平差习题

1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？

2.1 观测量的真值Li及真误差i各是怎样定义的？它们与观测值Li之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？

2.3 偶然误差服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？

2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？

2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？

2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？

2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m±4.5cm，660.4m±4.5cm，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。

2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m±15mm，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？ 3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？

3.2 相关观测值向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明Dxx中各个元素的含义。当向量

n,n,n~X中的各个分量是两两互相时，其协方差阵有什么特点？

n,3.3 已知观测值L1,L2的中误差12,协方差120。设

XL,YLL，ZLL,TXY，试求X、Y、Z、T的中误差。

3.4 已知观测值L1,L2的中误差为1和2，试求下列函数的中误差： （1）XL12L2 （2）Yn1,1n,1n,12312L1L1L2 （3）ZsinL1/sin(L1L2) 23.5 已知观测值向量L,L2,L3及其协方差阵为

D11D12D22对称D13XAL1A0D23, 组成函数YBL2B0

ZCLCD3330TA,B,C为常数阵。式中A,B,C为系数阵，令W[XYTZT]T，试求协方差阵DWW。

3.6 设有观测值向量L，其协方差阵为DLL,612

1412211

试分别求下列函数的方差：（1）F1L13L22L3 （2）F2LL2L 3.7 由已知点A（无误差）引出支点P，0为起算方位角，其中误差为0，观测角和观测边长S的中误差分别为和s。试求P点坐标X、Y的协方差阵。

3.8 在三角形ΔABP中（见下图），A、B为已知点，L1、L2、L3为同精度观测值，其中误差为±1″，试求平差后P点坐标X、Y的协方差阵。

21123 3.9 为确定测站A上B、C、D方向间的关系（见上图），同精度观测了三个角，其值为

L1=45°02′，L2=85°00′，L3=40°01′设测角中误差σ=±1″，试求：

（1）观测角平差值的协因数阵；

（2）∠BAC，∠CAD角平差值的协方差；

3.10 在高级水准点A、B（其高程无误差）间布设附合水准路线，P1、P2为待定点，路线长S1=2km，S2=6km，S3=4km，设每公里观测高差的中误差为1.0mm。试求： （1）将闭合差按距离分配之后的P1、P2两点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点高程的中误差。

3.11 若要在坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于±5.0mm，欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm，问该路线长度最多可达几公里？

3.12 有一角度测20测回，得中误差±0.42″，问再增加多少测回，其中误差为±0.28″。 3.13 为什么权可以作为比较观测值之间精度高低的一种数字指标？某一量z权的大小是唯

022一的吗？ 在pi2中，0的意义是什么？什么叫做单位权？什么叫做单位权观测值？

i3.14 在同样观测条件下，作了四条路线的水准测量，它们的长度分别为S1=10.5km，S2=8.8km，S3=3.9km，S4=15.8km，试求各条路线的权，并说明单位权观测的线路长度。 3.15 已知观测值向量L的协因数阵为QLL2,131，试求观测值的权PL1和PL2。 12 2

6T3.16 设有观测值向量L[L1,L2]的权阵为PLL52,135212、2、12以及PL和PL。

1235，单位权方差23。试求

0953.17 已知a，b，c的权分别为papb2,pc3,x30°，y60°（无误差），试求函数A=asinxbcosx2csinxcosy的权pA。 3.18 设有函数Ff1xf2y，其中

2xa1L1a2L2anLn ,i,i为无误差的常数，而L1,L2,,Ln的权分别为yLLL1122nnp1,p2,,pn，试求函数F的权倒数

1。 pF3.19 已知观测值X1,X2的协因数阵QXX的协因数阵Qyy。

Y111X121,求向量YY21X 12223.20 已知观测值X1,X2的协因数阵QXX12,设有函数211121YX;ZX;W2YZ,试求协因数阵QYY，QYZ，QZZ，QYW，QZW，2111QWW。

3.21 在一个测站上观测了4个方向，令方向观测值li的协因数阵为QllI，试求角度观测值Li的协因数阵QLL。

3.22 已知观测值向量L,其协因数阵为单位阵。组成方程

n,1VBXL

n,1n,tt,1n,1BTBXBTL0

T式中BB为可逆阵。由上式得解向量 X(BB)BL 后，即可计算改正数向量V和平

T1TˆLV 差值向量 L

3

ˆ是否相关？试证明之。 （1）试求协因数阵QXX,QL（2）改正数向量V与X和LˆLˆ；

3.23 单一三角形的三个观测角L1，L2,L3的协因数阵为QLLI，现将三角形闭合差w

ˆLw/3，式中wL1L2L3180°，试证明闭合差w与平均分配到各角，得Liiˆ互不相差关。 平差角L3.24 设在A、B两水准点间进行水准测量，每段往返的观测高差及距离列于下表。试求：

（1）单位权中误差；

（2）第3段观测高差中误差； （3）全长观测高差中误差； （4）全长高差平均值中误差。 段号 S（km） 往测高差（m） 返测高差(m) A-1 2.5 0.184 0.180 1-2 3.0 1.636 1.0 2-3 1.5 1.434 1.424 3-4 5.0 0.584 0.593 4-B 3.5 0.053 0.063

4.1 何谓必要元素？必要元素的个数与实际观测量有关吗？

4.2 为求得一个几何模型中各量的大小，为什么必须使观测个数大于必要观测数，即n>t？若n4.3 测量平差的基本方法共有几种？试写出相应的函数模型。

4.4 在测量平差中n、t、r、c、u、s等六个字母各代表什么量？它们之间有何关系？ 4.5 对于同一平差问题，当引入参数的个数u分别为（1）u=0；（2）0＜u＜t （u 个参数）；（3）u =t（t 个参数）；（3）u ＞t（t 个参数）；各自应采用何种平差方法进行平差？以上四种情况下平差的结果相同吗？ 4.6 在水准网中（见右图），D点为已知点，A、B、C点为待定点，观测高差向量

5,1L[h1h2h5]T，试列出下列各种

情况的函数模型： （1）不设平差参数；

（2）选取A点至D点间高差为平差参数X； （3）选取A、B、C三点高程为平差参数

3,1~~~X[X1~X2~TX3]；

（4）选取A、B、C三点高程及A至D点间高差为平差参数X[X14,1~~~X2~X3~X4]T；

4.7 如何将非线性方程转换成线性方程？

4.8 什么是最小二乘法？最小的含义是什么？

4

ˆxˆvxˆ,xˆ。 ˆxˆ，试按最小二乘法求参数估值x4.9 设有改正数方程vxˆxˆvx5.1 条件平差的函数模型和随机模型是什么？为什么不能由条件方程AVWr,n,n,r,直接

求得V？

5.2 设某一平差问题的观测值个数为n，必要观测数为t。若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各是多少？试写出它们的矩阵表达形式。 5.3 简述按条件平差求平差值的计算步骤。 5.4 列立条件方程时要注意哪些问题？

5.5 何谓极条件方程？什么情况下会产生极条件？怎样列立极条件方程？

5.6 设有测角网（见图5-1），A，B，C为已知三角点，D，E，F为待定点。（1）在对该网平差时，共有几个条件？每种条件各有几个？

（2）试用文字符号列出全部条件方程。 5.7 试确定图5-2中各图形的条件式个数。

图5-2

5.8 求平差值函数的协因数有哪几个公式？试简述其推导过程。 5.9 怎样写出平差值函数的权函数式？

5.10 在图5-3中测得L135°20′15″，L2=65°19′28″，L3=29°59′10″。试求平差后AOB的权倒数。

5

5.11 在图5-4的水准网中，各点间距离为S1=2（km），S2=2（km）S3=2（km）S4=2（km）S5=1（km），定权时设C=1，试求（1）B、D两点间高差的权倒数；（2）平差后C点高程的权倒数。

5.12 已知条件式为AV+W=0，其中W=AL+A0，观测值协因数阵为Q。现有函数式 F=fT（L+V），（1）试求QFF；（2）试证：V和F是互不相关的。 5.13 有水准网（图5-5），A和B是已知高程的水准点，并设已知高程无误差。图中P1,P2，P3和P4是待定点。A、B点高程、观测高差和相应的水准路线长度见下表。试按条件平差求：（1）各待定点的平差高程；（2）P2点高程平差值的中误差。 编观测高差距离 m km 号 1 1.001 1 2 1.002 2 已知高程 ： 3 0.060 2 HA=31.100 4 1.000 1 HB=34.165 5 0.500 2 6 0.560 2 7 0.504 2.5 8 1.0 2.5 图5-5 5.13 已知中点三边形中（图5-6），SAB=2080.999m,今同精度测得各角值如下表： 观测值 观测值 观测值 角号 角号 角号 ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ 1 106 50 40.3 4 20 58 20.2 7 28 26 12.5 2 42 16 38.6 5 125 20 36.8 8 23 45 11.9 3 30 52 46.4 6 33 40 57.1 9 127 48 40.7 试用条件平差法求：（1）各角平差值；（2）平差后DC边长及边长相对中误差。

图 5-6 图 5-7 5.14 有测边网（图5-7），边长观测值列于下表，试按条件平差法求出改正数（已知Qs=E）。 边号 观测值（m） 边号 观测值（m） S1 3110.398 S5 1712.624 S2 3608.712 S6 2004.401 S3 2540.378 S7 3588.582 S4 3813.557 S8 2526.140

6.1 附有参数的条件平差的函数模型和随机模型是什么？怎样计算条件方程的个数？ 6.2 附有参数的条件平差中的条件方程，与条件平差的条件方程有何异同？

6.3 某平差问题有10个同精度观测值，必要观测数t=4，由于平差需要，现选取2个

6

的参数参与平差，应列出多少个条件方程？

6.4 在水准网中（图6-1），已知高程HA=53m，HB=58m，测得高差（设每条线路长度相等）

ˆ，试用L1=2.95m，L2=2.97m，L3=2.08m，L4=2.06m，现令P点的高程平差值为参数Xˆ，ˆ；附有参数的条件平差法求：（1）观测高差的平差值LP点高程的最或是值X（2） Pˆ的权倒数Qˆ； 点高程最或是值XX

6.5 在水准网中（图6-2），等精度观测高差：h11.359m，h22.009m，h30.363m，

ˆ，试用附有h41.012m，h50.657m，选取AD现两点间的最或是高差为参数Xˆ；参数的条件平差法求：（1）观测高差的平差值L（2）平差后AD间高差的中误差；

6.6 在附有参数的条件平差中，试证明：

（1）参数向量与改正数向量V是互不相关的；

ˆfTXˆf与改正数向量V是互不相关的。 ˆfTL（2）平差值函数x07.1 在误差方程的系数阵B中，a,b,…,t的含义是什么？它们与条件方程系数阵A中的

a,b, …,r有何不同？

7.2 在间接平差中，参数的个数是多少？误差方程和法方程的个数又是多少？ 7.3 为什么要选取参数的近似值？误差方程的常数项应怎样计算？其单位如何决定？ 7.4怎样将非线性误差方程化为线性形式的误差方程？对参数的近似值有什么要求？ 7.5何谓坐标平差？

7.6测角网坐标平差时，列立其线性形式的误差方程式有什么规律？式中参数、系数以及常

ˆ,yˆ的单位为毫米，数项的单位一般是怎样规定的？现设待定点坐标改正数x则误差方程式中

的系数和常数项的单位各是什么？

7.7测边网坐标平差时，列立其线性形式的误差方程式有什么规律？式中改正数、参数、系数以及常数项的单位是如何规定的？若设待定点坐标

ˆ,yˆ的单位为毫米，其他各项的单位各是什改正数x么？

7.8 试列出下列各图相应的误差方程式：

(a) 某水准网中如图所示，已知A、B两点高程

HA=5.000m,HB=6.000m,为确定P1，P2，P3点高

7

程进行了水准测量。观测结果为

h1=1.359m, S1=1km h2=2.009m, S2=1km h3=0.363m, S3=2km h4=0.0m, S4=2km h5=0.657m, S5=1km h6=1.000m, S6=1km h7=1.650m, S7=1.5km 设P1、P2、P3三点高程的平差值为参数。

(b) 由测站S向A、B、C、D四个方向（以史赖伯全组合测角

法）测得六个角度如图所示），其观测结果为 L1=48°17′01″ L2=96°52′19″ L3=152°54′10″ L4=48°35′12″ L5=104°37′07″ L6=56°01′49″

7.9 某平差问题，已知其误差方程为

ˆvxvxˆˆvxˆ vxvxˆxˆˆxˆvxˆxˆvx试写出条件平差时的条件方程式。

7.10 某平差问题，已知其条件方程为：

试写出间接平差时的误差方程式。

vvvvvvvvvvvvvv 8

7.11 教材中表7-9中的各协因数阵是如何得到的?表中QVXˆ说明什么问题?试问：:

ˆ和改正数向量V是否相关？试证明之。 平差值向量Lˆ的协因数?如何求Qˆˆ ? 7.12为什么要求参数函数7.13 间接平差与条件平差的转换系数方程组有何异同? 7.14 在已知水准点A、B、C与待定点P1、P2间测量了5条水准路线的高差（如图），各水准路线的长度分别为S1=1km,S2=2km,S3=2km,

S4=1km,S5=1km,试按间接平差法求：

（1）平差后P1，P2点间高差的权（选C2）； （2）平差后B，P1点间高差的权。 7.15 某平差问题有误差方程式如下：

ˆvxˆvxˆxˆ vxˆxˆvxˆxˆxˆvxˆ的权倒数/pˆ；ˆˆˆ设QLLI，试求：（1）XX（2）参数函数XX的协因数

Qˆˆ。

7.16 在图中所示的水准网中，A、B为已知水准点，P1、P2为待定点，设P1和P2点

高程的最或是值为参数，已列出法方程为：

ˆxˆ.x ˆˆxx.试求P1至P2点间高差最或是值的权倒数。 7.17 在△ABC中，A、B为已知点，C为待定点。A、B的已知坐标，C点的近似坐标，AC及BC边的近似边长见图中所示（以km为单位）。L1、L2及L3是同精度观测值。试按间接平差法求C点坐标的权倒数和相关权倒数（设ρ″=200000，参数以m为单位）。

7.18 在教材124页例7-8中，令C=1，定权

式为pi/Si ，经平差计算求得的单位权中误差 ，代表什么量的中误差？在令C=1和

ˆ 、ˆ 以及[pvv]相同吗？ 令C=4两种情况下，经平差分别求得的V、LˆXˆ ，在令C=1和C=4两种情ˆX7.19在教材124页例7-8中，有参数函数  9

ˆ 是否相同？为什么？ 况下，经平差分别求得的Qˆˆ和7.20 在图中所示的水准网中，A为已知点，

HA=10.000m,观测得各点间的高差为

h1=+1.015m S1=2km h2=-12.570m S2=4km h3=+6.161m S3=4km h4=-11.563m S4=2km h5=+6.414m S5=4km 试按间接平差法求：

（1） 待定点P1、P2、P3的最或是高程及其中

误差；

（2） 平差后P1至P3点间的最或是高差及其中误差。

7.21 今有一边角网如图所示。网中A、B、C、D、E是已知点（起算数据见下表），P1、P2是待定点。同精度观测了9个角度L1，L2，…，L9(见下表)，测角中误差为±2.5″；测量了5条边长S1，S2，…，S5，其观测结果及中误差(见下表)。试按间接平差法求待定点P1及P2的坐标平差值和坐标中误差。

点名 A B C D E 角 边 编号 观测值L 编号 观测值L 编号 观测值L(m) 中误差(cm) 1 6 2185.070 3.3 44°05′44.8″ 74°22′55.1″ S1 2 7 1522.853 2.3 93°10′43.1″ 127°25′56.1″ S2 3 8 3082.621 4.6 42°43′27.2″ 201°57′34.0″ S3 4 9 S4 1500.017 2.2 76°51′40.7″ 168°01′45.2″ 5 S5 1009.021 1.5 28°45′20.9″ 7.22 根据已知点坐标和待定点近似坐标反算各边的近似坐标方位角时,为什么要精确计算?

10

坐标(m) X 3143.237 4609.361 7657.661 4157.197 Y 5260.334 5025.696 5071.7 8853.254 边长(m) 1484.781 3048.650 坐标方位角 350°54′27.0″ 0°52′06.0″ 109°31′44.9″ 7.23 下图为三角形中插入一点图形。A、B、C三点为已知三角点，P点为待定点。起算数据及观测角值列于表一和表二。试用坐标平差法求待定点的坐标平差值及其点位中误差。

点名 A B C 坐标(m) X 88.53 13615.22 6520.12 Y 5392.58 101.47 14399.30 边长(m) 6751.24 8250.04 9306.84 坐标方位角 45°16′38.0″ 149°19′03.0″ 284°35′24.0″ 点号 B C A 编号 观测值L 编号 观测值L 编号 观测值L 1 4 7 106°50′42″ 28°26′12″ 33°40′50″ 2 5 8 30°52′47″ 127°48′39″ 125°20′38″ 3 6 9 42°16′40″ 23°45′11″ 20°58′25″

7.24右图中，A，B，C是已知点，P为待定点，网中观测了3条边长L1，L2，L3。起算数据及观测值为

坐标 坐标方位角 点 边长 X Y °′″ A 60509.596 69902.525 117 18 33.72 4949.186 B 58238.935 74300.086 187 59 34.18 6354.379 C 51946.286 73416.515 编号 观测值Li 1 3128.86 2 3367.20 3 6129.88 今选待定点的坐标平差值为参数，已计算得其坐标近似值Xp=57578.93m,Yp=70998.26m,试计算P点坐标的平差值。

8.1 附有条件的间接平差的函数模型和随机模型是什么？其中的条件方程与条件

平差中的条件方程是否相同？

8.2 某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t=5，现选7个参数进行平差（其中有

5个参数），应列出多少个误差方程和条件？

8.3 在大地四边形（图8-1）中，A、B为已知点，现选取∠3，∠4，∠5，∠6，∠8的最或

是值为参数，记为X1,X2,X3,X4,X5,试列出误差方程和条件。

~~~~~ 11

8.4 有水准网如图8-2，已知A、B、C、D的高程为HA、HB、HC、HD（无误差），P1、P2为待定，

观测高差（QLL=I）为hi (i=1,2,…,5)。现选AP1、P1 P2 、P2D的高差为参数X1,X2和

~~~试按附有条件的间接平差列出：（1）误差方程式；（2）参数间的条件方程式；X3，

（3）法方程；（上述各方程式的常数项均用符号代入）

9.1 何谓一般条件方程？何谓条件方程？两者有什么差别？ 9.2 为什么在任何一个平差问题中，应列的条件方程总数是（r+u）？r和u各表示什么量？ 9.3 式c+s=r+u 是怎样得到的？式中c和s各表示什么量？为什么在平差时（c+s）必须等

于（r+u）？

9.4 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数等于8，现取6个参数，且参数之间有

2个条件。若按附有条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和条件方程？由其组成的法方程组有多少个方程？

9.5 在测站O上观测A，B，C，D4个方向间的夹角（见图9-1），得等精度观测值（Q=I）为：

L1=44°03′14″.5 L2=43°14′20″.0 L3=53°33′32″.0

L4=87°17′31″.5 L5=96°47′53″.0 L6=140°51′06″.5

ˆ和Xˆ，Xˆ设其近似值为X1L1， 若选∠AOB，∠BOC，∠AOC的最或是值为参数X21300X2L2，X30L4试按附有条件的条件平差法进行平差；（1）列出一般条件方程和

条件方程；（2）列出法方程，解出参数的平差值；（3）试求改正数向量及观测角的平差值。

9.6 在图9-2的水准网中，A为已知点，HA=15.100m，各水准路线观测值为

5,1h[1.3592.0090.3631.0120.657]Tm，且为等精度观测值。若设D点高程

0ˆ，ˆ和X最或是值与D、A点间高差的最或是值为参数X2取其近似值为X114.104m，10X20.996m，试按附有条件的条件平差法进行平差；（1）列出条件方程和

ˆ,V和Lˆ。 条件方程；（2）求解X9.7 条件平差等五种平差方法的函数模型，具有哪些共同的特点？在实际应用中，常采用哪几种平差方法？为什么常采用这几种方法？

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9.8 为什么将附有条件的条件平差函数模型称之为“概括平差函数模型”？它与条件

平差、间接平差、附有参数的条件平差和附有条件的间接平差等四种平差方法的函数模型有什么关系？

ˆ具有哪些优良的统计性质？如何证明？ ˆ和X9.9 最小二乘估计量LVTPVˆ9.10 在以上各章中，单位权方差估值的公式为，这个公式是怎样推导的？

r2022210.1 点位方差是怎样定义的？x 和s的含义是什么？ ,y,u210.2 计算点位中误差P的公式有哪几个？如何计算？

10.3 在条件平差和间接平差中，如何求平差后待定点P的坐标协因数？ 10.4

和的定义是什么？当用式tg20E和F的值？

2QxyQxxQyy算出极值方向0后，如何确定

10.5

和是怎样定义的？、及E之间有什么关系？

P，经间接平差得法方程为

10.6 某三角网中具有一个待定点

1.287x0.411y0.5340 0.411x1.762y0.3940 单位中误差为01.0,x,y以dm为单位，试求：

（1）位差的极大值方向E及极小值方向F；（2）位差的极大值E和极小值F； （3）坐标误差x,y及点位中误差P；（4）60的位差值。

10.7 何谓误差曲线？试举例说明，在误差曲线图上可以求出哪些量的中误差？ 10.8 有了误差曲线为什么还要讨论误差椭圆？两者有什么关系？

10.9 如何绘制误差椭圆？它的参数是什么？如何在P点的误差椭圆图上，图解出P点在

任意方向上的位差？

10.10 设某三角网中有一个待定点P点，并设其坐标为参数XxPyP，经平差求得

T201()2,QXX20.5(dm)2/()2。

0.522（1）试计算P点误差椭圆参数x,E,F及点位方差P；

（2）计算30时的位差30的方向为PC方向，且已知边长SPC3.120km，试求PC边的边长相对中误差S/SPC及方位角中误差a。

PCPC10.11 为什么要讨论相对误差椭圆？相对误差椭圆的三个参数如何计算？ 10-12 今有测边网如右图所示。A、B、C及D点是已知点，P1及P2是待定点，以同精度观测了9条边长。现已由间接平差计算得待定点的坐标平差值为

x19034.161m；y1907.4m；x28762.939m；

P1

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P2y21124.423m。单位权中误差00.53dm（即测边中误差），参数的协因数阵为

0.3449Q0.0090.05970.08070.00090.57390.07980.10740.05970.07980.34590.02210.08070.1074 0.02210.5804式中Qij无单位，试计算P1及P2点的误差椭圆参数和P1与P2点间相对误差椭圆参数。 12.1 试将观测值分成两组进行平差计算为例，说明序贯平差法是如何做到既能将观测值分

组计算，又能保证参数的最后平差值与整体平差的结果完全一致？ 12.2 有一平差问题分两次观测，分别列出误差方程式为：

110ˆ10xˆ21 V11x011 V2101ˆ21xˆ30 1x011ˆ。 若P1=P2=I。试按序贯平差法求解向量x12.3 在下图所示的水准网中，A，B，C为水准点，观测高差h1，h2，h3分别为3.5m，

5.327m，-5.321m，设各水准路线等长，试按秩亏自由网平差求各水准点的高程及其

中误差。

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