2019年宁夏银川一中高考数学四模试卷(文科)(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

2

1. 若集合A={x∈Z|-2＜x＜2}，B={x|y=log2x}，则A∩B=（ ）

A. B. 0， C. 2. 复数z满足z（1+ i）=|1+ i|，则z等于（ ）

，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在9. 已知P是△ABC所在平面内-点，

△PBC内的概率是（ ）

A. D.

D.

B.

C.

D.

A. B. 1

C.

10. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步

行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（ ） A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里 11. 将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度得到g（x）图象，则下列判断错误的是（ ）

3. 设平面α，直线a，b，a⊂α．命题“b∥a”是命题“b∥α”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19=38，则2a11-a12=（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5. 某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，

可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（ ）

A. 函数 在区间 上单调递增 C. 函数 在区间 上单调递减

B. 图象关于直线 对称 D. 图象关于点 对称

12. 菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD 平面ACB，求此时所成空间四面体

体积的最大值（ ）

A.

B.

C. 1

D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

＞

z=2y-x的最小值是______． 13. 已知实数x，y满足约束条件 ，则

14. 已知α∈（ ，π），tan（α+ ）= ，则sinα+cosα=______．

A. 20，2 B. 24，4 C. 25，2 D. 25，4

2

15. 函数f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为______．

，则λ=（ ） 6. 已知向量 ， ， ， ，若

A. B. C. D. 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何

体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B.

16. 若方程

表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．

C. D.

8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整

数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA= acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，

PA=AD= ，点E为线段AB上异于A，B的点，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF． （Ⅰ）求证：平面PAB 平面PBC；

（Ⅱ）若三棱锥F-PDC的体积为 ，求PE的长．

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19. 某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表

示如图（单位：cm）：

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；

（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；

（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

（3）试比较

+

+…+

与

*

的大小．（n∈N且n≥2），并证明你的结论．

22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长

2 ρsinθ=2acosθ-4） 为参数 ．度．已知曲线C：（a＞0），过点P（-2，的直线l的参数方程为 直

线l与曲线C分别交于M、N． （Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．

23. （1）若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为 ＜x＜ ，求实数m的取值范围．

（2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．

20. 已知椭圆 ：

＞ ＞ 的左，右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的

直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为 时，AF2与x轴垂直． （I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．

21. f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．

（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值； （2）若a＞0，求f（x）的单调区间；

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：集合A={x∈Z|-2＜x＜2}={-1，0，1}， B={x|y=log2x2}={x|x2＞0}={x|x＜0或x＞0}， ∴A∩B={-1，1}． 故选：A．

化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 2.【答案】C

【解析】

解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2， z==

=-i．

故选：C．

通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可． 本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 3.【答案】D

【解析】

解：平面α，直线a，b，a⊂α．

①命题“b∥a”时，则直线b⊄α时，根据直线与平面的判断定理有“b∥α”．

若直线b⊂α，a⊂α时，“b∥a”推不出“b∥α”．

②命题“b∥α”，a⊂α．则直线a，b可能异面，可能平行，故推不出命题“b∥a”；

由充要条件的定义可知：

命题“b∥a”是命题“b∥α”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

根据充分条件和必要条件的定义和线面平行的判断和性质分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行的判断和性质，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 4.【答案】A

【解析】

解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S19=38， ∴

d=19（a1+9d）=38，

∴a1+9d=2，

∴2a11-a12=2a1+20d-a1-11d=a1+9d=2． 故选：A．

由等差数列{an}的前n项和为Sn，S19=38，利用等差数列的前n项和求出a1+9d=2，由此利用等差数列的通项公式能求出2a11-a12的值．

本题考查等差数列的通项公式、前n项的求法及应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】C

【解析】

解：由频率分布直方图可知，组距为10，[50，60）的频率为0.008×

10=0.08， 由茎叶图可知[50，60）的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以N==25，

根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样，都是2，

故选：C．

先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数求得本次考试

的总人数，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样．

本题考查了茎叶图和频率分布直方图，茎叶图中，茎在高位，叶在低位，频率分布直方图中要

注意纵轴的单位，同时掌握频率和等于1，此题是基础题．

6.【答案】B

【解析】

解：

，

∴（2λ+3）×（-1）-3=0，∴λ=-3． 故选：B．

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直接利用向量的数量积化简求解即可．

本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题． 7.【答案】C

【解析】

本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 9.【答案】C

【解析】

解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为2

的圆锥的组合体，

解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC， 则∵∴

=

，

，∴

，

∴该几何体的体积为： V=故选：C．

由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为2的圆锥的组合体，由此能求出该几何体的体积．

+

=16π+

．

，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，

∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的． ∴S△PBC=S△ABC．

∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为： P=

本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．

8.【答案】B

【解析】

=．

故选：C．

推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．

本题考查概率的求法，考查几何概率型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、

解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；

函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

1=3，k=2+1=3； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×

3=7，k=3+1=4； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×

7=15，k=4+1=5． 判断4＞n不成立，执行S=1+2×

此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B．

框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．

记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=10.【答案】B

【解析】

解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列， 由S6=378，得S6=∴a4+a5=

+192×

=378，解得：a1=192， =24+12=36．

此人第4天和第5天共走了24+12=36里． 故选：B．

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=378，解得：a1，利用通项公式可得a4+a5．

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】C

【解析】

设t=sin∴

，则

，

，且0＜t＜1，

∴当0＜t＜∴当t=

时，V'PABC＞0，当

＜t＜1时，V'PABC＜0， ， ．

解：由题意，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度， 可得g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-对于A中，当x∈[则函数g（x）在区间[对于B中，令x=

]，则2x-）， ∈[-，]，

时，VD-ABC取得最大值

∴四面体DABC体积的最大值为故选：A．

]上单调递增是正确的；

）=sin（2×

--）=sin=1为最大值，

设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π），求出体积的表达式，利用函数的导数求解四面体DABC体积的最大值．

本题考查几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养，是中档题． 13.【答案】-1

【解析】

，则g（

∴函数g（x）图象关于直线x=对于C中，x∈[-]，则2x-

，对称是正确的； ∈[-π，0]，

则函数g（x）在区间[-]上先减后增，∴不正确；

）=sin0=0，

解：由约束条件作可行域如图，

对于D中，令x=，则g（）=sin（2×-∴g（x）图象关于点（故选：C．

）对称是正确的，

根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．

本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出的解析式是解决本题的关键． 12.【答案】A

【解析】

由图可知，可行域中点A的坐标是使目标函数z=2y-x取得最小值的最优解． 在4x+3y=4中，取y=0得x=1． ∴点A的坐标为（1，0）． 则z=2y-x的最小值是2×0-1=-1． 故答案为：-1．

由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z=2y-x的最优解，代入坐标求得z=2y-x的最小值．

本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，

＜），

是中档题．

解：设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π）， ∴DO=ADcos

=2cos

，

×2×2sinα=2sinα，又DO 平面ABC，

∴VD-ABC==sin

=sin

=sinαcos（1-

）（0＜

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14.【答案】

【解析】

故答案为：a＞3或-6＜a＜-2．

利用可得x平方的分母大于y平方的分母，且两个分母均为正数，由此建立不等式关系，化简

整理即得本题的答案．

解：∵∴解得tanα=∵

，

本题给出曲线方程表示焦点在x轴的椭圆，求实数a的取值范围，着重考查了对椭圆的标准方

，

程的认识，属于基础题． 17.【答案】（本小题满分12分）

解：（1）∵ ，

由正弦定理可得 ， 因此得 ，

∵B是△ABC的内角，∴ …（6分） （2）∵sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，

222

由余弦定理b=a+c-2accosB， 得： ， 解得 ，∴ …（12分） 【解析】

22

∵sinα+cosα=1…①

tanα=，…②

解①②得sinα=，cosα=- ∴sinα+cosα=故答案为：-．

通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可． 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力． 15.【答案】x-y-1=0

【解析】

2

解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=2xlnx+x，则f′（1）=1，

=-．

（1）由

，利用正弦定理得，由此能求出角B．

222

（2）由sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b=a+c-2accosB，由此能求出a，c．

本题考查三角形中角的大小、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

（x-1）， ∴曲线f（x）在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×即x-y-1=0； 故答案为：x-y-1=0；

求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案．

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，是中档题．

16.【答案】a＞3或-6＜a＜-2

【解析】

18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA 面ABCD，

∴PA BC，

又四边形ABCD是矩形， ∴BC BA．

∴BC 平面PAB， ∴平面PAB 面PBC； 解：（Ⅱ）VF-PDC=VP-FDC = =3FD= ， ∴FD= ， ∴ ， ∵ ， ∴AE=2，

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解：∵方程

2

∴a＞a+6＞0，

表示焦点在x轴上的椭圆，

∴a＞3或-6＜a＜-2．

∵PA 平面ABCD， ∴PA AB，

在Rt△PAE中， PE2=PA2+AE2 =9+4，

得PE= ．

故PE的长为 ． 【解析】

合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．

（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

20.【答案】解：（I）由椭圆的定义可知△ABF2的周长4a=8，则a=2，

由直线AB的斜率为 时，AF2与x轴垂直，则tan∠AF1F2=

22222

则b=3c，由b=a-c=4-c， 则b= ，c=1，

（Ⅰ）先证PA BC，得到BC 平面PAB，得证；

（Ⅱ）转化为以P为顶点，利用体积公式求得FD，进而易求PE．

此题考查了线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，转换顶点求三棱锥体积等，难度适中．

19.【答案】解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为

丨 丨

丨 丨

== ，

∴椭圆的标准方程为：

；

cm．…（2分）

（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由直线l的斜率显然存在，设直线l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=1， 由 ，整理得：（

∴x1+x2=-

（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，

至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B）， 又男生共12人，其中有8人合格，从而

，所以 ．（6分）

，（4分）

，x1•x2=

，

假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA+kMB=0， 即

（III）因为女生共有18人，其中有10人合格， 依题意，X的取值为0，1，2． 则

+

=0，

，

，

，

k（x1+1）（x2-m）+k（x2+1）（x1-m）=0，

∴2x1•x2-（m-1）（x1+x2）-2m=0，

2222

∴8k-24+8km-8k-6m-8mk=0， 解得：m=-4．

故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB．

方法二：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由（I）可知：F1（-1，0），设直线AB为x=ty-1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

，（3t2+4）y2-6ty-9=0， 则

（每项1分）（10分） 因此，X的分布列如下： X 0 1 2 P ∴ （人）．（未化简不扣分）（12分） （或是，因为X服从超几何分布，所以 （人）． 【解析】

则y1+y2= ，y1y2=- ，

假设存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，kMA+kMB=0， ∴ + =0，即y1（x1-m）+y2（x1-m）=0， 即y1（ty2-1）+y2（ty1-1）-m（y1+y2）=0， ∴2ty1y2-（1+m）（y1+y2）=0，

2t×（- ）-（1-m）（ ）=0，则1+m=-3， 解得：m=-4，

故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB． 【解析】

（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．

（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是

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（I）由题意可知：4a=8，则a=2，由题意可知：tan∠AF1F2=椭圆方程；

（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，设直线l方程y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值；

方法二：设直线AB为x=ty-1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值．

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx

当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- =∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的． x＜1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- ＜0

∴f（x）在区间（0，1）减的．

故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）min=f（1）=0 （2）当a≥1，x＞a，f（ x ）=x-a-lnx，f′（x）=1- f（x）在[a，+∞）上是递增的，

0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1- ＜0 ∴f（x）在（0，a）递减函数， 0＜a＜1，x≥a，f（x）=x-a-lnx， f′（x）=1-

=

=，即可求得b的值，求得

（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可；

（2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．

（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．

本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减．考查分类讨论的数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于难题． 22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2=2ax （a＞0）

≥0

为参数 将直线l的参数方程

代入曲线C的直角坐标方程得：

因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜-4． 由于a＞0，

所以：a的范围为：a＞0

（Ⅱ） 设交点M，N对应的参数分别为 ， ．则 ， 若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则 解得a=1或a=-4（舍） 所以满足条件的a=1． 【解析】

，

（Ⅰ）首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用一元二次方程判别式求出参数a的取值范围．

（Ⅱ）直接利用参数方程中的关系式

求出a的值．

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，

f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数， 0＜x＜a 时f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1- ＜0，

∴f（x） 在 （0，a）递减函数．

当a≥1 时f（x）在[a，+∞）增函数，在（0，a）递减函数；

当0＜a＜1 时f（x）在[1，+∞），（a，1）增函数．在 （0，a）递减函数． （3）当a=1 x＞1 时x -1-lnx＞0 ∴

本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程判别式的应用，等比中项的应用．

＜

＜ =n-1-（ + +…+ ）＜n-1-（ + +…+ ）=n-1-

23.【答案】解：（1）由|x-m|＜1得-1＜x-m＜1，即m-1＜x＜m+1，

若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为 ＜x＜ ， 则（ ， ）⊊（m-1，m+1），

（ - + - +…+ - ）=n-1-（ - ）=【解析】

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≤m≤ 即 ，得，即，

即实数m的取值范围是 ≤m≤ ．

（2）证明：∵a，b是正数，且a+b=1，

2222

∴（ax+by）（bx+ay）=abx+（a+b）xy+aby=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy ≥ab 2xy+（a2+b2）xy =（a+b）2xy =xy，

∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立． 【解析】

（1）根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可． （2）展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出．

本题主要考查不等式的应用和证明，利用绝对值的性质结合不等式的证明方法是解决本题的关键．

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