【人教版】2015-2016学年八年级下期中数学试卷(含答案)

八年级（下）期中数学试卷

一、选择题：每小题2分，共20分

1．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2

3．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12

4．不等式2（x+1）＜3x的解集在数轴上表示出来应为（ ） A．

B．

C．

D．

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）

A．5 B．4 C．7 D．6

6．AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，已知△ABC中，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）

A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm 7．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法： ①AB∥DE，AD=CF=BE； ②∠ACB=∠DEF；

③平移的方向是点C到点E的方向； ④平移距离为线段BE的长． 其中说法正确的有（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

8．如图所示，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2

9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是（ ）

A．（1，4） B．（4，1） C．（4，﹣1） D．（2，3）

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）

A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

二、填空题：每小题3分，共30分

11．用不等式表示：x与5的差不小于x的2倍： ．

12．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 ．

13．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形． 14．不等式x﹣8＞3x﹣5的最大整数解是 ． 15．若不等式组

有解，则a的取值范围是 ．

16．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 ． 17．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 度，能够与本身重合． 18．如图，在△ABC和△ADC中，下列结论： ①AB=AD；

②∠ABC=∠ADC=90°； ③BC=DC．

把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出 个真命题．

19．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 支．

20．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．

三、解答题：共70分 21．解下列不等式

（1）2（﹣3+x）＞3（x+2） （2）

≥

．

22．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上 （1）﹣＜1﹣x＜

（2）．

23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建 立平面直角坐标系以后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3）．（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标（ ， ）．

（2）若Rt△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则平移后点P的对应点P1的坐标是（ ， ）．

（3）将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．

24．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形．

25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

26．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，

求证：E点在线段AC的垂直平分线上．

27．如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．PA=1，PB=2．将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使点P旋转至点P′，且AP′=3，求∠BP′C的度数．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ． （1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

2015-2016学年山东省菏泽市郓城县八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：每小题2分，共20分

1．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误． 故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2 【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．

【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；

D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D．

【点评】本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

3．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2=4，

∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长=2+4+4=10，

综上所述，它的周长是10． 故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．

4．不等式2（x+1）＜3x的解集在数轴上表示出来应为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先解不等式，把不等式的解集表示出来，再对照答案的表示法判定则可． 【解答】解：去括号得：2x+2＜3x 移项，合并同类项得：﹣x＜﹣2即x＞2． 故选D．

【点评】解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）

A．5 B．4 C．7 D．6

【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短．

【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．

【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3； ∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， ∴AB=6，

∴AP的长不能大于6． 故选C．

【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6．

6．AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，已知△ABC中，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）

A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】分类讨论．

【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案． 【解答】解：如图，连接BD， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴BD=AD，

∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm， 且AB+AC+BC=60cm， ∴AB=60cm﹣38cm=22cm， ∴AC=22cm，

∴BC=38cm﹣AC=38cm﹣22cm=16cm， 即等腰三角形的腰为22cm，底为16cm，

故选D．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

7．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法： ①AB∥DE，AD=CF=BE； ②∠ACB=∠DEF；

③平移的方向是点C到点E的方向； ④平移距离为线段BE的长． 其中说法正确的有（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【考点】平移的性质．

【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．

【解答】解：①∵A与D、B与E、C与F对应点，∴AB∥DE，AD=CF=BE；正确； ②∵∠ACB与∠DFE是对应角，∴∠ACB=∠DFE，错误； ③平移的方向是点C到点F的方向；错误； ④平移距离为线段BE的长，正确． 故选B．

【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．

8．如图所示，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据图象求出P的坐标，根据图象可以看出当x＜2时，一次函数y=kx+b的图象在y=ax的上方，即可得出答案．

【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1）， 当x＜2时，一次函数y=kx+b的图象在y=ax的上方， 即kx+b＞ax， 故选D．

【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当x＜2时kx+b＞ax是解此题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是（ ）

A．（1，4） B．（4，1） C．（4，﹣1） D．（2，3） 【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】线段旋转后长度不会变化，然后根据三角形的全等算出A'的坐标． 【解答】解：如图：∵∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠A′OC=90°， ∴∠AOB=∠A′OC，

∵OA=OA′，∠A′CO=∠ABO=90°， ∴△ABO≌△A′BO， ∴A′C=AB OC=OB．

因为A′位于第四象限，则A′坐标为（4，﹣1）．

故选C．

【点评】本题重点在于对图形旋转的理解，图形旋转后各性质都不会变化．根据题中所给条件找出三角形全等的条件，由此得出三角形给边的长度从而A'坐标也求出了．

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）

A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N， ∵DE=DG， ∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5． 故选B．

【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

二、填空题：每小题3分，共30分

11．用不等式表示：x与5的差不小于x的2倍： x﹣5≥2x ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【分析】根据题中的不等关系列出不等式．

【解答】解：∵x与5的差不小于x的2倍，即x﹣5≥2x．

【点评】解题关键是掌握题中给出的不等关系，即“x与5的差不小于x的2倍”，注意不小于即“≥”．

12．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 到角的两边的距离相等的是角平分线上的点 ．

【考点】命题与定理．

【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．

【解答】解：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的是角平分线上的点”．

故答案为：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．

【点评】根据逆命题的定义来回答，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结 论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

13．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 直角 三角形． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案．

【解答】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角．

【点评】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

14．不等式x﹣8＞3x﹣5的最大整数解是 ﹣2 ． 【考点】解一元一次不等式．

【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大整数解． 【解答】解：不等式x﹣8＞3x﹣5的解集为x＜﹣； 所以其最大整数解是﹣2．

【点评】解答此题要先求出不等式的解集，再确定最大整数解．解不等式要用到不等式的性质： （1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

15．若不等式组

有解，则a的取值范围是 a≤2 ．

【考点】不等式的解集． 【分析】根据不等式组【解答】解：∵不等式组∴a≤2， 故答案为：a≤2．

【点评】本题考查了不等式的解集，不等式的解集是大于小的小于大的．

16．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 （﹣3，0） ． 【考点】坐标与图形变化-平移．

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【解答】解：将点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，

有解，可得a与2的关系，可得答案． 有解，

∴﹣2﹣1=﹣3，﹣3+3=0，

∴所得到的点的坐标为（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）．

【点评】本题考查了坐标与图形的关系，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加，解题的关键是熟记这一规律．

17．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 120 度，能够与本身重合． 【考点】旋转对称图形；等边三角形的性质．

【分析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．

【解答】解：等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少360÷3=120度． 【点评】等边三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要重点掌握的内容．

18．如图，在△ABC和△ADC中，下列结论： ①AB=AD；

②∠ABC=∠ADC=90°； ③BC=DC．

把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出 2 个真命题．

【考点】命题与定理．

【分析】共有三种组合：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①，再进行证明即可． 【解答】解：①②⇒③； ∵②，

∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴③； ①③⇒②；

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠ABC=∠ADC，但不一定等于90°， ∴不能推得②； ②③⇒①；

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴①； 故答案为2．

【点评】本题考查了命题和定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

19．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 8 支． 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题．

【分析】根据“所付金额大于26元，但小于27元”作为不等关系列不等式组求其整数解即可求解． 【解答】解：设签字笔购买了x支，则圆珠笔购买了15﹣x支，根据题意得

解不等式组得 7＜x＜9 ∵x是整数 ∴x=8．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

20．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 （36，0） ．

【考点】坐标与图形变化-旋转． 【专题】压轴题；规律型．

【分析】根据前四个图形的变化寻找旋转规律，得到⑩的直角顶点的坐标．

【解答】解：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）． 故答案为：（36，0）．

【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题．

三、解答题：共70分 21．解下列不等式

（1）2（﹣3+x）＞3（x+2） （2）

≥

．

【考点】解一元一次不等式．

【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得； （2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解． 【解答】解：（1）去括号得，﹣6+2x＞3x+6， 移项、合并同类项得，﹣x＞12， 系数化为1得，x＜﹣12；

（2）去分母得，2（1﹣2x）≥4﹣3x， 去括号得，2﹣4x≥4﹣3x， 移项、合并同类项得，﹣x≥2， 系数化为1得，x≤﹣2．

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式）不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数不等号的方向改变．

22．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上 （1）﹣＜1﹣x＜

（2）．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

【分析】（1）将原不等式组转化为一元一次不等式组的一般形式，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，表示在数轴上即可；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集后，将解集表示在数轴上即可．

【解答】解：（1）原不等式组可化为：，

解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜6，

∴原不等式组的解集为：2＜x＜6， 解集表示在数轴上如图：

（2）

解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＜﹣1，

，

∴不等式组的解集为：x＜﹣1， 解集表示在数轴上如图：

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建 立平面直角坐标系以后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3）．（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标（ 2 ， 1 ）．

（2）若Rt△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则平移后点P的对应点P1的坐标是（ a+8 ， b ）． （3）将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【专题】作图题．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标； （2）根据向右平移横坐标加，纵坐标不变解答；

（3）根据网格结构找出点A、B、CABC绕着点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．

【解答】解：（1）Rt△A1B1C1如图所示，A1（2，1）；

（2）P1（a+8，b）；

（3）Rt△A2B2C2如图所示．

故答案为：（1）2，1；（2）a+8，b．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

24．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定． 【专题】证明题．

【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，

（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠ADB=∠ACB=90°， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴BC=AD，

（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴∠CAB=∠DBA，

∴OA=OB，

∴△OAB是等腰三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．

25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可； （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

26．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上．

【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题．

【分析】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．

【解答】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE，

∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE，

∴点E在线段AC的垂直平分线上．

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．

27．如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．PA=1，PB=2．将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使点P旋转至点P′，且AP′=3，求∠BP′C的度数．

【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．

【分析】首先连接PP′，由旋转的性质，可求得PP′的长，∠BPP′=45°，然后由勾股定理的逆定理，证得∠APP′=90°，继而求得答案．

【解答】解：连接PP′，

∵△ABP绕点B顺时针旋转90°，使点P旋转至点P′， ∴P′B=PB=2，∠PBP′=90°， ∴PP′=

∵PA=1，AP′=3， ∴PA2+PP′2=AP′2， ∴∠APP′=90°，

∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=135°， ∴∠BP′C=∠APB=135°．

=2

，∠BPP′=45°，

【点评】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ． （1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题； （2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；

（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．

【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C， ∵△AOB为等边三角形，且OA=2， ∴∠AOB=60°，OB=OA=2， ∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°， ∴BC=OB=1，OC=∴点B的坐标为B（

（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下： ∵△APQ、△AOB均为等边三角形， ∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB， ∴∠PAO=∠QAB， 在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS）， ∴∠ABQ=∠AOP=90°；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方， ∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°． 又OB=OA=2，可求得BQ=

， ， ，1）；

由（2）可知，△APO≌△AQB， ∴OP=BQ=

，

，0）．

∴此时P的坐标为（﹣

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用分类讨论得出是解题关键．