宁夏银川一中2019届高三第六次月考数学(理)试题(含答案)

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．设集合A＝｛x｜x∈Z且－9≤x≤－1｝，B＝｛x｜x∈Z且｜x｜≤5｝，则A∪B中元素的个数是 A．11

B．10

C．16

D．15

z2在复平面内的对应点位于 2．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知a、b∈R，则“ab＝1”是“直线ax＋y－1＝0和直线x＋by－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 C．必要不充分条件

B．充要条件

D．既不充分又不必要条件

4．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A．480

B．240 C．120

D．96

5．已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…＋a101＝0，则有 A．a1＋a101＞0 C．a3＋a99＝0

B．a2＋a100＜0 D．a51＝51

6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该 算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2， n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝ A．7 C．17

B．12 D．34

x2y2

7．双曲线12－4＝1的顶点到渐近线的距离为

A．23 B．3 C．2 D．3 sinα＋3cosα

8．已知2cosα－sinα＝2，则cos2α＋sinα·cosα＝

6323A．5 B．5 C．5 D．－5 9．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参 加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me， 平均值为x，众数为m0，则

A．me＝m0＝x B．me＝m0F1分别是A1B1、A1C1的中点，10．如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、若BC=CA=CC1，

则BD1与AF1所成角的余弦值是 A．C．

30 1030 15

B．D．

1 2

15 102，x>1，

11．已知f(x)＝则不等式x＋2xf(x＋1)>5的解集为 －1，x≤1，

A．(1，＋∞) B．(－∞，－5)∪(1，＋∞) C．(－∞，－5)∪(0，＋∞) D．(－5,1)

1

e为自然对数的底)与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，12．已知函数g(x)＝a－x(e≤x≤e，

2

则a的取值范围是 1

A．[1，e2＋2] 1

C．[e2＋2，e2－2]

B．[1，e2－2] D．[e2－2，＋∞)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”的逆否命题； ④若ab是正整数，则a、b都是正整数．

其中真命题是 ．(写出所有真命题的序号)．

y≥0x＋yx－y≥014．已知实数x，y满足则z＝x＋1的取值范围是 ． 2x－y－2≤015．(x13

x)10展开式中的常数项是__________．

x2y2

16．F1是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双

曲线的一条渐近线相切于点B,且A,B,F三点共线，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分) 17．（12分）

π

如图，在△ABC中，∠B＝3，D为边BC上的点，E为AD上的点，且 AE＝8，AC＝410，π

∠CED＝4．

(1)求CE的长；

(2)若CD＝5，求cos∠DAB的值． 18．（12分）

AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱A1B1上的点．

(1)证明：DF⊥AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角 14

的余弦值为14？说明点D的位置；若不存在，说明理由． 19．（12分）

某中学的测试中设置了“数学与逻 辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分 为A，B，C，D，E五个等级，某班 考生两科的考试成绩的数据统计如图 所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩 等级为B的考生有10人．

(1)求该班考生中“阅读与表达”科目的成绩等级为A的人数；

(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，某考场共10人得分大于7 分，其中2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和ξ的分布列．20．（12分）

x2y2

设椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝43y的焦点重合，F1，F2分别是椭1

圆的左、右焦点，且离心率e＝2，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

→→

ON＝－2，求直线l的方程； (2)若OM·

C1

|AB|2

(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：|MN|为定值． 21．（12分）

已知函数f(x)＝lnx＋x2－ax(a为常数)．

(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值； (2)当0(3)若对任意的a∈(1,2)，任意的x0∈[1,2]，使不等式f(x0)>mlna恒成立，求实数m的取值范围． (二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x1cos (为参数，2)，以O为

y1sin2极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos()t(其中tR)．

42(1)求C2的直角坐标方程；

(2)当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲] (10分)

设函数f(x)x22x3，记f(x)1的解集为M． (1)求M；

(2)当xM时，证明：x[f(x)]2x2f(x)0．

银川一中2019届高三年级第六次月考数学(理科)答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 题号 1 答案 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 D 10 A 11 B 12 B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

41513. ①③ 14. [0，3] 15 210 16

2三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. π3π17.解：①由题意可得∠AEC＝π－4＝4，

在△AEC中，由余弦定理得

AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC，

2

所以160＝＋CE＋82CE， 2

整理得CE＋82CE－96＝0，

解得CE＝42. 故CE的长为42. CECD425

②在△CDE中，由正弦定理得sin∠CDE＝sin∠CED，即sin∠CDE＝π，

sin4π4

所以5sin∠CDE＝42sin4＝4，所以sin∠CDE＝5， π43

因为点D在边BC上，所以∠CDE>∠B＝3，而5<2， 3

所以∠CDE只能为钝角，所以cos∠CDE＝－5， π

所以cos∠DAB＝cos(∠CDE－3) ππcos3＋sin∠CDE·sin3 ＝cos∠CDE·

314343－3

＝－5×2＋5×2＝10. 18. (1)证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，

∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，AA1、AE⊂平面A1ACC1， ∴AB⊥面A1ACC1． 又∵AC⊂面A1ACC1， ∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 1

则有A(0,0,0)，E(0,1，2)， 11

F(2，2，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，

→→

设D(x,0，z)，A1D＝λA1B1，且λ∈[0,1]，即(x,0，z－1)＝λ(1,0,0)， ∴D(λ，0,1)，

11→

∴DF＝(2－λ，2，－1)， 1→

∵AE＝(0,1，2)，

→→11

AE＝2－2＝0，∴DF⊥AE． ∵DF·

14(2)存在点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14． 面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)． 设面DEF的法向量为m＝(x，y，z)， →FE＝0，m·

则→

DF＝0，m·

11111→→

∵FE＝(－2，2，2)，DF＝(2－λ，2，－1)，

－2x＋2y＋2z＝0，∴11

2－λx＋2y－z＝0，

111

即1＋2λy＝21－λz，

3

x＝21－λz，

令z＝2(1－λ)，则m＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．

14

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14， |m·n|14

∴|cos〈m，n〉|＝|m||n|＝14，即∴当D为A1B1中点时满足要求．

0.25＝40， 19.[解析] (1)由题意得该班总人数是10÷

40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075“阅读与表达”科目的成绩等级为A的人数为：＝3.

(2)ξ的值可以为16,17,18,19,20，

111

C2C1C1C2C11413466C26C222C222222P(ξ＝16)＝C10＝3，P(ξ＝17)＝C10＝15，P(ξ＝18)＝C10＋C10＝45，P(ξ＝19)＝C10＝45，P(ξ

1417

＝，解得λ＝2或λ＝4(舍)，

9＋1＋2λ2＋41－λ214

|21－λ|

C2122＝20)＝C10＝45，

所以ξ的分布列为：

ξ P 16 13 17 415 18 1345 19 445 20 145 c1x2y2

20.[解析] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b＝3，e＝a＝2，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为4＋3＝1.

(2)由题可知，直线l与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)． xy4＋3＝1，

2222

由得(3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0， y＝kx－1，4k2－128k2

x1＋x2＝3＋4k2，x1x2＝3＋4k2，

2

2

→→OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] 4k2－124k2－128k2

2

＝3＋4k2＋k(3＋4k2－3＋4k2＋1) －5k－12

＝3＋4k2＝－2，解得k＝±2，

2

故直线l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)． (3)证明：设M(x1，y1)，N2(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 由(2)可得|MN|＝＝

2

1＋k2|x1－x2|

2

1＋k[x1＋x2－4x1x2]

4k2－1212k2＋18k2

22

1＋k[3＋4k2－43＋4k2]＝3＋4k2，

2

2

＝

xy4＋3＝1，12

2由消去y并整理得x＝3＋4k2，

y＝kx

31＋k2

3＋4k2，

|AB|＝

1＋k2|x3－x4|＝4481＋k2

3＋4k2

|AB|2

∴|MN|＝12k2＋1＝4，为定值．

3＋4k2

1

21.[解析] (1)依题意f′(x)＝x＋2x－a

由已知得：f′(1)＝0，∴1＋2－a＝0，∴a＝3 aa2

2x－42＋1－8

(2)当02x2－ax＋1a2

>0， 因为00，而x>0，即f′(x)＝x故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)当a∈(1,2)时，由(2)知，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝1－a.

1－a

故问题等价于：对任意的a∈(1,2)，不等式1－a>mlna恒成立．即m记g(a)＝lna，(11－a

故g′(a)<0，所以g(a)＝lna，(1所以m≤g(2)＝ln2＝－log2e

即实数m的取值范围为(－∞，－log2e]．

222

22．解：(1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ2cos θ＋2sin θ＝2t，∴曲线C2的直角坐标方程为x＋y－t＝0.(4分)

(2)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，为半圆弧，(5分) 如图所示，曲线C2为平行于直线x＋y＝0的直线，或为直线x＋|1＋1－t|

y＝0，当直线C2与曲线C1相切时，由2＝1，解得t＝2－2或t＝2＋2(舍去)，(7分)

当直线C2过A，B两点时，t＝1，(9分)

由图可知，当曲线C2与直线C1有两个公共点时，实数t的取值范围是(2－2，1]．(10分)

x－1，x≤2

23．解：(1)由已知，得f(x)＝.(2分) 3x－5，x＞2

当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0； 4

当x＞2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤3，显然不成立． 故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．(5分)

(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x

121

＝－x－2＋4.(8分)

121

令g(x)＝－x－2＋4，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.

故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.(10分)