对勾函数讲解与例题解析

对勾函数

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

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接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误!未找到引用源。。 当x<0时，错误!未找到引用源。。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

y

(五) 对勾函数的渐进线

y=ax 由图像我们不难得到：

O X

(六)

对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、均值不等式(基本不等式）

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数yxx0最小值的解法

1. 均值不等式

1xx0，yx2. 法

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2，当且仅当x，即x1的时候不等式取到“=”。当x1的时候，ymin2

xxyx1x2yx10 x2若y的最小值存在，则y40必需存在，即y2或y2（舍）

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找到使y2时，存在相应的x即可。通过观察当x1的时候，ymin2 3. 单调性定义

x1x21 1设0x1x2 fxfxxx11xxxx112121212x1x2x1x2x1x2当对于任意的x1,x2，只有x1,x20,1时，fx1fx20，此时fx单调递增； 当对于任意的x1,x2，只有x1,x21,时，fx1fx20，此时fx单调递减。

当x1取到最小值，yminf12

4. 复合函数的单调性

11yxx2 xx2tx1x在0,单调递增，yt2在,0单调递减；在0,单调递增

2又x0,1t,0 x1,t0, 原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增 即当x1取到最小值，yminf12

四、例题解析：

例1、已知函数

，

x的值域. (2).x2,4,求fx的最小值.(3).x7,3,求fx的值域.f解:函数f(x)x7在0,7,7,0递减x 在7,,,7递增xx7x(1).x1,2,求f x1,2是减函数 f(2)f(x)f(1)(1).在 即11f(x)8 值域为 , 822(2).分析知x72,4, f(x)的最小值为f(7)练习：2.已知函数 (3).在x7,3是增函数 f(7)f(x)f(3) 即-8f(x)1616 x7,3值域为8, -33x24 f(x)在x2,4最小值为27,求f(x)的最小值,并求此时的x值. fxx25 3

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五、重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是： f(x)=ax+b/x(a>0)

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞） 值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞） 当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a 当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1⑴当x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）⑵当-根号a0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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