安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(含答案)

数学试题

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知命题p:xR,x11，命题q:x0,x2x10，则（ A.命题p､命题q都是真命题B.命题p的否定､命题q都是真命题C.命题p､命题q的否定都是真命题D.命题p的否定､命题q的否定都是真命题

2.给定两个随机变量x和y的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为

）

ˆ1.5xaˆ，则（ ）yx12

24

34

47

58

yˆ0.5,x3时的残差为-1A.aˆ0.5,x3时的残差为1B.aˆ0.4,x3时的残差为-0.9C.aˆ0.4,x3时的残差为0.9D.a3.若质点A运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系是St该质点在t3s时的瞬时速度和从t1s到t3s这两秒内的平均速度分别为（ A.）

2(t1），那么t22222222, B., C., D.,393993934.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）

B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

）

5.对于实数a,b,c,d，下列说法正确的是（ A.若ab，则

11abaB.若ab,cd，则acbdbcacab11D.若ab1，则ababC.若abc0，则

16.在二项式2x的展开式中，二项式系数的和为，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次

x项（未知数x的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ A.

）

n1112 B. C. D.3577.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格

21，则本次测试的不合格率为（ ）40A.10% B.20% C.30% D.40%人数为，已知P11a22b22c2d28.已知a,b,c,d,1，则的取值范围是（ ）

3abbccdA.2,

25B.2,10510, D.2, C.323二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列说法中正确的是（

）

A.若N0,1，且P(1)p，则P(1„0)1p2B.设Bn,p，若E30,D20，则n90C.已知随机变量X的方差为DX，则D2X32DX3D.若XB10,0.8，则当X8时概率最大

10.已知m,nN*且nm1，下列等式正确的有（

）

A.AnmAn1n1nmm1B.An1AnnAn1C.C3C4C5C2023C2024D.C0n333320212n1C1n22Cnn2Cn2nx22ax2a,x011.设函数fxx，则下列说法正确的是（ ）

ea,x0A.若函数fx在R上单调递增，则实数a的取值范围是,0B.若函数fx有3个零点，则实数a的取值范围是2,C.设函数fx的3个零点分别是x1,x2,x3x1x2x3，则x1x21x3的取值范围是31,4ln23D.存在实数a，使函数fx在1,1内有最小值

三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.全集UR,A4,8,B0,6，则AðUB__________.

a213.已知a0，函数fxaxx2有两个不同极值点x1,x2，则fx1fx2__________.

2314.从一列数a1,a2,a3,,a3m2m3,mZ中抽取ai,aj(1ij3m2)两项，剩余的项分成

a1,a2,,ai1,ai1,ai2,,aj1,aj1,aj2,,a3m2三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，

则ai,aj有__________种不同的取法.（答案用m表示）

四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）

15.（13分）

（1）解关于x的不等式：xa1xa0.

2（2）关于x的不等式x2ax30在x1,2上有解，求实数a的取值范围.

16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：

从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：

男生

喜欢不喜欢合计

352560

女生152540

合计5050100

（1）根据样本数据，依据0.01的性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.

（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据0.01的性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因

n(adbc)2参考公式：其中nabcd.

abcdacbd2x0.0503.841

0.0106.635

0.00110.828

2217.（15分）对于一个函数fx和一个点Ma,b，定义sx(xa)(fxb)，若存在

Px0,fx0，使sx0是sx的最小值，则称点P是函数fx到点M的“最近点”.

（1）对于fx1(x0)和点M0,0，求点P，使得点P是fx到点M的“最近点”.x（2）对于fxlnx,M0,1，请判断是否存在一个点P，它是fx到点M的“最近点”，且直线MP与fx在点P处的切线垂直，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.

18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A,B,C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选A,2人选B,1人选

C，则选择C的人获奖；5人中3人选A,1人选B,1人选C，则选择B和C的人均获奖；如A,B,C中有

一个或两个字母没人选择，则无人获奖）

（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；

（2）设每组5人中获奖人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（3）商家提供方案2：将A,B,C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？

ex19.（17分）函数fx.

x（1）求函数fx的单调区间；（2）已知函数gx围；

（3）设xfx2sinx，若xa是函数x在π,0上的极值点，求证：0a2.

x，当函数ygx的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上的截距的取值范fx合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考

数学参芳答案

一.单选题

1.【答案】D

【解析】对于命题p，当x1时，x101，故p是假命题，则p的否定为真命题，对于命题

q,Δ0，故q是假命题，q的否定是真命题，综上可得，p的否定和q的否定都是真命题.

故选D.2.【答案】A【解析】由已知x12345244783,y5，

55ˆ1.5xaˆ上，因为点x,y在回归直线yˆ0.5，所以aˆ3451.所以x3时残差为4y故选：A.3.【答案】D

【解析】ΔSS3ΔtS3ΔtΔt2223Δt3，

Δt33Δt所以limS222lim.即该质点在t3s时的瞬时速度为；

t0tt03(3t)99S3S1312；3从t1s到t3s这两秒内的平均速度为故选：D.4.【答案】B

【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿.故选：B.5.【答案】D

【解析】对于选项A，若a1,b1时，

11，则A错误.aba对于选项B，若ab,cd，当a1,b1,c2,d3，则acbd，则B错误.对于选项C，若取a3,b2,c1，则对于选项D，因为函数yx故选：D.6.【答案】A

bc1，故错误.acab1在1,上单调递增，故D正确.x1n6【解析】在二项式2x展开式中，二项式系数的和为22，所以n6.

x11r6rr3rTC(2)(1)x,r0,1,2,,6，则2x即，通项公式为2xr16xx故展开式共有7项，当r0,2,4,6时，展开式为奇次项，

把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有A3A4种，

34nnA313A4故奇次项都互不相邻的概率为P，A7357故选：A.7.【答案】C

【解析】设10名学生中有n名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由P12C121nC10n，化简得n10n9n637，解得n3，即本次测试的不合格率为3C104021，得403100%30%.10故选：C.8.【答案】Ba22b22c2d2a2b2b2c2c2d22ab2bc2cd【解析】因为…2，当且仅当

abbccdabbccdabbccdabcd时等号成立.

ba101a,b,1，由对勾函数性质，所以„，

3ab3则ab…3232232ab2，同理bc…bc,cd…cd2101010a22b22c2d2a22b22c2d210„则32abbccd3，

a2b22c2d21010a22b22c2d2故的取值范围是2,.

3abbccd故选：B.

二､多选题

9.【答案】ABD

【解析】对于选项A，若N0,1,P(1„0)12P(1)1p，则A正确.

22n90Enp30对于选项B，设Bn,p，则，解得1，则B正确.

Dnp1p20p3对于选项C，D2X34DX，故C错误.

对于选项D，因为XB10,0.8，则PxkC100.80.2kk10k；

因为

Pxk1Pxkk1C100.8k10.29k404k404k39k1k8，，若C100.8k0.210kk1k15则当k7时，Pxk1Pxk，当k8时，Pxk1Pxk，

即P(x1)P(x2)P(x7)P(x8)P(x9)P(x10)，所以当X8时概率最大，故D正确.故选：ABD.10.【答案】BD

m【解析】对于选项A，Ann1!n!1nnAmn1，则A错误.

nm!n1m1!2n12对于选项B，An1Ann1!n!n!n11nn!,nAn1nn1n1n2n1Ann1AnnAn1，则B正确.

n1!nn!，所以

对于选项

333433343342020C,C33C4C5C2023C4C4C5C2023C5C5C2023C2024C2024，故C

错误.

对于选项D，考虑二项式(1x)展开式的xn前的系数是C2n，又因为

011nn(1x)2n(1x)n(x1)n的xn前的系数可看成C0nCnCnCnCnCn，故D正确.

2nn故选：BD.11.【答案】BC

2aa0a0fx【解析】对于选项A，若函数在R上单调递增，则2，即，即

a12a1aa1,0，则A错误.

对于选项B，令fx0，当x0时，aex，若函数fx有3个零点，则aex需有一个零点，则

a1；

当x0时，得x22ax2a0，若函数fx有3个零点，则x22ax2a0需有两个不等的负实根

Δ(2a)242a0，则，解得a2.

2a0故若函数fx有3个零点，则a的取值范围是2,，则B正确.

x1x22afxx,x,xxxx对于选项C，设函数的3个零点分别是1231，得23，则x3ea11116x1x1x2x32alna，令gx2xlnx,x2,则gx2，则gx3333x3x1在2,上单调递减，g(x)maxg24ln23当x趋近于时，gx趋近于负无穷大，则函数gx的取值范围为,41ln23即x1x211x3的取值范围是,4ln2，故C正确.

332对于选项D，当x0时，函数f1xx2ax2a是开口向下的二次函数，故函数f1x只能在两边端点处取得最小值；当x0时，函数f2xea单调递增，故f2(x)minf201a；要使函数

xa2f1111afx在1,1内有最小值，即，即，故a无解，所以不存在a，故

f02a1aa11错误.故选：BC.

三､填空题

12.【答案】6,8解析：ðUB,06,，所以AðUB6,813.【答案】4.

解析：由三次函数对称性可知fx1fx24.答案：4.（24年全国1卷18题第2问思路）

aaa2另解：fx3ax0解得x1,x22662所以fx1fx2f14.答案：

a6af64123mm1.22解析：设三组中的数的个数分别为3x,3y,3zx,y,zN则3x3y3z23m2，所以xyzm隔板法可得C2m1m1m21m23m1.

222（24年全国1卷19题第3问思路）

四､解答题

15.解析：（1）因为xa1xa0解得x1a,x21.2当a1时，不等式解集为,1a,；当a1时，不等式解集为R；当a1时，不等式解集为,a1,.

3x233axx1,2（2）易知a在上有解，所以x..xmaxxx因为x1,2，所以x所以a4.答案：a416.解析：（1）零假设为H0：是否喜欢篮球和学生性别没有关联.

34.xn(adbc)24.1676.635x0.01.

abcdacbd2根据0.01的性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分

不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算：

n(adbc)28.3336.635x0.01.

abcdacbd2根据0.01性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联

与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.

17.解析：（1）sxx212,(x0)，当且仅当x1时，等号成立，所以当P1,1时，2x点P是fx到点M的“最近点”；.（2）sxx(lnx1),(x0)；

222x222lnx所以sx;x记hxx1lnx,(x0)，则hx在0,上单调递增，

2因为h10，所以sx在0,1单调递减，在1,单调递增，所以sxs1，即点P1,0是fx到点M的“最近点”.切点为P1,0，则fx在点P处的切线l的斜率为1，

kMP10101所以直线MP与fx在点P处的切线垂直，

当且仅当取P1,0时，它是fx到点M的“最近点”，且直线MP与fx在点P处的切线垂直.18.解析：（1）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B.

A313PB∣AC2nA7.133C4A34A3A22（2）X的可能取值为0,1,22331C5A3C1935A3C3PX035243211C1CC33545C4AA332A2A906022PX1;PX2;5532433243nAB所以X的分布列为：

XP01

9324390243602439390607012.24324324381707000300.（3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为8127X的数学期望EX0设选择方案2获奖人数为Y,Y的可能取值为0,1,2.

222C1C5AA2210205A22则PY05;PY15;PY252;232232232方案2获奖人数的数学期望EY0210202512.32323216选择方案2获取奖金总额的数学期望为因为

25625200.1626257000.所以选择方案2.227∣x019.解析：（1）fx的定义域为xxxexexex1fx0.得到x1.22xx所以fx在1,单调递增，在,0和0,1单调递减.

x22xexx2ex2xx2（2）因为gxx，所以gx,xR.2xxeee设切点坐标为x0,x0e2x0，则切线方程为yx02x0e2x0x02xx0.ex02x0x02因为曲线ygx的切线的斜率为负数，所以0，解得x00或x02.x0e在切线方程中，令y0，得xe2x0022x0x0xx0，x0ex02x02x023.解得xx02x02令tx02，则xt23(t2或t0)，t可得x,0322,.

即l在x轴上的截距的取值范围为,0322,.

x1ex2x2cosxex（3）因为x2sinx.则x.2xx当xππ,0时，x0.故x在,0上单调递减.22πx2时，令hxx1e2xcosx2x2当xπ,则hxxe4xcosx2xsinxxe4cosx2xsinx0,x所以hx在π,ππhπ0,h上单调递减，因为0，

22所以hx在π,ππxπ,.上有唯一零点即在上有唯一零点xa.22当xπ,a时，hx0，即x0，

当xa,0时，hx0，即x0，所以xa时x取最大值.

π2πe21eaπ所以，a0,a2sina2sina22即0a2得证.

ππe2a