2018-2019学年江西省南昌市九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分

1．（3分）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A．N

B．A

C．M

D．E

2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴是（ ） A．x＝1

B．x＝﹣1

C．x＝3

D．x＝﹣2

3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根x1、x2，则x1+x2＝（ ） A．4

B．3

C．﹣4

D．﹣3

4．（3分）若抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，则所得的抛物线解析式是（ ） A．y＝﹣x2+1

B．y＝﹣（x+1）2

C．y＝x2﹣1

D．y＝﹣（x﹣1）2

5．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

6．（3分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根的是（ ） A．a＝0

B．c＝0

C．a＞0

D．c＞0

7．（3分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手．设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（ ） A．x（x+1）＝36 C．2x（x+1）＝36

B．x（x﹣1）＝36 D．x（x﹣1）＝36×2

8．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

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9．（3分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 ．

10．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ ． 11．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为 ．

12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m＝ ．

13．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．

14．（3分）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15．（6分）（1）解方程x2﹣2x﹣1＝0； （2）解方程x（x+3）＝2x+6．

16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根 （1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 17．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点P（1，﹣3） （1）求a的值；

（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 18．（6分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．

（1）求证：△BDE≌△BCE；

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（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

20．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．

21．（8分）如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一交点A． （1）你能求出点A的坐标吗？

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

五、解答题（本大题共1小题，共10分）

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22．（10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE+FD． 【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（

﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求

＝1.41，

＝1.73）

这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：

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2018-2019学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分

1．（3分）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A．N

B．A

C．M

D．E

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：观察后可知，是中心对称图形只有N．故选A．

【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．

2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴是（ ） A．x＝1

B．x＝﹣1

C．x＝3

D．x＝﹣2

，根据对称轴公式求解即可．

【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴方程为x＝﹣【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴对称轴方程是：x＝﹣故选：A．

＝1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的一般式求对称轴的公式是解决问题的关键．

3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根x1、x2，则x1+x2＝（ ） A．4

B．3

C．﹣4

D．﹣3

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由根与系数的关系可知： △＝9+4×4＝25 x1+x2＝3 故选：B．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

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4．（3分）若抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，则所得的抛物线解析式是（ ） A．y＝﹣x2+1

B．y＝﹣（x+1）2

C．y＝x2﹣1

D．y＝﹣（x﹣1）2

【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式． 【解答】解：∵y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），

∴把抛物线向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（0，﹣1）， ∵平移不改变抛物线的二次项系数， ∴平移后的抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣1． 故选：C．

【点评】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线解析式．

5．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【解答】解：旋转角是∠CAC′＝180°﹣30°＝150°． 故选：D．

【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．

6．（3分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根的是（ ） A．a＝0

B．c＝0

C．a＞0

D．c＞0

【分析】根据根的判别式，逐个判断得结论．

【解答】解：当a＝0时，方程ax2﹣5x+c＝0不是一元二次方程，故选项A错误； 当a＞0，ac＞当c＞0，ac＞

时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项C错误； 时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项D错误；

当c＝0时，△＝b2﹣4ac

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＝（﹣5）2＝25＞0

一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根． 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式△＝b2﹣4ac．

7．（3分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手．设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（ ） A．x（x+1）＝36 C．2x（x+1）＝36

B．x（x﹣1）＝36 D．x（x﹣1）＝36×2

【分析】设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，根据总共握手36次，列方程即可．

【解答】解：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次， 由题意得，x（x﹣1）＝36， 即x（x﹣1）＝36×2． 故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

【分析】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1判断二次函数的增减性．

【解答】解：A、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；

B、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；

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C、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣增大，故错误；

D、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣增大，故正确； 故选：D．

＝1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而

＝1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 （1，﹣2） ． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．

10．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ 6 ． 【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．

【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3， ∴2m2﹣4m＝6， 故答案为：6．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

11．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为 （1，﹣3） ．

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【分析】根据旋转变换与平移的规律作出图形，然后解答即可．

【解答】解：如图，将点C绕点A逆时针旋转90°后，对应点的坐标为（1，0）， 再将（1，0）向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）．

【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转与平移，作出图形，利用数形结合求解更加简便．

12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m＝ 1 ．

【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据顶点在x轴上，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1， 由若其顶点在x轴上，得 m﹣1＝0， 解得m＝1． 故答案为：1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用顶点在x轴上的出关于m的方程是解题关键． 13．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣1＜x＜5 ．

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【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（﹣1，0），由y＝ax2+bx+c＜0得函数值为正数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＜0的解集．

【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，

∴抛物线与x轴的另一个交点A与B（5，0）关于直线x＝2对称， ∴A（﹣1，0）．

∵不等式ax2+bx+c＜0，即y＝ax2+bx+c＜0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜5． 故答案为：﹣1＜x＜5．

【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的性质：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x＝﹣

；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，

当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上，当b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

14．（3分）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是 6或12或10 ．

【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，进行分情况计算．

【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；

当三角形的三边长是2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2＝10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10．

【点评】本题一定要注意判断是否能构成三角形的三边． 三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

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15．（6分）（1）解方程x2﹣2x﹣1＝0； （2）解方程x（x+3）＝2x+6． 【分析】（1）配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得．

【解答】解：（1）移项，得x2﹣2x＝1， 配方，得x2﹣2x+12＝1+12，即（x﹣1）2＝2， 开方，得x﹣1＝±∴x1＝1+

（2）移项，得x（x+3）﹣2（x+3）＝0， 因式分解，得（x+3）（x﹣2）＝0， ∴x+3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝2．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．

16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根 （1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用判别式的意义得4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式即可； （2）将x＝0代入方程得k2﹣1＝0，解得k＝1或k＝﹣1，利用k＜1得到k＝﹣1，然后得出方程，解之可得到方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣8（k﹣1）＞0， 解得k＜1．

（2）当x＝0时，有k2﹣1＝0， 解得k＝±1． ∵k＜1， ∴k＝﹣1．

∴0可能是方程的一个根．

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， ．

，x2＝1﹣

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当k＝﹣1时，方程可能化为x2+4x＝0． 解得x＝0或x＝﹣4． ∴方程另一个根是﹣4．

【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 17．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点P（1，﹣3） （1）求a的值；

（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（1，﹣3）代入抛物线方程，然后解关于a的方程即可；

（2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．

【解答】解：（1）∵抛物线过点P（1，﹣3）， ∴﹣3＝a+1，解得a＝﹣4．

（2）当a＝﹣4时，抛物线的解析式为y＝﹣4（x﹣2）2+1． ∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝2， ∴当x≤2时，y随x的增大而增大， ∵m＜n＜2， ∴y1＜y2．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

18．（6分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．

（1）求证：△BDE≌△BCE；

（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

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【分析】（1）根据旋转的性质可得DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°，然后根据垂直可得出∠DBE＝∠CBE＝30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；

（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．

【解答】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得， ∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝∠CBE＝30°， 在△BDE和△BCE中， ∵

，

∴△BDE≌△BCE（SAS）； （2）四边形ABED为菱形； 由（1）得△BDE≌△BCE， ∵△BAD是由△BEC旋转而得， ∴△BAD≌△BEC， ∴BA＝BE，AD＝EC＝ED， 又∵BE＝CE，

∴四边形ABED为菱形．

【点评】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

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（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价＝原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2＝324， 解得：x＝10，或x＝190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%．

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3120， 解得：m≥20．

答：为使两次降价销售的总利润不少于3120元．第一次降价后至少要售出该种商品20件．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．

20．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．

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【分析】（1）根据题意得方程求解即可；

（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可．

【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x＝72， 解得：x＝3或x＝12， ∵30﹣2x≤18， ∴x≥6， ∴x＝12；

（2）设苗圃园的面积为y，

∴y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣∵a＝﹣2＜0，

∴苗圃园的面积y有最大值， ∴当x＝

时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；

）2+

，

∵6≤x≤11，

∴当x＝11时，y最小＝88平方米．

【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 21．（8分）如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一交点A． （1）你能求出点A的坐标吗？

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）利用解方程组

可得到A点坐标；

（2）需要分类讨论：AP＝AO、OA＝OP、AP＝OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．

【解答】解：（1）解方程组所以A点坐标为（2，4）；

（2）①当AP＝AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1， 当PB＝OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形， 而A（2，4），

所以P点坐标为（4，0）． ②当OA＝OP时，∵A（2，4）， ∴OA＝则P（±2

＝2，0）；

，

得

或

，

③当AP＝OP时，如图2，过点P作PQ⊥AO于点Q． 设P（t，0）． 则Q（1，2）．

故OA•PQ＝OP×4，即×2解得t＝5， 即（5，0）．

综上所述，符合条件的点P的坐标是（4，0）或（2

，0）或（﹣2

，0）或（5，0）．

×

＝t×4，

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【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解是解题关键． 五、解答题（本大题共1小题，共10分）

22．（10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠BAD＝2∠EAF 关系时，仍有EF＝BE+FD．

【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（

﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求

＝1.41，

＝1.73）

这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：

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【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．

【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；

【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD．

【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，

又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠FAE， 在△GAF和△FAE中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF＝EF， 又∵DG＝BE， ∴GF＝BE+DF， ∴BE+DF＝EF；

【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．

理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM，

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在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF， 在△FAE和△MAE中，

，

∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF， 即EF＝BE+DF．

故答案是：∠BAD＝2∠EAF．

【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．

∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝60°． 又∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80米．

根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°， 又∵∠ADF＝120°，

∴∠GDF＝180°，即点G在 CD的延长线上． 易得，△ADG≌△ABE，

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE， 又∵AH＝80×

＝40

，HF＝HD+DF＝40+40（

﹣1）＝40

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故∠HAF＝45°，

∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15° 从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75° 又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF ∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（为109米．

﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约

【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．

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