全等三角形知识总结与典例解析

【知识要点】

全等三角形

1. 判定和性质

一般三角形 边角边（SAS）、角边角判定 （ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 直角三角形 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形面积相等． 2. 证题的思路：

找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角 边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）3. 性质特点

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等.

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.（SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) 4. 运用

1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等. 而全等的判定却刚好相反.

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便.

3、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形. 4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离.以及等角，用于工业和军事.有一定帮助.

5、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 5. 做题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等. 因此我们可以来采取逆思维的方式. 来想要证全等，则需要什么条件

另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息.

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等.

【典例解析】

实例点拨

例1 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE.

求证：AE=BD.

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立.证明如下：

证明：

∵点C是线段AB的中点 ∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴AE=BD

反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等.

例2 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD

解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等.证明如下：

证明：在△ABE和△ACE中 AB=AC， EB=EC， AE=AE

∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE＝∠CAE 在△ABD和△ACD中 AB=AC

∠BAE= ∠CAE AD=AD

∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD

反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路.此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程.

例3 如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，

求证：AB=DE.

证明： ∵AC∥DF， ∴CF 在ACB和DFE中

ACDF CFACB和≌DFE，中 BCEF∴AB=DE.

ABAC,ADBC于点D，ADAE，AB平分DAE交DE于点F，例4 如图， 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．．

解析：

（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、

△BFD≌△BFE、 △ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB≌ADC为例证明．

证明：

ADBC,ADBADC90°.

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

ABAC,ADAD,

∴ Rt△ADB≌Rt△ADC.

例5 如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B． 下列结论中不一定成立的是（ ）

A.PAPB B.PO平分APB C.OAOB

D.AB垂直平分OP

解析：选D.由OP平分AOB，PAOA，PBOB，可得PAPB，由HL

可得Rt△AOP≌Rt△BOP，所以可得PO平分APB，OAOB.

例6 如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米.

解析：过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得CDBD2BC2102826,由角平分线性质得DECD6 答案：6.

例7 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长.

A42B1E3DFCG

解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，

21在△ABE和△DAF中，ABDA， ∴△ABE≌△DAF.

43（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4,

∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o

在正方形ABCD中， AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o

在Rt△ADF中，∠AFD=90o，AD=2 , ∴AF=3 ， DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE=31.