工程流体力学习题解析杨树人)之欧阳育创编

时间：2021.02.04 创作：欧阳育 目 录

欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

第一章 流体的物理性质

一、学习引导

1．连续介质假设

流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考虑流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照这种假设，流体充满一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是连续介质。 2．液体的相对密度

是指其密度与标准大气压下4℃纯水的密度的比值，用δ表示，即

ρδ=ρ水

3．气体的相对密度

是指气体密度与特定温度和压力下氢气或者空气的密度的比值。 4．压缩性

在温度不变的条件下，流体的体积会随着压力的变化而变化的性质。压缩性的大小用体积压缩系数βp表示，即

1dVβp=Vdp 5．膨胀性

指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质。其大小用体积膨胀系数βt表示，即

1dVβt=Vdt 6．粘性

流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。

7．牛顿流体和非牛顿流体

符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。 8．动力粘度

牛顿内摩擦定律中的比例系数μ称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以反映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位为Pa·s，常用单位mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其换算关系：

1厘泊(1cP)=1毫帕斯卡·秒(1mPa.s)100厘泊(100cP)=1泊(1P)1000毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1帕斯卡.秒(1Pa·s)

9．运动粘度

流体力学中，将动力粘度与密度的比值称为运动粘度，用υ来表示，即

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μρ

其单位为m2/s，常用单位mm2/s、斯（St）、厘斯（cSt），其换算关系： 1m2/s＝1×106mm2/s＝1×104 St=1×106 cSt 1 St=100 cSt 10．质量力

作用在每一个流体质点上，并与作用的流体质量成正比。对于均质流体，质量力也必然与流体的体积成正比。所以质量力又称为体积力。

重力、引力、惯性力、电场力和磁场力都属于质量力。 11．惯性力

（1）惯性系和非惯性系

如果在一个参考系中牛顿定律能够成立，这个参考系称作惯性参考系，牛顿定律不能成立的参考系则是非惯性参考系。

（2）惯性力

在非惯性坐标系中，虚加在物体上的力，其大小等于该物体的质量与非惯性坐标系加速度的乘积，方向与非惯性坐标系加速度方向相反，即

Fima

12．表面力

表面力作用于所研究的流体的表面上，并与作用面的面积成正比。表面力是由与流体相接触的流体或其他物体作用在分界面上的力，属于接触力，如大气压强、摩擦力等。

υ=二、难点分析

1．引入连续介质假设的意义

有了连续介质假设，就可以把一个本来是大量的离散分子或原子的运动问题近似为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。而且每个空间点和每个时刻都有确定的物理量，它们都是空间坐标和时间的连续函数，从而可以利用数学分析中连续函数的理论分析流体的流动。 2．牛顿内摩擦定律的应用

（1）符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。常见的牛顿流体包括空气、水、酒精等等；非牛顿流体有聚合物溶液、原油、泥浆、血液等等。

（2）静止流体中，由于流体质点间不存在相对运动，速度梯度为0，因而不存在粘性切应力。

（3）流体的粘性切应力与压力的关系不大，而取决于速度梯度的大小；

（4）牛顿内摩擦定律只适用于层流流动，不适用于紊流流动，紊流流动中除了粘性切应力之外还存在更为复杂的紊流附加应力。 3．流体粘度与压力和温度之间的关系

流体的粘度与压力的关系不大，但与温度有着密切的关系。液体的粘度随着温度的升高而减小，气体的粘度随着温度的升高而增大。 4．流体力学中质量力的表示形式

流体力学中质量力采用单位质量流体所受到的质量力f来表示，即

Ff=limV0m

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FyFxFijzkmmm

或

f==XiYjZk

其中：X、Y、Z依次为单位质量流体所受到的质量力f在x、y、z三个坐标方向上的分量。

5．流体力学中表面力的表示形式

流体力学中表面力常用单位面积上的表面力来表示。

ΔPpn=limΔA→0ΔA

这里的pn代表作用在以n为法线方向的曲面上的应力。可将pn分解为法向应力p和切向应力

τ，法向分量就是物理学中的压强，流体力学中称之为压力。 6．粘性应力为0表现在以下几种情况 绝对静止、相对静止和理想流体。

习题详解

【1－1】500cm3的某种液体，在天平上称得其质量为0.453kg，试求其密度和相对密度。

【解】

m0.4530.906103 kg/m34V510

30.906100.9063w1.010

3

【1－2】体积为5m的水，在温度不变的条件下，当压强从98000Pa增加到4.9×105Pa时，体积减少1升。求水的压缩系数和弹性系数。

【解】由压缩系数公式

1dV0.001p5.11010 1/Pa5VdP5(4.91098000)

11E1.96109 Pap5.1

3

【1－3】温度为20℃，流量为60 m/h的水流入加热器，如果水的体积膨胀系数βt=0.00055K-1，问加热到80℃后从加热器中流出时的体积流量变为多少？

【解】根据膨胀系数

1dVtVdt

则Q2Q1tdtQ1

3600.00055(8020)6061.98 my /h

【1－4】图中表示浮在油面上的平板，其水

u δ 油 x 习题1-4图

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平运动速度为u=1m/s，δ=10mm，油品的粘度μ=0.9807Pa·s，求作用在平板单位面积上的阻力。

【解】根据牛顿内摩擦定律

du=dy

1=0.980798.07N/m20.01则 【1－5】已知半径为R圆管中的流速分布

为

r2u=c(12)R

式中c为常数。试求管中的切应力τ与r的关系。

【解】根据牛顿内摩擦定律

du=dy

r u z 习题1-5图

dr22r=[c(12)]c2drRR 则

第二章 流体静力学

一、学习引导

1．相对静止

流体整体对地球有相对运动，但流体质点之间没有相对运动即所谓相对静止。 2．静压力

在静止流体中，流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示，单位Pa。 3．等压面

在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。 4．压力中心

总压力的作用点称为压力中心。 5．压力体

是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。 6．实压力体

如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（+）来表示； 7．虚压力体

如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（-）来表示。

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二、难点分析

1．静压力常用单位及其之间的换算关系

常用的压力单位有：帕(Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，其换算关系为：1bar=1×105 Pa；1atm=1.01325×105 Pa；1atm=760 mmHg；1atm=10.34 mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可见静压力的单位非常小，所以在工程实际中常用的单位是kPa(103Pa）或MPa(106Pa)。 2．静压力的性质

（1）静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面； （2）静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关；

（3）等压面与质量力垂直。

3．流体平衡微分方程的矢量形式及物理意义

1f=pρ

该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。

ijkxyz，它本身为一个矢量其中：称为哈密顿算子，，同时对其右边的量具有求导的作用。

4．静力学基本方程式的适用条件及其意义。

ppz11=z22ρgρg

（1）其适用条件是：重力作用下静止的均质流体。

（2）几何意义：z称为位置水头，p/ρg称为压力水头，而z＋p/ρg称为测压管水头。因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。

（3）物理意义：z称为比位能，p/ρg代表单位重力流体所具有的压力势能，简称比压能。比位能与比压能之和叫做静止流体的比势能或总比能。因此，流体静力学基本方程的物理意义是：静止流体中总比能为常数。

5．流体静压力的表示方法 绝对压力：pab=pa+gh；

相对压力：pM=pabpagh（当pab＞pa时，pM称为表压）； 真空压力：pvpapabpM（当p＜p时）。

ab

a

6．等加速水平运动容器和等角速旋转容器中流体自由液面方程的应用（见习题详解） ax+gzs0

ω2r2gzs02

7．画压力体的步骤

（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段；

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（2）找出各段的等效自由液面；

（3）画出每一段的压力体并确定虚实；

（4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力体。

习题详解

【2－1】容器中装有水和空气，求A、B、C和D各点的表压力？

【解】

pMAg(h3h4)pMBpMAg(h3h4h2)gh2pMCpMBgh2pMDpMCg(h3h2)g(h32h2)

空气 B 空气 D h1 h2 pa H C A p题a 2－1图 h3 h4

【2－2】如图所示的U形管中装有水银与水，试求：

(1)A、C两点的绝对压力及表压力各为多少？ (2)求A、B两点的高度差h？ 【解】

ppawg0.3(1)ab(A)

pMAwg0.3

pab(C)pawg0.3Hg0.1水 30cm h pa B

A 10cm pMCwg0.3Hg0.1

(2)选取U形管中水银的最低液面为等压面，则

wg0.3Hgh

0.3hw22 cmH得

【2－3】在一密闭容器内装有水及油，密度分别为ρw及ρo，油层高度为h1，容器底部装有水银液柱压力计，读数为R，水银面与液面的高度差为h2，试导出容器上方空间的压力p与读数R的关系式。

【解】选取压力计中水银最低液面为等压面，则

pogh1wg(h2Rh1)HgR

水银 C 题2－2图

p H 油 h1 h2 得pHgRogh1wg(h2Rh1)

【2－4】油罐内装有相对密度为0.7的汽油，为测定油面高度，利用连通器原理，把U形管内装上相对密度为1.26的甘油，一端接通油罐顶部空间，一端接压气管。同时，压力管的另一支引入油罐底以上的0.4m

水 R 题2－3图 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

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处，压气后，当液面有气逸出时，根据U形管内油面高度差△h=0.7m来计算油罐内的油深H=? p0 【解】选取U形管中甘油最低液面p压力气体

为等压面，由气体各点压力相等，可知油罐底以上0.4m处的油压即为压力管中气

△h H 体压力，则

p0goghp0og(H0.4)0.4m 得

题2－4图

goh1.260.7H0.40.41.66 mo0.7

【2－5】图示两水管以U形压力计相连，A、B两点高差1m，U形管内装有水银，若读数△h=0.5m，求A、B两点的压力差为多少？ A1m 【解】选取U形管内水银最低液面为等压· ·面，设B点到水银最高液面的垂直高度为x，则

B pAwg(1x)HghpBwg(xh) 得

△h pBpAwg(Hw)gh

题2－5图

【2－6】图示油罐发油装置，将直径T 为d的圆管伸进罐内，端部切成45°角，用盖板盖住，盖板可绕管端上面pa 的铰链旋转，借助绳系上来开启。已o 知油深H=5m，圆管直径d=600mm，H 油品相对密度0.85，不计盖板重力及H d 铰链的摩擦力，求提升此盖板所需的

d yD 力的大小？（提示：盖板为椭圆形，yC 要先算出长轴2b和短轴2a，就可算

P C 出盖板面积A=πab）。 y D L 【解】分析如图所示

d 2d以管端面上的铰链为支点，根据力矩

题2－6平衡

图 TdPL

其中

d2dPogHAogH()1.6104 N22

J2d2dLyDyCC2yCA2

7.154104 Pax' 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

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d2d3()2d4220.43 m2d2d2H()22

可得

PL1.61040.43T1.19104 Nd0.6

【2－7】图示一个安全闸门，宽为0.6m，高为1.0m。距底边0.4m处装有闸门转轴，使之仅可以绕转轴顺时针方向旋转。不计各处的摩擦力，问门前水深h为多深时，闸门即可自行打

o 开？ H 【解】分析如图所示，由公式

JyDyCCyC yD yCAB 可知，水深h越大，则形心h 和总压力的作用点间距离越小，即D点上移。当D点刚好位于转轴时，闸门刚好平H P 衡。 D 0.4m 即

BH3y JC12yDyC0.1题2－7yCA(h0.5)BH 图

得h1.33m o' 等效自由液面

P Z【2－8】有一压力贮油箱（见图），H h*=pB/ρog P 其宽度（垂直于纸面方向）b=2m，箱yC (－) θ B o 内油层厚h1=1.9m，密度R=1m Px C ρ0=800kg/m3，油层下有积水，厚度

h2=0.4m，箱底有一U型水银压差A 1.9m Ax 计，所测之值如图所示，试求作用在油 半径R=1m的圆柱面AB上的总压力

（大小和方向）。 H 水 0.5m 【解】分析如图所示，首先需确定自由液面，选取水银压差计最低液0.5m 汞 面为等压面，则

Hg0.5pBog1.9wg1.0

题2－8由pB不为零可知等效自由液面的高度

图

Hg0.5og1.9wg1.0pBh*5.35 mogog

曲面水平受力

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Pxog(h*曲面垂直受力

R)Rb91.728kN2

1PZogVog(R2Rh*)b120.246kN4

则

PPx2Pz2151.24kN

Px)arctan(0.763)37.36PZ

【2－9】一个直径2m，长5m的圆柱体放置在图示的斜坡上。求圆柱体所受的水平力和浮力。

【解】分析如图所示，因为斜坡的倾斜角为F Ax 60°，故经D点过圆心的直径与自由液面交于FH 1m A （－） 点。

D 水 BC段和CD段水平方向的投影面积相同，力B C 方向相反，相互抵消，故

圆柱体所受的水平力 60° PxghCAxarctan( 1.01039.80.515 24.5kN圆柱体所受的浮力

PZg(V1V2)

题2－9图

A 【2－10】图示一个直径D=2m，长L=1m(+) 水的等效 H Ax1 的圆柱体，其左半边为油和水，油和水的

自由液面 油 深度均为1m。已知油的密度为B 3

ρ=800kg/m，求圆柱体所受水平力和浮(-) h*=poB/ρwg Ax2 力。

水 C 【解】因为左半边为不同液体，故分

别来分析AB段和BC段曲面的受力情

题2－10图 况。

AB曲面受力

RPx1ogRL2 0.81039.80.511 3.92kN

1PZ1og(R2R2)L 4

11 1.01039.8(113)522 119.365kN

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10.81039.8(111)11.686kN4

BC曲面受力

R)RL2 11039.8(0.80.5)1 12.74kN

1PZ2wg(Rh*R2)L41 11039.8(10.81)14 15.533kN Px2wg(h*则，圆柱体受力

PZPZ2PZ115.5331.68613.847kN（方向向上）

PxPx1Px23.9212.7416.66kN

【2－11】图示一个直径为1.2m的钢球安装在一直径为1m的阀座上，管内外水面的高度如图所示。试求球体所受到的浮力。

【解】分析如图所示，图中实压力体（＋）为一圆柱体，其直径为1.0m PZg(V1V2)  （＋）  0.5m （－） 1.0m 4 g(R30.520.5)31.0m 5.016kN

题2－11图 【2－12】图示一盛水的密闭容器，中间用隔板

将其分隔为上下两部分。隔板中有一直径

d=25cm的圆孔，并用一个直径D=50cm质量M=139kg的圆球堵塞。设容器顶部压力表读数pM=5000Pa，求测压管中水面高x大于若干时，圆球即被总压力向上顶开？

【解】分析如图所示，图中虚压力体（－）为一球体和圆柱体体积之和

根据受力分析可知

等效自 (－) g(V1V2)Mg

由液面 h*=pM/ρg 41g[R3d2(xh*)]Mg 34

则

(－) x y 题2－12图

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4R3)pM3xd2g 2.0m

※【2－13】水车长3m，宽1.5m，高1.8m，盛水深1.2m，见图2-2。试问为使水不益处，加速度a的允许值是多少。

【解】根据自由夜面（即等压面方z 程） ax+gzs0

4(Ma=gzs9.8(1.81.2)3.92m/s2x1.5

1.8m ·B 得

第三章 流体运动学

一、学习引导

图2－13图

1．稳定流动

如果流场中每一空间点上的所有运动参数均不随时间变化，则称为稳定流动，也称作恒定流动或定常流动。 2．不稳定流动

如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化，则称为不稳定流动，也称作非恒定流动或非定常流动。 3．迹线

流体质点在不同时刻的运动轨迹称为迹线。 4．流线

流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，在某一时刻该曲线上任意一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。 5．流管

在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上每一点的所有流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。 6．流束和总流

充满在流管内部的流体的集合称为流束，断面无穷小的流束称为微小流束。管道内流动的流体的集合称为总流。 7．有效断面

流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面。 8．流量

单位时间内流经有效断面的流体量，称为流量。流体量有两种表示方法，一是体积流量，用Q表示，单位为m3/s；另一种为质量流量, 用Qm表示，单位为kg/s。 9．控制体

是指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间，控制体的表面称为控制面。

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1.2m ·B y a 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

二、难点分析

1．拉格朗日法和欧拉法的区别

（1）拉格朗日法着眼流体质点，设法描述出单个流体质点的运动过程，研究流体质点的速度、加速度、密度、压力等描述流体运动的参数随时间的变化规律，以及相邻流体质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点的运动状况，整个流体的运动状况也就知道了。

（2）欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点，即设法描述出空间点处的运动参数，研究空间点上的速度和加速度等运动参数随时间的变化规律，以及相邻空间点之间这些参数的变化规律。如果不同时刻每一空间点处流体质点的运动状况都已知道，则整个流场的运动状况也就清楚了。 2．欧拉法表示的加速度

duuuuua==uxuyuzdttxyz

duua==(u∇)udtt或

其中：

（1）ut表示在同一空间点上由于流动的不稳定性引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度；（注：对于同一空间点，速度是否随时间变化）

（2）(u∇)u表示同一时刻由于流动的不均匀性引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。（注：对于同一时刻，速度是否随空间位置变化）

d=uxuyuzxyz称为质点导数。 （3）dtt3．流动的分类

（1）按照流动介质划分：牛顿流体和非牛顿流体的流动；理想流体和实际流体的流动；可压缩流体和不可压缩流体的流动；单相流体和多相流体的流动等。

（2）按照流动状态划分：稳定流动和不稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚声速流动和超声速流动等。

（3）按照描述流动所需的空间坐标数目又可划分为：一元流动、二元流动和三元流动。 4．迹线方程的确定 （1）迹线的参数方程

xx(a,b,c,t)zz(a,b,c,t)yy(a,b,c,t)（2）迹线微分方程

dxu(x,y,z,t)5．流线方程的确定

dyv(x,y,z,t) dzdtw(x,y,z,t)

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流线微分方程

dxux(x,y,z,t)dyuy(x,y,z,t)dzuz(x,y,z,t)6．流线的性质

（1）流线不能相交，但流线可以相切；

（2）流线在驻点（u=0）或者奇点（u→∞）处可以相交； （3）稳定流动时流线的形状和位置不随时间变化；

（4）对于不稳定流动，如果不稳定仅仅是由速度的大小随时间变化引起的，则流线的形状和位置不随时间变化，迹线也与流线重合；如果不稳定仅仅是由速度的方向随时间变化引起的，则流线的形状和位置就会随时间变化，迹线也不会与流线重合；

（5）流线的疏密程度反映出流速的大小。流线密的地方速度大，流线稀的地方速度小。 7．系统的特点

（1）系统始终包含着相同的流体质点； （2）系统的形状和位置可以随时间变化；

（3）边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。 8．控制体的特点

（1）控制体内的流体质点是不固定的； （2）控制体的位置和形状不会随时间变化；

（3）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。

9．空间运动的连续性方程

ρ(ρux)(ρuy)(ρuz)0txyz

dρ+ρdivu=0dt或 （1）稳定流动

(ρux)(ρuy)(ρuz)0xyz

或div(ρu)=0

（2）不可压缩流体

uxuyuz0xyz

或divu=0

根据是否满足上述方程可判断流体的可压缩性。 10．流体有旋、无旋的判定

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1uzuy()x2yz1uxuz)y(2zx1uyux()z2xy

上式的矢量形式为

i12xuxjyuykz11rotu=uuzxiyjzk22

00流体力学中，把的流动称为无旋流动，把的流动称为有

旋流动。

习题详解

【3－1】已知流场的速度分布为 u=x2yi-3yj +2z2k

（1）属几元流动？

（2）求（x, y, z）=（3, 1, 2）点的加速度？ 【解】（1）由流场的速度分布可知

uxx2yuy3y2uz2z

流动属三元流动。 （2）由加速度公式

duxuxuxuxuxauuuxyzxdttxyzduyuyuyuyuyauuuyxyzdttxyzduuuuuazzzuxzuyzuzzdttxyz得

ax2x3y23x2yay9y3az6z

故过（3, 1, 2）点的加速度

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ax27 ay9 az48 a27i9j48k

其矢量形式为：

【3－2】已知流场速度分布为ux=x2，uy=y2，uz=z2，试求（x, y, z）=（2, 4, 8）点的迁移加速度？

【解】由流场的迁移加速度

uxuxuxauuuxxyzxyzuyuyuyauuuyxyzxyzuuuazuxzuyzuzzxyz

3ax2x3ay2yaz2z3得

故过（2, 4, 8）点的迁移加速度

ax16 　ay128 az1024

【3－3】有一段收缩管如图。已知u1=8m/s，u2=2m/s，l=1.5m。试求2点的迁移加速度。

2 1 【解】由已知条件可知流场的迁移加速度为

uaxuxxx

uxu1u26L 4l1.5其中：x

题3－3 图 则2点的迁移加速度为

uaxu2x248 m/s2x

【3－4】某一平面流动的速度分量为ux=-4y，uy=4x。求流线方程。

【解】由流线微分方程

dxdyuxuy

得

dxdyyx

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解得流线方程

x2y2c

ByBxuij22222(xy)2(xy)，式中【3－5】已知平面流动的速度为

B为常数。求流线方程。

【解】由已知条件可知平面流动的速度分量

Byux2(x2y2)xuBy2(x2y2)

代入流线微分方程中，则

dxdyyx

解得流线方程

x2y2c

【3－6】用直径200mm的管输送相对密度为0.7的汽油，使流速不超过1.2m/s，问每秒最多输送多少kg？

【解】由流量公式可知

d2Qmv4

则

3.140.22Qm1.20.710326.38 kg/s4

【3－7】截面为300mm×400mm的矩形孔道，风量为2700m3/h，求平均流速。如风道出口处截面收缩为150mm×400mm，求该处断面平均流速。

【解】由流量公式可知

Qvbh

则

Q2700v6.25 m/sbh0.30.43600

如风道出口处截面收缩为150mm×400mm，则

Q2700v12.5 m/sbh0.150.43600

【3－8】已知流场的速度分布为ux=y+z，uy=z+x，uz=x+y，判断流场流动是否有旋？

【解】由旋转角速度

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x1(uzuy)1(11)02yz21uxuz)1(1y2(zx21)01uyz2(xuxy)12(11)0可知

xiyjzk0故为无旋流动。

【3－9】下列流线方程所代表的流场，哪个是有旋运动？（1）2Axy=C（2）Ax+By=C（3）Alnxy2=C

【解】由流线方程即为流函数的等值线方程，可得 （1）速度分布

uxxyuyxy旋转角速度

12(uyxuxy)1z2(00)0可知

xiyjzk0故为无旋流动。

（2）速度分布

uxByuyxA旋转角速度

1uyu2xxy)1z(2(00)0可知

xiyjzk0故为无旋流动。

（3）速度分布

ux2lnyyxy2ux1xlnxy2y

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旋转角速度

z(xiyjzk0可知 故为有旋流动。

【3－10】已知流场速度分布为ux=-cx，uy=-cy，uz=0，c为常数。求：（1）欧拉加速度a=？；（2）流动是否有旋?（3）是否角变形?（4）求1uyux112)[2(lnxy21)2(2lnxy2)]02xy2xy

流线方程。

【解】（1）由加速度公式

axuuxuxuxxuyyuzzc2xxauyuuyuyyuxxyyuzzc2yuazuzuzuxxuyyuzzz0

得ac2xicy2j

（2）旋转角速度

x1(uzuy2yz)01uxuzy2(zx)01uz2(yxuxy)0可知

xiyjzk0 故为无旋流动。

（3）由角变形速度公式

xy1(uyux)2xy01uxuzxz2(zx)01uzy2(yzuzy)0可知为无角变形。

（4）将速度分布代入流线微分方程

dxcxdycy

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xcy解微分方程，可得流线方程

第四章 流体动力学

一、学习引导

1．动能修正系数

是总流有效断面上单位重力流体的实际动能对按平均流速算出的假想动能的比值。 2．水力坡降

沿流程单位管长上的水头损失称为水力坡降，用i表示，即 hiw

L 3．扬程

泵使单位重力液体增加的能量通常称为泵的扬程，用H来表示。

二、难点分析

1．理想流体伯努利方程

22p1u1p2u2z1++=z2++ρg2gρg2g （1）适用条件

理想不可压缩流体，质量力只有重力，单位重力流体沿稳定流的流线或微小流束流动。

（2）几何意义

z、p/ρg以及两者之和的几何意义分别表示位置水头、压力水头和测压管水头，u2/2g称为速度水头。三者之和称为总水头。

因此，伯努利方程的几何意义是：沿流线总水头为常数。 （3）物理意义

z、p/ρg分别称为比位能和比压能，u2/2g表示单位重力流体所具有的动能，称为比动能。因此，伯努利方程的物理意义是：沿流线总比能为常数。

2．实际流体沿微小流束的伯努利方程式

22p1u1p2u2z1++=z2++hw12ρg2gρg2g

hw12式中：——流线或微小流束上1、2两点间单位重力流体的能量损失。

3．实际流体总流的伯努利方程

22p1α1v1p2α2v2z1++=z2+++hw1-2ρg2gρg2g

式中：a1、a2――为动能修正系数，工程中常取1；

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v1、v2――分别为总流1、2断面的平均流速；

hw12――为1、2两断面间单位重力流体的能量损失。

适用条件是：稳定流；不可压缩流体；作用于流体上的质量力只有重力；所取断面为缓变流断面。

4．实际流体伯努利方程的几点注意事项

（1）实际流体总流的伯努利方程不是对任何流动都适用的，必须注意适用条件；

（2）方程式中的位置水头是相比较而言的，只要求基准面是水平面就可以。为了方便起见，常常取通过两个计算点中较低的一点所在的水平面作为基准面，这样可以使方程式中的位置水头一个是0，另一个为正值；

（3）在选取断面时，尽可能使两个断面只包含一个未知数。但两个断面的平均流速可以通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能算出另一个流速。换句话说，有时需要同时使用伯努利方程和连续性方程来求解两个未知数；

（4）两个断面所用的压力标准必须一致，一般多用表压； （5）方程中动能修正系数α可以近似地取1。 5．画水头线的步骤 （1）画出矩形边线；

（2）据各断面的位置水头画出位置水头线，位置水头线也就是管线的轴线；

（3）根据水头损失的计算结果画出总水头线，总水头线一定要正确地反映出水力坡度的变化情况，注意：变径管、渐缩管和渐扩管总水头线的画法；

（4）再依据压力水头的大小画出测压管水头线。注意以下两点，一是测压管水头线与总水头线的高差必须能够反映出流速水头的变化情况，二是测压管水头线与位置水头线之间的高差必须能够正确地反映出压力水头的变化情况；

（5）给出必要的标注。 6．带泵的伯努利方程

在运用伯努利方程时，如果所取两个计算断面中一个位于泵的前面，另一个位于泵的后面，即液体流经了泵，那么就必须考虑两个断面之间由于泵的工作而外加给液体的能量，此时的伯努利方程为

22p1v1p2v2z1Hz2hw12g2gg2g

7．泵的有效功率 N泵=ρgQH

泵的有效功率与和泵轴功率之比称为泵效，用η泵表示，即 N泵泵N轴

电动机的效率η电

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N轴N电电

8．应用动量方程的步骤 （1）选取控制体；

（2）建立坐标系（一般选取出口方向为x方向） （3）分析受力；

（4）分别列x、y方向的动量方程并求解。

习题详解

【4－1】直径d=100mm的虹吸管，位置如附图中所示。求流量和2、3的压力。不计水头损失。

【解】选取4点所在断面和1点所3 · 在断面列伯努力方程，以过4点的水平

线为基准线。

1 2· · 2 v4 500 00d 29.8

得 v4=9.9 m/s，则

2m 5m dv40.078 m/s4

选取1、2点所在断面列伯努利方程，以题 4－1图 过1点的水平线为基准线

2p2v2 000 0g2g（v=v）

24

4得p24.910Pa

选取1、3点所在断面列伯努利方程，以过1点的水平线为基准线

2p3v3 000 2g2g（v=v）

3

4

Q234 · 得p36.8610Pa

【4－2】一个倒置的U形测压管，上部为相对密度0.8的油，用来测定水管中点的速度。若读数△h=200mm，求管中流速u=?

【解】选取如图所示1－1、2－2断面列δ=0.8 油 伯努利方程，以水管轴线为基准线

△h p1u2p 0 0201 2 g2gg

同时，选取U形测压管中油的最高液面为等水 压面，则

u 41 2 题 4－2图 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

p2p1(wo)ghu 2

【4－3】图示为一文丘里管和压力计，试推导体积流量和压力计读数之间的关系式。当z1=z2时，ρ=1000kg/m3，ρH=13.6×103kg/m3，d1=500mm，d2=50mm，H=0.4m，流量系数α=0.9时，求Q=？

【解】列1－1、2－2所在断面的伯努利方程、以过1－1断面中心点的水平线为基准线。

2p1v12p2v2 0 z1z2水平基准线 g2gg2g 选取压力计中汞的最低液面为等压2 Z2 d2 面，则 Z1 1 p1p2 z1z212.6Hρg m d1 QQ2 v1v2H 1 d12d224、4，得 又由汞 Q0.03H20.784m/sQ 所以

Q实际Q0.03H0.017m3/s

【4－4】管路阀门关闭时，压力表读数为49.8kPa，阀门打开后，读数降为9.8kPa。设从管路进口至装表处的水头损失为流速水头的2倍，求管路中的平均流速。

【解】当管路阀门关闭时，由压pa 力表度数可确定管路轴线到自有液面1 1 的高度H

pH 2 Hg

当管路打开时，列1－1和2－2断面的伯努利方程，则

2 22p2v2v2H0002g2g2g 题 4－4图

得

v22pp25.16m/s3 m

题 4－3图

【4－5】为了在直径D=160mm的管线上自动掺入另一种油品，安装了如下装置：自锥管喉道处引出一个小支管通入油池内。若压力表读数为2.3×105Pa，吼道直径d=40mm，T管流量Q＝30 l/s，油品的相对密度为0.9。欲掺入的油品的相对密度为0.8，油池油面距喉道高度H=1.5m，如果掺入油量约为原输量的10%左右，B管水头损失设为0.5m，试确定B

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管的管径。

【解】列1－1和2－2断面的伯努利方程，则

2p1v12p2v2001g2g1g2g 其中

Qv11.49m/s12D4 Qv223.m/s12d4 4得p22.610Pa

列3－3和4－4自有液面的伯努利方程，以4－4断面为基准面，则

2p3v3000Hh2g2g43

0.1Qv312dBpp432其中、，代入上式，得

1 3 1 2 3 2 B 4 4 题 4－5图

dB27mm

【4－6】一变直径的管段AB，直径dA=0.2m，dB＝0.4m，高差

h=1.0m，用压力表测得pA=70kPa，pB=40kPa，用流量计测得流量

Q=0.2m3/s。试判断水在管段中流动的方向。

【解】列A点和B点所在断面的伯努利方程

22pAvApBvB01hg2gg2gwAB

则

22pApBvAvBhwAB10g2g

故流动方向为A-B。

【4－7】泄水管路如附图所示，已知直径d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，汞比

B H A 题 4－6图

压力计读数h=175mm，不计阻力，求流量和压力表读数。

【解】列1－1、2－2断面的波努利方程

2p1v12p2v2z1z201 g2gg2g

1 又由

2 2 p 3 3 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 题 4－7图

△h 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

p1p212.6h(z1z2)g

2v3d32） v1A1v2A2v3A3（即v1d12v2d2时间：2021.02.04 创作：欧阳育 欧阳育创编 欧阳育创编 2021.02.04

2021.02.04