)≥2,则实数a的取值范围
是 . 答案 (-∞,-1]∪[4,+∞) 解析 当a≤0时,
a
≥2,故a≤-1;当
a>0时,log2a≥2,故a≥4.故a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
5.(2018北京理工大学附中模拟)已知函数f(x)= 若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个
交点,则实数m的取值范围是 . 答案 m=0或m≥2
解析 作出函数f(x)的图象,如图所示.
当x<1时,f(x)∈(0,2);当x≥1时,f(x)≥0.
则若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则m≥2或m=0.
6.(2018陕西西安八校第一次联考)设函数f(x)= 则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围
是 . 答案 (0,+∞)
解析 当x≤0时,x-1≤-1.
∴f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+1>1,即x>0,此时无解.
当0∴f(x)+f(x-1)=2x+(x-1)+1=2x+x, ∵2x>20=1,∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立.当x>1时,x-1>0,∴f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=3·2x-1,∵2x-1>20=1,
∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立.
综上所述,满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是(0,+∞).
9
