2020年吉林春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2 2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ） A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105 3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． 4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
D．
A．
B．
C．
D．
5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（ ）
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A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170° 7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N； ②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD． 下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90° 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（ ）
A．0＜k≤2
B．≤k≤3
C．≤k≤2
D．≤k≤4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ． 11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．
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13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
，
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣
（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝． 16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC． 要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C在格点上．
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18．（7分）在国家精准扶贫的下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．
20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别
天数 年份
2014 2015 2016 2017 2018 2019
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
30 43 51 65 123 126
215 193 237 211 202 180
73 87 58 62 39 38
28 19 15 16 0 16
13 15 5 9 1 5
6 8 0 2 0 0
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%）． （空气质量为“优”的天数的增长率＝
×100%）
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．
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21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a的值为 ． （2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ 【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形． 【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则
＝ ．
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23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P与点B重合时，求t的值． （2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为等腰直角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A． （1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．
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2020年吉林春市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，
因此备选项中，只有选项C符合题意， 故选：C．
2．解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．
故选：B．
3．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱． 故选：A．
4．解：x≥3﹣2， x≥1， 故选：D．
5．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， 则sinA＝
，cosA＝
，tanA＝
，
∵AP＝2PC， ∴
，
∴PD＝，CD＝1﹣c， ∴OD＝OC+CD＝1+c， ∴P（1+c，），
把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得 k＝
c，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
6．解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°． 故选：B．
7．解：由作图可知，MN垂直平分线段BC， ∴DB＝DC，MN⊥BC，
∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B， ∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴2∠B+∠ACD＝90°， 故选项A，B，D正确， 故选：C．
8．解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B， ∴OB＝3，AB＝2， 设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，
则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c， ∴△PCD∽△ACB， ∴
，
∵0≤c≤3 ∴
，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．解：根据单价×数量＝总价得，（30m+15n）元， 故答案为：（30m+15n）． 10．解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
11．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0， ∴m＝1，
故答案为：1． 12．解：正五边形的一个外角＝
＝72°．
故答案为：72．
13．解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°， ∴AC＝
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＝＝2，
∴∠C＝∠BAC＝45°， ∴S
阴
18．解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，
﹣
依题意，得：
﹣
＝20，
＝S
扇形
CAD﹣S△ACB＝
×2×2＝π﹣2，
故答案为π﹣2．
14．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）， ∴AB＝4， ∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2， ∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝
＝c+1，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， 在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△OFD（AAS）， ∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF， ∵OF＝2， ∴OE＝2， ∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，tan∠OBE＝
＝．
，
∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k， 解得，k＝．
三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2 ＝a2+7．
当a＝时，原式＝（）2+7＝9． 16．解：根据题意画图如下：
20．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；
（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为
＝
7，因此中位数是7天，
这6年的“重度污染”的天数的平均数为
共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．
17．解：如图所示：即为符合条件的三角形．
＝8天，
故答案为：7，8；
（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：
2015年，43﹣30＝13天； 2016年，51﹣43＝8天； 2017年，65﹣51＝14天； 2018年，123﹣65＝58天； 2019年，126﹣123＝3天， 因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为
故答案为：2018，%；
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≈%，
（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少． 21．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）； a＝40×6×2＝480， 故答案为：40；480； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480）， ∴
，解得
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP＝∠APF，
由翻折可知，∠APF＝∠FPQ， ∴∠QFP＝∠FPQ， ∴QF＝QP，
∴△PFQ是等腰三角形．
（3）如图③中，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；
（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝
；
∵四边形PGQF是菱形， ∴PG＝GQ＝FQ＝PF， ∵QF＝QP， ∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m， ∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°， ∴∠DQD′＝30°， ∵∠D′＝90°，
∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝
m，
由翻折可知，AD＝QD′＝＝m，
∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，
m，PQ＝CQ＝FQ
D′F＝
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝
，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是
小时或
小时．
22．（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADA′＝90°，
由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°， ∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°， ∴四边形AEA′D是矩形， ∵DA＝DA′，
∴四边形AEA′D是正方形．
（2）解：结论：△PQF是等腰三角形． 理由：如图②中，
∴＝＝．
故答案为．
23．解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝
．
（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝
＝
＝5，
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∴sinA＝，cosA＝，
如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cosA＝4t， ∴EC＝5﹣4t．
在Rt△APE中，PE＝PA•sinA＝3t，
∵DE＝AC﹣AE﹣CD﹣5﹣4t﹣2t＝5﹣6t， ∵PE＝DE， ∴3t＝5﹣6t，
如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝， ∴EC＝PC•cosC＝（7﹣5t）＝
﹣3t．
∴t＝．
如图⑤中，当点P在线段BC上时，
在Rt△PCE中，PE＝PC•sinC＝（7﹣5t）＝﹣4t，
（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，
如图④中，当点P在线段AB上时，
∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣∴
﹣4t＝5t﹣
．
，
，
解得t＝
观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．
（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥
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AB时，
∴PK＝PQ＝（7﹣5t），
在Rt△DCH中，DH＝DC＝t， ∵DH＝2PK， ∴t＝2×解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为
过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H． ∵PB∥MN∥DH，PM＝DM， ∴BN＝NH，
在RtPQG中，PQ＝2PE＝6t， ∴QG＝PQ＝
t，
或．
（7﹣5t），
24．解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）； （2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1， 得：2＝1﹣2a﹣1， 解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1， ∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1）， 当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示： ∵x≤0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2， ∴2a﹣（﹣1）＝2， 解得：a＝；
当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点， 如图3所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2， 整理得：（a+1）2＝2，
解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+舍去）；
在Rt△DCH中，HC＝DC＝t， ∵BC＝BH+CH＝解得t＝
如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，
．
t+
t+t＝3，
（不合题意；
点点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于
K．
∵QM∥BC，DM＝PM， ∴DH＝2PK，
在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），
综上所述，a的值为或﹣1﹣
（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为
E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）， ∴直角边为EF与FG，
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1）， ∴AA′＝﹣2a，
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当点P在EF边上时，如图4所示： 则xp＝﹣1， ∵EA＝OA＝1，
∴点P在对称轴x＝a的左侧， ∴PP′＝2（a+1）， ∵AA′＝2PP′， ∴﹣2a＝2×2（a+1）， 解得：a＝﹣；
当点P在FG边上时，如图5所示： 则yp＝a﹣1，
∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1， 解得：x1＝a+∴PP′＝a+2
，
，x2＝a﹣﹣（a﹣
， ）＝
∵AA′＝2PP′， ∴﹣2a＝4
，
解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）； 综上所述，a的值为﹣或﹣．
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