成人高考高升专数学模拟试题及答案

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A{x|5x2},B{x|3x3}，则A（A）{x|3x2}

（B）{x|5x2} （D）{x|5x3}

B

（C）{x|3x3}

（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

（A）(x1)(y1)1

2222

（B）(x1)(y1)1

2222（C）(x1)(y1)2 （3）下列函数中为偶函数的是

（A）yxsinx （C）y|lnx|

2（D）(x1)(y1)2

（B）yxcosx （D）y2

x2（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的

方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 （A）90 （B）100 （C）180 （D）300

(5)执行如果所示的程序框图，输出的k值为

（A）3 （B）4

(C)5

(D)6

（6）设a,b是非零向量，“ab|a||b|”是“a//b”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻

两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为

（A）6升

（B）8升 （D）12升

（C）10升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i(1i)的实部为________________

（10）2,3,log25三个数中最大数的是________________ （11）在△ABC中，a3,b6,A23122，则B________________ 3y2（12）已知（2，0）是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b________________

b（13）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x,y)为D

中任意一点，则z2x3y的最大值为________________ （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成

绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________ ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）

已知函数f(x)sinx23sin22

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间0,（16）（本小题13分）

2上的最小值。 3已知等差数列{an}满足a1a210,a4a32. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2a3,b3a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？ （17）（本小题13分）

某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

商品 甲 顾客人数 100 217 200 300 85 98 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 乙 丙 丁 （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ （18）（本小题14分）

如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且

ACBC2，O,M分别为AB,VA的中点。

（Ⅰ）求证：VB//平面MOC. （Ⅱ）求证：平面MOC平面VAB （Ⅲ）求三棱锥VABC的体积。 （19）（本小题13分）

x2klnx,k0 设函数f(x)2（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点。 (20)(本小题14分)

已知椭圆C:x3y3，过点

22且不过点

的直线与椭圆C交于A,B两点，直线

AE与直线x3交于点M.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。

参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （5）B

（2）D （6）A

（3）B （7）C

（4）C （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）-1 （11）

（10）log25 （12）3 （14）乙

数学

 4

（13）7

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：

（Ⅰ）因为f(x)sinx3cosx3 所以f(x)的最小正周期为2 （Ⅱ）因为0x2，所以x 3332当x，即x时，f(x)取得最小值

3322所以f(x)在区间[0,]上的最小值为f()3 33（16）（共13分） 解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d

因为a4a32，所以d2

又因为a1a210，所以2a1d10，故a14 所以an42(n1)2n2 (n1,2,...) （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q

因为b2a38,b3a716 所以q2,b14

61所以b642128

由1282n2得n63 所以b6与数列{an}的第63项相等 （17）（共13分） 解：

（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购

买乙和丙的概率可以估计为

2000.2 1000（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为

顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：

1002000.3

10002000.2， 1000100200300顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，

1000100顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，

1000顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 （18）（共14分） 解：

（Ⅰ）因为O,M分别为AB,VA的中点，

所以OM//VB

又因为VB平面MOC， 所以VB//平面MOC

（Ⅱ）因为ACBC，O为AB的中点，

所以OCAB

又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC， 所以OC平面VAB 所以平面MOC平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，ACBC所以AB2,OC1

所以等边三角形VAB的面积SVAB3 又因为OC平面VAB，

所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB2 133 3又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等， 所以三棱锥VABC的体积为（19）（共13分） 解：

3 3x2klnx(k0)得 （Ⅰ）由f(x)2由f(x)0解得xk f(x)与f(x)在区间(0,)上的情况如下：

- 0 + 所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,)；

f(x)在xk处取得极小值f(k)k(1lnk) 2k(1lnk)， 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,)上的最小值为f(k)因为f(x)存在零点，所以

k(1lnk)0，从而ke 2当ke时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)0， 所以xe是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点。

当ke时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点。

1ek0,f(e)0， 22综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点。

（20）（共14分） 解：

x2y21 （Ⅰ）椭圆C的标准方程为3所以a3,b1,c2 所以椭圆C的离心率ec6 a3（Ⅱ）因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1),B(1,y1)

直线AE的方程为y1(1y1)(x2) 令x3，得M(3,2y1) 所以直线BM的斜率kBM2y1y11

31（Ⅲ）直线BM与直线DE平行。证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知kBM1 又因为直线DE的斜率kDE101，所以BM//DE 21当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线AE的方程为y1y11(x2) x11令x3，得点M(3,y1x13)

x12x23y23,2222由得(13k)x6kx3k30 yk(x1)6k23k23,x1x2所以x1x2 2213k13k直线BM的斜率kBMy1x13y2x12 3x2因为kBM1k(x11)x13k(x21)(x12)(3x2)(x12)

(3x2)(x12)所以kBM1kDE 所以BM//DE

综上可知，直线BM与直线DE平行。