任意角的三角函数(二)
(15分钟 30分)
1.下列说法不正确的是 ( )
A.当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点
B.当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点
【解析】选D.根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确,因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上.
2.图中角α的正弦线、余弦线和正切线分别是 ( )
A.OM,MP,AT
B.OM,MP,A′T′
1
C.MP,OM,AT D.MP,OM,A′T′
【解析】选D.由角的终边及单位圆可知,正弦线,余弦线,正切线分别为:MP,OM,A′T′.
3.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为 ( )
A.tan 1>sin 1>cos 1 B.sin 1>tan 1>cos 1
C.sin 1>cos 1>tan 1 D.tan 1>cos 1>sin 1
【解析】选A.单位圆中,∠MOP=1>,
因为<<<,
所以cos 14.已知θ∈,在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP,OM,AT,则它们从大到小的顺序为 .
【解析】画图如图所示,由图可知AT>MP>OM.
2
答案:AT>MP>OM
5.求函数y=的定义域.
【解析】由题意得:2cos x-1≥0,则有cos x≥.
如图在x轴上取点M1使OM1=,过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1,P2,
连接OP1,OP2.则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围.
所以满足为:
cos x≥的角的集合即
.
y=的定义域
3
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.角和角有相同的 ( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
【解析】选C.与的终边互为反向延长线,故它们有相同的正切线.
2.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线,则 ( )
A.MPC.OM【解析】选D.根据三角函数线的定义得到,π的余弦线是负的,正弦线是正的,故得到OM<03.使sin x≤cos x成立的x的-个变化区间是 ( )4
A. B.
C. D.[0,π]
【解析】选A.根据三角函数线易判断图中阴影部分即为所求.
4.已知cos α>cos β,那么下列结论成立的是
( A.若α,β是第一象限角,则sin α>sin β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限角,则sin α>sin β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
【解析】选D.由图(1)可知,cos α>cos β时,sin α)5
由图(2)可知,cos α>cos β时,tan α由图(3)可知,cos α>cos β时,sin α由图(4)可知,cos α>cos β时,tan α>tan β,故D正确.5.依据三角函数线,作出如下判断:
①sin=sin;
②cos=cos;
③tan>tan;
④sin>sin.
其中判断正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
)
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( 【解析】选B.如图,容易判断正确的结论有②④.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限为 .
【解析】因为π<3<π,作出单位圆如图所示,作PM⊥x轴.
设MP,OM分别为a,b.
sin 3=a>0,cos 3=b<0,所以sin 3-cos 3>0.
因为|MP|<|OM|,即|a|<|b|,
所以sin 3+cos 3=a+b<0.
故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限.
7
答案:第四象限
7.sin,cos,tan从小到大的顺序是 .
【解析】由
图可知:cos<0,
tan>0,sin>0.
因为|MP|<|AT|,
所以sin故cos答案:cos88.若0<α<2π,且sin α<,cos α>.利用三角函数线,得到α的取值范围是 .
【解析】利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内,
所以α的取值范围是∪.
答案:∪
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.利用三角函数线,写出满足|cos α|>|sin α|的角α的集合.
【解析】如图,作出单位圆.
所以角α满足的集合为.
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10.利用单位圆和三角函数线证明:若α为锐角,则
(1)sin α+cos α>1.
(2)sin2α+cos2α=1.
【证明】(1)如图,记角α的两边与单位圆的交点分别为点A,P,过点P作PM⊥x轴于点M,则sin α=MP,cos α=OM.
在Rt△OMP中,MP+OM>OP,所以sin α+cos α>1.
(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,
所以sin2α+cos2α=1.
1.若-<θ<0,且P=3cos θ,Q=(cos θ)3,R=(cos θ,则P,Q,R的大小关系为 .
【解析】因为-<θ<0,由余弦线知cos θ∈(0,1),所以P=3cos θ>1,
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Q=(cos θ)3∈(0,1);R=(cos θ∈(0,1),
(cos θ)3<(cos θ,可得:Q答案:Q2.利用三角函数线证明:若0<α<β<,则β-α>sin β-sin α.【证明】如图所示,单位圆O与x轴正半轴交于点A,与角β,α的终边分别交于点P,Q,过P,Q分别作OA的垂线,垂足分别是M,N,则sin α=NQ,sin β=MP.过点Q作QH⊥MP于H,则HP=MP-NQ=sin β-sin α.
连接PQ,由图可知HP<=-=β-α,
即β-α>sin β-sin α.
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